2022年湖南省长沙市高考数学适应性试卷(含答案解析)

2022年湖南省长沙市高考数学适应性试卷

1.     若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知i为虚数单位，若复数，则(    )

A. 1 B.  C.  D. 2

3.     若数列的前n项和为，则“”是“数列为等差数列”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.     函数在上的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

5.     已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.     若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知m，n，s，，，，其中m，n是常数，且的最小值是，点是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.     数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若，，则下列各式不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.     若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列选项正确的是(    )

A. 若，则…
B. 若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项是第5项
C. 若p：，，则：，
D. 设随机变量，若，则

11. 在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为棱上的动点不包括两个端点，M为线段AP的中点，则下列结论正确的是(    )

A. CM与PN是异面直线
B.
C. 过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形
D. 平面平面

12. 若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为；
    若存在，则称
    为二元函数在点处对y的偏导数，记为，已知二元函数，则(    )

A.  B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为

13. 函数的图象在点处的切线方程为______.
14. 某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：

若用最小二乘法求得回归直线方程为，则a的值为__________.

15. 已知事件A，B，且，，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则______.
16. 已知函数，，若对任意，，当时都有，则实数b的最小值为______ .
17. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，且的面积，求
18. 已知数列满足，
    求证：数列是等比数列；
    设，求数列的前n项和
19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，若平面平面，平面平面
    求证：；
    记平面与平面所成角为，直线与平面所成角为，异面直线与BC所成角为，当，满足为常数时，求的值．

20. 2022年电商即将开展“欢度春节”促销活动，某电商为了尽快占领市场，对某地区年龄在10到70岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：年龄单位：岁

若以40岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“网上购物”与年龄有关？

若从年龄在的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考公式和数据：
，其中

21. 已知离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上的一点，的周长为6，且为抛物线：的焦点．
    求椭圆与抛物线的方程；
    过椭圆的左顶点Q的直线l交抛物线于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，的面积为，的面积为则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22. 已知，函数，其中…为自然对数的底数．
    求函数的单调区间；
    记为函数在上的零点，求证：
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．

【解答】

解：，，

故选：

2.【答案】B 

【解析】解：，

故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：根据题意，当时，，则，
当，，
故，即从第二项起为等差数列，
当时，则，数列为等差数列，充分性得证，
当数列为等差数列，则，即，
故是数列为等差数列成立的充要条件，
故选：
由、的关系，结合可求数列的通项公式，再根据充分条件、必要条件的定义可解．
本题考查由、的关系，以及充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：函数的定义域为，关于原点对称，
，可得为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C；
由，可得，或或，故排除A，
故选：
首先判断的奇偶性，再求的零点，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：因为，
所以
故选：
由已知利用诱导公式即可化简求解．
本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：如图所示，
双曲线的渐近线方程为，双曲线与直线有交点，则有，
，解得，
故选：
画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线有交点，则应满足：，通过，可得e的范围．
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑，是基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：，
当且仅当，即取等号，
，又，又m，n为正数，
可解得，
设弦两端点分别为，，则，
两式相减得，
，，
，
直线方程为，即
故选：
由已知求出取得最小值时m，n满足的条件，再结合求出m，n，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．
本题考查了直线与双曲线的综合运用，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】对于A，由G是的重心，设M为BC的中点，
可得，
，
即，故A错误；
对于B，由题意得，即，故B正确；
对于C，过的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，如图，

