2022-2023学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级（上）期中数学试卷-（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中，是轴对称图形的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.    如图，点所表示的实数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    如图，，再添加一个条件，不一定能判定≌的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    一个等腰三角形的两条边分别为和，且满足，则等腰三角形的周长等于(    )

A.  B.  C. 或 D.

6.    根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B. ：：：：
C. ，， D.

7.    如图直线上有三个正方形、、，若、的面积分别为和，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，垂直平分，已知，的周长为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：，，，其中说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，，动点和分别在射线、上运动，且，作，且在运动过程中，的最大距离是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11. 的平方根是______．
12. 近似数精确到______位．
13. 在实数，，，，，．，，中是无理数的有______个．
14. 如图，在中，，，点在上，，则的度数是______

15. 已知一直角三角形，两边长为和，则斜边上的中线长为______．
16. 如图，在中，，平分，交于点，且，，则点到的距离是______ ．

17. 如图，按顺时针方向转动一个角后成为，且点恰好在边上，若，则______．

18. 如图，的纸片中，，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点，若为直角三角形，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    求下列各式中的值．
    ；
    ．
21. 本小题分
    如图，已知：，，求证：≌；．

22. 本小题分
    已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根．
23. 本小题分
    如图，在如图所示的边长为个单位的正方形网格中每个小正方形的边长为，的三个顶点都在格点上．
    画出关于直线的对称图形；
    的面积是______；
    直线上存在一点，使的周长最小；
    在直线上作出该点；保留画图痕迹
    的周长的最小值为______直接写出结果．

24. 本小题分
    新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为米，若宣讲车周围米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．
    请问村庄能否听到宣传？请说明理由；
    如果能听到，已知宣讲车的速度是米分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？

25. 本小题分
    如图，已知中，，是的中点，垂直平分．
    求证：；
    若，求的度数．

26. 本小题分
    基本图形：在中，，为边上一点不与点，重合，将线段绕点逆时针旋转得到．
    探索：连接，如图，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
    连接，如图，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
    联想：如图，在四边形中，若，，则的长为______．
     
27. 本小题分
    如图，，，且，，，点以每秒的速度从点开始沿射线运动，同时点在线段上由点向终点运动．设运动时间为秒．点的速度为秒．
    
    在线段上时，______，______用含的代数式表示
    如图，当点与点经过几秒时，使得与全等？此时，点的速度是多少？写出求解过程
    如图，是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
直接利用轴对称图形的定义进而判断得出答案．
【解答】
解：根据题意可得：从左起第，，个图形，沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形，
第个图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：如图所示，
．
，
，
．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选C．
根据相反数的定义即可得出结论．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，根据全等三角形的判定定理判断即可．
解：，，，
根据能推出≌，故本选项错误；
B.，，，
根据能推出≌，故本选项错误；
C.根据和已知不能推出≌，故本选项正确；
D.，，，
根据能推出≌，故本选项错误．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得，，
当为腰时，三边为，，，不符合三边关系定理；
当为腰时，三边为，，，符合三边关系定理，周长为：．
故选：．
由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：：：：：，，
最大角，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：：，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
，
，不能求出的一个角是直角，
即不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D．
本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，三角形的内角和等于，如果三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，的面积分别为和，
，，
，
根据勾股定理，，
的面积为，
故选：．
根据正方形的性质，易证≌，可得，，根据，的面积以及勾股定理即可求出的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，的周长为，
，
垂直平分，
，
，
故选：．
根据三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，求出即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质得出是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，
得          ，
，
得，
，
正确，错误．
故选：．
由题意，可得记为，得到由此即可判断．
本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、，
，
当、、三点共线时，取得最大值为，
，是的中点，，
，
在中，由勾股定理得：，
在运动过程中，的最大距离为，
故选：．
取的中点，连接、，则，当、、三点共线时，取得最大值，由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了勾股定理、三角形的三边关系以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
直接根据平方根的定义即可求解．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

12.【答案】千 

【解析】解：，所以近似数精确到千位．
故答案为：千．
由于近似数数字在千位上，则近似数精确到千位．
本题考查了近似数和有效数字，用科学记数法是正整数表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，这个数是无理数，
在所给数字中无理数共有个，
故答案为：．
根据实数的概念进行辨别、求解．
此题考查了实数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，

