2022年北京师大三附中高考数学模拟试卷（5月份）(含答案解析)

2022年北京师大三附中高考数学模拟试卷（5月份）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.     下列函数中，定义域是R且为增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.     下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     已知，且，则向量与向量的夹角是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     设函数，，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.     已知数列的通项公式，数列的通项公式，则数列(    )

A. 既有最大值，也有最小值 B. 仅有最大值，而无最小值
C. 既无最大值，也无最小值 D. 仅有最小值，而无最大值

9.     已知直线l：若l上有且仅有一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆过原点O，则的最大值为(    )

A.  B.  C. 2 D. 1

10. 在正方体中，动点E在棱上，动点F在线段上，O为底面ABCD的中心，若，，则四面体的体积(    )
     

A. 与x，y都有关 B. 与x，y都无关 C. 与x有关，与y无关 D. 与y有关，与x无关

11. 展开式的常数项是__________.
12. 已知，，则______，______.
13. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是______.
14. 设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则______，M的坐标为______.
15. 定义域为R的满足对，有，且当时，，设函数对应曲线为C，则以下对于函数性质描述正确的是______.
    ①是奇函数；
    ②是偶函数；
    ③是周期函数；
    ④直线是曲线的一条对称轴．
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
    求的值；
    给出以下三个条件：
    条件①：；
    条件②：，；
    条件③：
    这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
    求的值；
    求的角平分线BD的长．
17. 如图，在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，，E，F分别是，的中点．
    求证：平面；
    设H在棱上，且，N为CD的中点，求证：平面；并求直线AN与平面所成角的正弦值．

18. 为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售．根据前期分析多年数据发现，某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
    该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况

注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量批发价格-各年的平均每亩种植成本
以频率估计概率，试估计该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；
设该地区某农民2022年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
已知该地区某农民有一块土地共10亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到45000元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由．

19. 已知函数
    求曲线在点处的切线方程；
    当时，求证：函数存在极小值；
    请直接写出函数的零点个数．
20. 椭圆C：的右顶点为，离心率为
    求椭圆C的方程及短轴长；
    已知：过定点作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．
21. 设数列A：，，…，如果对小于的每个正整数k都有，则称n是数列A的一个“G时刻”，记是数列A的所有“G时刻”组成的集合．
    对数列A：，2，，1，3，写出的所有元素；
    证明：若数列A中存在使得，则；
    证明：若数列A满足…，，则的元素个数不小于
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合交集的计算，注意集合交集的定义，属于基础题．
根据题意，由集合交集的定义，分析两个集合的公共元素可得答案．

【解答】

解：根据题意，集合，，
则，
故选：

2.【答案】D 

【解析】解：复数，
复数对应的点，
所以在复平面内，复数对应的点位于第四象限．
故选
化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
 

3.【答案】B 

【解析】

【分析】
根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数单调性的性质．
【解答】
解：对于选项A，为增函数，为减函数，故为减函数，A错误
对于选项B，，故为增函数，B正确
对于选项C，函数的定义域为，不为R，C错误
对于选项D，函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，D错误
故选：  

4.【答案】B 

【解析】解：，
由对数换底公式得：


根据对数的性质得：

故选：
利用对数的换底公式，将题中条件：“，”转化成同底数对数进行比较即可．
本题主要考查对数函数的性质，对数函数是许多知识的交汇点，是历年高考的必考内容，在高考中主要考查：定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质单调性等及这些知识的综合运用．
 

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．
对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．

【解答】

解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；
由B可得焦点在x轴上，不符合条件；
由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为，符合条件；
由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为，不符合条件．
故选：

6.【答案】A 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，

故选：
由，且，知，由此能求出向量与向量的夹角．
本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
“的图象关于原点对称”，，可得是偶函数．反之不成立，例如

【解答】

解：“的图象关于原点对称”，，可得是偶函数．
反之不成立，例如，满足是偶函数，
因此，“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件．
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查数学归纳法、数列性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
，2，3，4时，代进去可比较大小，当时，推导出，运用归纳法可证明n5时， =，又因为 ，并且检验n趋近无穷大时的情况，由此能求出结果．

【解答】

解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，有，
假设当时，有，
那么当时，，
时，都有，即 ，
又 ，且n趋近无穷大时，趋近0，
数列有最大值，无最小值．
故选：

9.【答案】A 

【解析】解：由题意可知，，
点有且仅有一个，
到直线l的距离为1，即，即，
设，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故最大值为
故选：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，先求出，再结合参数法，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查空间想象能力，属于中档题．
连接AO，AE，AF，OE，OF，EF，结合等积法说明四面体的体积是与x，y无关的定值．

【解答】

解：如图，连接AO，AE，AF，OE，OF，EF，

，平面，
平面，
平面，
到平面的距离为定值，
，到直线AO的距离为定值，
的面积为定值．
，
四面体的体积是与x，y无关的定值．
故选：

11.【答案】24 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理，属基础题．
由通项公式可得第3项为常数项．

