高考第31讲以数列为背景的取值范围问题专题练习

第三十一讲 以数列为背景的取值范围问题专题

一、选择题

1．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是（    ）

A．6    B．7    C．8    D．9

【答案】B

【解析】

设数列{an}的公差为d，由题意得，

，解得，

∴an=n，且，

∴Sn=1+，

令Tn=S2n﹣Sn=，

则，

即＞=0

∴Tn+1＞Tn，

则Tn随着n的增大而增大，即Tn在n=1处取最小值，

∴T1=S2﹣S1=，

∵对一切n∈N*，恒有成立，

∴即可，解得m＜8，

故m能取到的最大正整数是7．

故选：B

2．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)

A．5    B．6    C．7    D．8

【答案】D

【解析】

由题意，等差数列的前项和为，，，

根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，

可得，，

则，可求得数列的通项公式为，

令，即，解得，又由，

可得等差数列中，当时，，当时，，

所以使取得最大值时的值为8，故选D.

3．等差数列{an}中，，,且，为其前n项之和，则使的最大正整数是（    ）

A．198    B．199    C．200    D．201

【答案】B

【解析】

由题意可得：，则，

结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质可知：

，

而，

据此可得使的最大正整数是199.

本题选择B选项.

4．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]    B．(－∞，2)    C．(－∞，3]    D．(－∞，3)

【答案】D

【解析】

∵数列{an}中，且{an}单调递增

∴an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立

∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3

故选：D．

5．巳知集合P={}，Q={}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}，记为数列{}的前n项和，则使得<1000成立的的最大值为

A．9    B．32    C．35    D．61

【答案】C

【解析】

数列{an}的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，……．

利用列举法可得：当n=35时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，

所以数列{an}的前35项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，

…，69，2，4，8，16，32，64

Sn=29+ +=29+=967<1000

当n=36时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，

所以数列{an}的前36项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，

…，71，2，4，8，16，32，64

Sn=30++=900+126=1026>1000

所以n的最大值35.

故选：C

6．数列满足，且，若，则的最小值为        (    )

A．3    B．4    C．5    D．6

【答案】C

【解析】

∵，即，

∴数列{2nan}为公差是1的等差数列，

又a1=1，

∴21a1=2，即其首项为2，

∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，

∴an=．

∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，

∴若，则n的最小值为5，

故选：C．

7．对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质P（t），若数列的通项公式为，且具有性质P（t），则t的最大值为

A．6    B．3    C．2    D．1

【答案】A

【解析】

由题意可得：对任意的恒成立，

，且具有性质P（t），则恒成立，即恒成立，

据此可知数列是递增数列或常数列，

据此可得：，整理可得：恒成立，

由于，故，

故，t的最大值为6.

本题选择A选项.

8．在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为　　

A．第5项    B．第6项    C．第7项    D．第8项

【答案】B

【解析】

数列中，，，

得到：，

，

，

，

上边个式子相加得：

，

解得：．

当时，首项符合通项．

故：．

数列满足，

则，

由于，

故：，

解得：，

由于是正整数，

故．故选B．

9．已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（   ）

A．3    B．4    C．5    D．6

【答案】B

【解析】

由题意，数列满足，则当时，，

两式相减可得，

所以，又由，所以，

即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，

又由，即，

即，即对任意的正整数恒成立，

即对任意的正整数恒成立，

设，则，

所以，当时，求得最大值，此时最大值为，

所以，即，所以的最大整数为4，故选B.

10．（题文）已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足， ，若成等差数列，则的最大值为

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】

由题，则，作差得，

，，由成等差数列，可得，分离化简得，故，，选D.

11．已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】

由题意时，

，

由，即，

∴且，，

，其中最小项为，

，其中最大项为，

因此．

故选C．

二、填空题

12．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为_______.

【答案】6

【解析】

数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，

即解得，则公比，∴，

则 ，

∴，即，得，此时正整数的最大值为6.

故答案为6.

13．已知数列的通项公式为，请写出一个能说明“若为递增数列，则”是假命题的的值_____________

【答案】内任意一个数均可

【解析】

由题意，数列的通项公式为，若为递增数列，

则恒成立，

即恒成立，所以实数，

所以“若为递增数列，则”是假命题的的值可取.

14．已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若 对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．

【答案】

【解析】

设

，

即

∴

∴

即，

由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，

即

∴，即实数的最大值是

故答案为：

15．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．

【答案】

【解析】

钝角三角形内角的度数成等差数列，则 ，可设三个角分别为，故 ，又，令，且 ，则 ，在 上是增函数，，故答案为.

16．已知数列的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

由,令,得；

当n⩾2时,

，

若n为偶数,则,∴(n为正奇数)；

若n为奇数,则

∴(n为正偶数).

函数 (n为正奇数)为减函数,最大值为，

函数 (n为正偶数)为增函数,最小值为，

若恒成立，

则,即.