．
故答案为：．
根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据代入数据计算即可得解．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当和是直角边时，斜边为：，
斜边上中线为；
当是斜边，是直角边时，
斜边上的中线为；
故答案为：或．
分为两种情况，当和是直角边时，当是斜边，是直角边时，求出斜边，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于，则为点到的距离，
在中，，，，
由勾股定理得：，
平分，，，
，
故答案为：．
过点作于，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质解答即可．
本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：按顺时针方向转动一个角后成为，
≌，
，，
．
故答案为：．
由于按顺时针方向转动一个角后成为，可求出，，再由三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查的是图形旋转的性质及三角形内角和定理，比较简单．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图，为直角三角形，且，
由折叠得，，
作交的延长线于点，则，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，且，
，
解得或不符合题意，舍去；
如图，为直角三角形，且，
，，
与重合，点与点重合，
，
，
，
，
解得；
，且是锐角，
，
不能是直角，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
符合题意的情况有两种，一是，作交的延长线于点，则，，，即可根据勾股定理列方程，则；二是，则点与点重合，由勾股定理求得，则，即可列方程，则，再说明一下的情况，因为，所以不能是直角．
此题重点考查轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】先算乘方，开方，再算加减即可；
先算开方，再去绝对值符号，最后算加减即可．
本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题关键．
 

20.【答案】解：，
．
．
．
，
．
．
． 

【解析】根据平方根的定义解决此题．
根据立方根的定义解决此题．
本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握平方根以及立方根的定义是解决本题的关键．
 

21.【答案】证明：
，
，
，，
≌．

≌，
，
，
，
． 

【解析】本题需先根据得出，再根据即可证≌．
本题需先根据≌得出，，然后证出，从而最后得出．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，在解题时要注意全等三角形的判定和性质的综合应用是本题的关键．
 

22.【答案】解：的平方根是，的立方根是，
，，
解得，，
，
，
，
，
的平方根是． 

【解析】根据平方根和立方根的定义求出，的值，估算的范围求出的值，求出的值，求它的平方根即可．
本题考查了平方根，立方根，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解；如图，为所作；

的面积；
故答案为：；
如图，点为所作；
，
，
此时的值最小，
而，
此时的周长有最小值，最小值为．
故答案为：．
利用网格特点和轴对称的性质分别画出点、、关于直线的对称点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
连接交直线于点；
由于，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，则此时的周长有最小值，然后计算即可．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．也考查了最短路径问题．
 

24.【答案】解：村庄能听到宣传，
理由：村庄到公路的距离为米米，
村庄能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，
则米，米，
米，
米，
影响村庄的时间为：分钟，
村庄总共能听到分钟的宣传． 

【解析】根据村庄到公路的距离为米米，于是得到结论；
根据勾股定理得到米，求得米，于是得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
 

25.【答案】证明：，点是的中点，
，
是中点，且，
，
；
解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
即． 

【解析】由直角三角形斜边上的中线可得，利用线段垂直平分线的性质可得，进而可证明结论；
设，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，即可得，结合，可求解的值，即可求解．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，掌握相关的性质是解题的关键．
 

26.【答案】结论：．
理由：如图中，

，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，
即：；
结论：．
理由：连接，

由得，≌，
，，
，
．

 

【解析】解：见答案；
见答案．

作，使，连接，．

，
，，

，
即，
在与中，

≌，
，
，，
，
，
，
，
即，
．
故答案为．
结论：证明≌即可解决问题．
结论：由≌，推出，，可得，利用勾股定理即可解决问题．
作，使，连接，由≌，推出，由，，可得，再利用勾股定理即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

27.【答案】   

【解析】解：在线段上时，，．
故答案为：，．
若在线段上，当，时，
，
≌，
，
．
若在线段上，当≌时，，，
，
．
当点在点的右侧，，，则≌，
，
．
综上所述．点与点经过秒或秒或秒时，使得与全等，满足条件的点的速度分别为或或．
如图中，作于．

在中，，，
，
，，
当时，，
解得，
当时，，
解得或舍弃．
当时，，
解得，
综上所述，满足条件的的值为或或．
根据路程与速度的关系解决问题即可．
分两种情形：点在线段上时，≌，≌，当点在点的右侧时，≌，由全等三角形的性质求解即可．
分三种情形：，分别构建方程即可解决问题．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．