2022年广东省湛江市高考数学测试试卷（一）（一模）(含答案解析)

2022年广东省湛江市高考数学测试试卷（一）（一模）

1.     已知集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知，则z的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3.     已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.     下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，后段是高为的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6.     为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有(    )

A. 18种 B. 12种 C. 72种 D. 36种

7.     意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记，则(    )

A.  B.  C. t D.

8.     已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.     若，则下列不等式中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

10. 某市为了研究该市空气中的浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的浓度和浓度单位：，得到如下所示的列联表：

附：

经计算，则可以推断出

A. 该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是
B. 若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化
C. 有超过的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关
D. 在犯错的概率不超过的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度有关

11. 已知正方体的棱长为1，点P是线段上不含端点的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有(    )
     

A. 平面
B. 以为球心，为半径的球面与该正方体侧面的交线长是
C. 的最小值是
D. 的最小值是

12. 已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则(    )

A. 点M到直线l的距离为定值 B. 以为直径的圆与l相切
C. 的最小值为32 D. 当最小时，

13. 已知向量，，若，则__________.
14. 已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是__________.
15. 已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是__________.
16. 已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为__________.
17. 已知数列是等比数列，且，
    求数列的通项公式;
    设，求数列的前n项和，并证明：
18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
    求角A的大小；
    若，求周长的最大值．
19. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，O是AC的中点．
    
    证明：平面；
    求二面角的余弦值．
20. 中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，
    设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求
    若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好?
21. 已知双曲线的离心率是，实轴长是
    求双曲线C的方程;
    过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.
22. 已知函数，
    当时，证明：当时，；
    若对，都，使恒成立，求实数a的取值范围.
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查补集及其运算，属于基础题．
用列举法表示U，再由补集运算得答案．

【解答】

解：，集合，

故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查复数的概念及复数的四则运算，属于基础题.
由复数的乘除运算化简即可得z的虚部.

【解答】

解：因为，所以z的虚部是，
故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，两角和与差的正弦公式的应用，属于基础题．
根据同角三角函数关系式可得，由两角和与差的正弦公式展开即可求解．

【解答】

解：由，，得，
所以

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和值域，属于基础题.
利用奇偶性的定义，结合指数函数的性质和特殊值法逐个判断即可.

【解答】

解：因为定义域为R，且，
所以函数为奇函数;
因为，又，所以，故A正确;
由二次函数的性质可知函数是非奇非偶函数，故B错误;
由正弦函数的性质可知函数为偶函数，故C错误;
因为，故D错误，故选

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查几何体的体积的求法，属于中档题．
先求出正三棱锥的底面正三角形内切圆半径r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积．

【解答】

解：铜镞由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，
正三棱锥的底面正三角形边长为1，设正三角形内切圆半径为r，
由等体积法得：，
解得，其内切圆半径为，
由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：

故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的应用，属于基础题.
根据题意将4名教师分为3组，再分别派到甲、乙、丙三地，即可求解.

【解答】

解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲、乙、丙三地，共有种方案，
所以共有36种选派方案.故选

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查数列的新定义问题，属于较易题．
根据已知的递推公式推出从到与后两项之间的关系，即可求出的值．

【解答】

解：因为，
所以

故选：

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查导数的应用，属于一般题.
令，利用导数求出单调性，得，即可求k的范围.

【解答】

解：由题设，当时，，
令，则，
所以当时，，则单调递增;当时，，单调递减.
又，，
所以当时，直线与的图象有两个交点，
即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.
故选

9.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题考查不等式性质，属于基础题.
采用特值法取反例以及不等式性质和指数函数的单调性逐个判断即可.

【解答】

解：由，
对于A，根据不等式性质，，故A正确；
对于B，因为为单调递增函数，所以，故B正确；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，取，，可得D错误
故选

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查频率与频数的关系，以及独立性检验公式，属于基础题．
根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及独立性检验公式，即可求解．

【解答】

解：对于A，由表中数据可得，市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是，故A正确，
对于B，，故B错误，
对于CD，，
在犯错的概率不超过的条件下，即有超过的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，故CD正确．
故选：

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断与应用，空间直线与平面、平面与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力、转化思想以及计算能力，是中档题．
利用棱柱的结构特征，通过直线与平面平行的判定定理，判断选项A；通过交线的轨迹，判断B；判断的最小值，判断

【解答】

解：对于A选项，因为平面即为平面，又因为，且平面，平面，
所以平面，故A正确;

对于B选项，该球面与侧面的交线为以为圆心、1为半径的圆弧，故交线长为，故B正确;
对于C，D选项，将沿翻折到与在同一平面且点，D在直线的异侧，
作于点G，此时的长即为的最小值，
此时，
，
则的最小值是，故C不正确，D正确.
故选

12.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的综合应用，属于较难题.
求出直线和直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合抛物线的性质、基本不等式和直线与圆的位置关系逐个判断即可.