故答案为：.

17．已知首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，若恒成立，则实数m的取值范围为______．

【答案】

【解析】

首项为2的正项数列的前n项和为，且当时，．

可得，由，解得，

又，由，可得，

当时，，

又，

两式相减可得，

即有，由.

可得，又.

正项数列为首项为2，公差为2的等差数列，

可得；

，

设，

，

可得，

即有，为最大项．

若恒成立，

可得，

故答案为：．

18．在等比数列中，已知，若，则的最小值是______．

【答案】12

【解析】

在等比数列中，

，

，

化为：．

若，则

，当且仅当时取等号．

若，则，与矛盾，不合题意

综上可得，的最小值是，故答案为12．

19．已知数列，令，则称为的“伴随数列”，若数列的“伴随数列”的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数取值范围为__________．

【答案】

【解析】

由题意得,所以, 相减得-，所以,也满足. 因此数列的前项和为 ,

20．数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．

【答案】或

【解析】

当时，恒成立，当时：

当数列的公差时，即，

据此可得，则，

当数列的公差时，由题意有：，，

两式作差可得：，

整理可得：，即：，①

则，②

②-①整理可得：恒成立，

由于，故，据此可得：，

综上可得：的值为或.

21．等差数列中，已知，，则的取值范围是______。

【答案】

【解析】

依题意有，目标函数为，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为，没有最小值，故取值范围为.

22．已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m恒成立，则实数m的取值范围为_______________．

【答案】

【解析】

由题意可得：，两式相减可得：，

因式分解可得：，由与数列为正项数列，

所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，

所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m.

由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n较大时，函数值越来越小，n较小时存在最大值，经代入验证，当时有最大值，所以.

23．设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，,若为数列中的项，则所有的正整数的取值集合为_________．

【答案】

【解析】

由得：，

由得：， 联立解得，所以，，令，得到，所以为偶数且且为奇数，故或，进而得到或，当时，n不为整数，舍去，故.

24．已知数列满足,是其前项和，若，（其中），则的最小值是_________________.

【答案】

【解析】

根据题意，由已知得：，
把以上各式相加得：，
即：，，
则

即的最小值是，
故答案为：．

25．已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是__________

【答案】

【解析】

要使函数在时单调递减，

，解得，

要使函数在单调递减，

则必须满足，解得，

又函数在时，单调递减，

则，解得，

故实数的取值范围是，故答案为.

26．已知数列的前项和为，满足，且对任意都有，函数，方程的根从小到大组成数列，则的取值范围是__________．

【答案】.

【解析】

∵，

∴，

∴，

整理得．

又,，

∴．

∵，

∴．

设，则，

∴

．

∵，

∴，

即方程在内有且仅有一个实数根，

∴．

∴．

当时，；

当时，．

综上可得的取值范围是．

27．设为数列的前项和,已知,对任意 ,都有,则 的最小值为__________．

【答案】30

【解析】

：当时，，∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，∴，，

∴当且仅当即时，等号成立，

三、解答题

28．已知数列的前n项和为，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为，，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数m的最大值．

【解析】

（Ⅰ）∵        ①

∴    ②

∴②－①得

∴，即，∴成等比数列，公比为2．

∴．

（Ⅱ）由题意得，，∴成等差数列，公差为．

首项，∴，，

当时，，

当时，成立，∴．∴，

令，只需．

∴            ③

        ④

③－④得，

∴．

∵．

∴为递增数列，且，∴．

∴，实数m的最大值为4．

29．已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=（n∈N*）

（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{nan}是等比数列，并求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Tn；

（Ⅲ）对任意n∈N*，使得 恒成立，求实数λ的最小值．

【解析】

（Ⅰ）[证明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=（n≥2），

①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{nan}是等比数列，

又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=，得a2=1，则2a2=2，∴，

∴（n≥2），∴；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，

∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，则，

两式作差得：，得：；

（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，

即对任意n∈N*恒成立．

当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．

30．已知数列的前n项和为, 其中，数列满足.

(1)求数列的通项公式;

(2)令，数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数k的最小值.

【解析】

（1）由可得，

两式相减得: ，

又由可得，

数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而，

 于是.

（2）由（1）知，

于是 ， 

 依题意对一切恒成立，

 令，则

由于易知，

即有，

∴只需，    

从而所求k的最小值为.

31．公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n项和为，且满足．

Ⅰ求数列，的通项公式；

Ⅱ令，数列的前n项和为，求的取值范围．

【解析】

Ⅰ依题意，等差数列的公差，

，，成等比数列，

，即，

整理得：，即，

又等差数列的前10项和为100，

，即，

整理得：，，

；

，

，即，

当时，，即，

数列是首项为1、公比为2的等比数列，

；

Ⅱ由可知，

记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则

，

，，

，

，

，

记，则，

故数列随着n的增大而减小，

又，，

．