【解答】

解：由通项公式得：，
令，得展开式的常数项为：
故答案为：

12.【答案】  

【解析】解：因为，，
所以，
则，
故答案为：，
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，密码的最后一位数字是偶数，
所以此人在按最后一位数字时，有“2，4，6，8，0”5种可能，
由此可得此人在按前两次，所有的基本事件有个，
恰好在第2次就按对，相应的基本事件为个，
因此，此人恰好在第2次就按对的概率是
故答案为：
由于该密码的最后一位数字是偶数，应该在“2，4，6，8，0”中选数，所以此人前两次所按数字的所有基本事件有20个，恰好在第2次就按对，相应的基本事件为个，结合古典概型计算公式即可算出恰好在第2次就按对的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：过M作准线的垂线，交于点，过F作的垂线交于N，设，
由抛物线的方程可得焦点，
因为，则可得，
由抛物线的性质可得，，
所以，
整理可得：，解得，
所以M的横坐标为，
由抛物线的性质可得，
可得，
故答案分别为：4，
设M的坐标，由抛物线的性质可得M的横纵坐标的关系，由题意可得M的坐标及的值．
本题考查抛物线的性质的应用及点的坐标的求法，属于中档题．
 

15.【答案】②③ 

【解析】解：由，可得函数的图象关于直线对称，
又，可知为偶函数，
由，得，
即，所以函数的周期为2，
故①④错误，②③正确．
故答案为：②③．
由已知，可得函数的图象关于直线对称，在把变形可得函数为偶函数，最后结合及函数为偶函数求得函数的周期，则答案可求．
本题考查函数的性质，考查了与抽象函数有关的函数性质的判断，属于中档题．
 

16.【答案】解：由得：
，
结合，得，故；
结合得，即……，
因为，故b是最大边，故条件②不成立，即条件①③正确，
对于条件①：，与式结合得，
对于条件③：，故，所以，
所以，故，
所以，即，解得，，
显然，
结合，故，
在中，，
故 

【解析】利用辅助角公式，容易求出，则易知；
结合，此时b应该最大，而条件②中，与已知矛盾，故条件①③正确，再结合面积公式、余弦定理以及三角形内角平分线的性质求解．
本题考查了正余弦定理、面积公式和三角形内角平分线的性质，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：连接，设∩，连接OE，EF，，
在长方体中，因为，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，且，
因为E，F分别是，的中点．
所以，且，
在矩形中，O是的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，
平面；
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
因为，所以平面，
因为，，
设直线AN与平面所成角为，
所以，
直线AN与平面所成角的正弦值为 

【解析】通过证明线线平行证明线面平行即可；
通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线AN与平面所成角的正弦值．
本题考查线面平行的证明、考查线面角的正弦值的求法，数形结合思想，是中档题．
 

18.【答案】解：该地区此品种中药材各年的平均每亩产量500kg的概率为，此品种中药材的国内市场批发价格为25元的概率为，
该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率
，，，，
则X的所有可能取值为3000，5000，7500，
，，，
的分布列为：

，
该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材． 

【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法计算公式，考查了离散型随机变量的期望与方差，属于中档题．
根据相互独立事件的概率乘法公式求解．
根据题意求出X的所有可能取值，进而求出相应的概率，列出分布列，再根据期望公式求出即可．
根据的值与45000的大小关系判断．
 

19.【答案】解：由，得，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程是
证明：函数的定义域为，
由知，，
因，则当时，，，，
则有，函数在上递减，
当时，，，，
则有，函数在上递增，
于是得当时，函数取得极小值，
所以当时，函数存在极小值．
函数的定义域为，，
显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
，，即有，在，上都递减，
令，，
当时，，当时，，
在上递增，在上递减，，
即，恒有，当且仅当时取“=”，
当时，，当时，，
因此，在上单调递减，取值集合为；
在上递减，取值集合为，
于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，
所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点． 

【解析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答．
讨论函数在区间和上的符号即可推理作答．
在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的极值与最值和函数的零点，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
 

20.【答案】解：由题意可得，，所以，
，
所以椭圆C的方程：；
方法一：设直线AD的方程：，即，，，
，消去y，整理得，
则，
所以，，
则直线BD的方程：，令，则，所以，所以，
，
所以，
则直线BG的斜率

，
所以直线BG的斜率为，所以直线BG的方程：，
因此，则，解得或，
所以，
当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，则，
所以
方法二：设直线DE与BM交于点H，由，，
所以，BA，BH，BE，BD为调和线束，A，H，E，D为调和点列，
由A，H共轭可得，，
因为，所以，又因为H，均满足，所以BH的方程为，
因此，则，解得或，
所以，
当BEMF为平行四边形时，G为BM的中点，则，
所以 

【解析】根据椭圆的离心率公式及，即可求得b和c的值，求得椭圆方程；
方法一：设直线AD的方程，代入椭圆方程，且求得BD的方程，即可求得F点坐标，利用中点坐标公式求得G点坐标，利用韦达定理和直线的斜率公式，求得直线BG的斜率为定值，即可求得BG的方程，代入椭圆方程，求得M点坐标，由G为BM的中点，即可求得G点坐标．
方法二：由题意可知，BA，BH，BE，BD为调和线束，A，H，E，D为调和点列，由A，H共轭可得，，代入A点坐标，求得BM的方程，代入椭圆方程，求得M点坐标，由G为BM的中点，即可求得G点坐标．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，本题的命题背景为极点与极线问题，调和线束，调和点列，如果掌握极点与极线的内容，可以快速的求得直线BH的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

21.【答案】解：根据题干可得，，，，，，满足条件，2满足条件，不满足条件，3不满足条件，
不满足条件，4不满足条件，，，，，均小于，因此5满足条件，因此
因为存在，设数列A中第一个大于的项为，则，其中，所以，；
设A数列的所有“G时刻”为…，
对于第一个“G时刻”，有…，，则

对于第二个“G时刻”，有…，，则

类似的，…，
于是，…
若，则
若，则，
从而
则的元素个数不小于 

【解析】本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大．
结合“G时刻”的定义进行分析；
可以采用假设法和递推法进行分析；
可以采用累加法进行分析．