【解答】

解：设，，，，，，
直线的方程为，则直线的方程为
将直线的方程代入，化简整理得，
则，，
故所以，
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，
又，所以，故A错误;
因为，
所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确;
同理，，
所以，，，
则，当且仅当时等号成立，故C正确;

设，则，，
当时，即时，最小，这时，故D正确.
故选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量平行的充要条件，属于基础题．
根据已知条件，结合向量平行的充要条件，即可求解．

【解答】

解：向量，，，
，解得
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属于中档题.
将恰有3个零点，转换成函数在区间上存在两个零点，列出不等式得出a的范围．

【解答】

解：函数恒过点，且其图象开口向上，的零点为1，
当的零点至少有一个大于或等于1时，如图所示：

的零点至多有2个，不符题意.
若恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图所示：

所以
解得

 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的定义、标准方程及性质，属于中档题.
根据已知条件和椭圆的对称性知，四边形为矩形，解直角三角形ABF，得，即可得椭圆离心率.

【解答】

解：设右焦点为，连接，因为，
即，可得四边形为矩形.
在中，，
由椭圆的定义可得，
所以，所以离心率
故答案为
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦型函数的性质的应用，主要考查运算能力、转换能力及思维能力，属于中档题型．
直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．

【解答】

解：由题意知，，，，则，，其中，
，当时，，，当时，，，
又在区间上有且只有一个极大值点，所以，得
，即，所以
当时，，，此时，此时有2个极大值点，舍去;
当时，，，此时，此时有1个极大值点，成立，
所以的最大值为，
故填

17.【答案】解：由题意得：，可得，，
可得，由，可得，
可得；
由可得，
可得：
 

【解析】本题考查了等比数列的通项公式和裂项相消法，属于中档题.
设数列的公比为q，首项是，由条件得出q，，可得
由得，由裂项相消法求和可得，即可得证.
 

18.【答案】解：中，因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，
所以；
由，，
根据正弦定理得，
所以，，
所以，
又，
所以当时，周长取得最大值为 

【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
利用正弦定理和余弦定理求得的值，从而求得A的值；
由正弦定理求出b、c的表达式，再利用三角函数求的最大值．
 

19.【答案】解：证明：四边形是菱形，

是AC的中点，则，
又，
，
平面平面，平面平面，
平面ABC，
平面ABC，
，
，则，
三棱柱则，
，
，，平面，
平面；
如图，连接BO，

，，O是AC的中点，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
，
由知，，
设，以O为原点，OA，，OB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，可得，
设平面的一个法向量为，
则，
取，可得，
，，
二面角的余弦值为 

【解析】本题考查线面垂直的证明，面面角的求法，属中档题．
先通过面面垂直得线面垂直得平面ABC，再由线面垂直得线线垂直可证，由，，再通过线线垂直得线面垂直证明平面即可；
如图，连接BO，可证平面，设，建立空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
 

20.【答案】解：依题意有，，

又事件C与D相互独立，
则，
所以
设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以
设A组的积分为，则，
所以
设B组中服用乙种中药康复的人数为，则
，
，
，
，
故的分布列为

所以
设B组的积分为，则，
所以
因为，
所以甲种中药药性更好． 

【解析】本题考查基础概率计算、离散型随机变量的分布列和期望，属于一般题.
求出和，利用相互独立事件的概率公式即可求解;
求出的所有可能取值和对应概率，得的分布列和期望，由期望的性质得的期望，比较即可判断.
 

21.【答案】解：依题意得，，
解得，
所以双曲线C的方程是；
证明：设，，，直线l的方程为，
将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，
，
则，，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
，即，解得，
由，得，故，
所以，
又，
所以点D的纵坐标为定值 

【解析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的综合应用中的定点定值问题，属于较难题.
由题意得求得即可得双曲线方程;
设直线l的方程为联立双曲线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出k的范围，求出，即可得
 

22.【答案】解：证明：当时，，
令，则，
所以在上单调递增，且，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，所以，
所以当时，有，
所以当时，
解：因为，使恒成立，
令，
只需，即在上恒成立，
整理得①，
设，则，
设，又，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最小值，
即在R上恒成立，所以在R上单调递增，
所以①式即，所以，即，
设，则，令，得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，所以，
所以实数a的取值范围为 

【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题、利用导数证明不等式，属于较难题.
通过构造函数，利用导数证明不等式，利用放缩法证明.
构造函数，只需，即在上恒成立，利用求导法得到，再次构造函数，利用导数求函数的最大值，求出实数a的取值范围.