则D，E分别是AB，AC的中点，


，即，故C正确；
对于D，是的重心，，
则
，
由欧拉线定理可得，则，故D正确，
故选：
利用向量的加、减运算可判断A；根据欧拉线定理可判断B；利用向量的数量积可判断C；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断
本题考查平面向量的数量积的运算，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：对于A，，，故A正确，
对于B，，不妨取，，则，故B错误，
对于C，，，故C正确，
对于D，，，，
，当且仅当，即时，等号成立，故D错误，
故选：
由可判断A，举反例可判断B，根据可判断C，利用基本不等式可判断
本题主要考查了不等式的性质，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：A：根据二项式定理可得，所以，故A错误，
B：由已知可得，则，所以展开式的通项公式为，
，1，，6，令，解得，所以展开式的常数项为第5项，故B正确，
C：因为命题p为特称命题，所以否定为全称命题，故C正确，
D：由正态分布的性质可得，解得，故D错误，
故选：
A：根据二项式定理即可求出二项式系数的和，由此即可判断，B：先求出n的值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可判断，C：根据特称命题与全称命题的否定关系即可判断，D：根据正态分布的性质即可建立方程，由此即可判断．
本题考查了二项式定理，命题的否定以及正态分布的性质，考查了学生的理解运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】BD 

【解析】解：连接PC，点，平面PAC，点在平面PAC上，

平面PAC，
点，平面PAC，点N在平面PAC上，即平面PAC，
，CM不是异面直线，故A错误；
以D为坐标原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

记，则：
，
，
，
，，，故B正确；
取的中点E，连接CE，PE，则，，如图，

四边形PECA是梯形，
，，
此时四边形PECA是等腰梯形，故C错误；
底面ABCD是正方形，，如图，

底面ABCD，，
，平面，又平面PAC，
平面平面，平面平面，故D正确．
故选：
连接PC，由，平面PAC，可得平面PAC，由点，平面PAC，可得平面PAC可判断A；记，则，，作差可判断B；取的中点E，可得四边形PECD是梯形，由，可判断C；由线面垂直的判定定理可得底面ABCD，再由面面垂直的判定可判断
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、异面直线的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于较难题．
根据题意可得，则，即可判断A是否正确；，即可判断B是否正确；由于，推出当时，取得最小值，且最小值为，即可判断C是否正确；，令，求导分析的正负，的单调性，即可求出的最小值，即可判断D是否正确．

【解答】

解：因为，
所以，
则，故A正确；
又，
所以，故B正确；
因为，
所以当时，取得最小值，且最小值为，故C错误；
，
令，
，
当时，，
当时，，
故，
从而当时，取得最小值，且最小值为，故D正确．
故选：

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
则，
又，
函数的图象在点处的切线方程为，
即
故答案为：
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

14.【答案】68 

【解析】

【分析】

本题考查回归直线方程的应用，是基础题．
求出样本中心点，代入回归直线方程，即可求解

【解答】

解：由题意可知：，
，
回归直线方程为经过样本中心，
所以，解得
故答案为：

15.【答案】 

【解析】解：因为，，
如果A与B互斥，则，
如果A与B相互独立，，
则
故答案为：
由已知结合互斥事件及相互独立事件的的概率公式分别求出m，n，进而可求．
本题主要考查了互斥事件及相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．
令，问题转化为满足在上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．
【解答】

解：当时都有，
即时都有，
令，
故需满足在上是增函数即可，
①当时，，
对称轴，解得：，
②当时，，
对称轴，解得：，
综上：，
故答案为：

17.【答案】解：由，
根据正弦定理，有，
即
由，，所以，故
由的面积，解得
根据余弦定理，得，
故 

【解析】由正弦定理可得，从而得出角b，由面积公式求出a，再由余弦定理可得答案．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
 

18.【答案】证明：由，可得，即，
又
数列是以2为公比的等比数列；
解：由得，又，，

构造数列：令，则
设数列的前n项和为，
则……，
…，两式相减，可得
……
，
，
……
……

 

【解析】由，可得，结合，可得数列是以2为公比的等比数列；
由求得，代入，可得，再由数列的分组求和，然后利用错位相减法及等差数列与等比数列的前n项和公式求解．
本题考查数列递推式，考查等比数列通项公式的求法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
 

19.【答案】证明：是矩形，，
又平面平面，平面平面，
平面，平面，，
过点C作，

平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
，，CO，平面，
平面，又平面，

解：由棱柱知，又平面，平面，
以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如下所示，

不妨设，，，
则，
设为平面的法向量，
则，，令，则，，
取平面的一个法向量，
，
取平面的一个法向量，
由，
，
，则，
，

且，
，
故为所求． 

【解析】构造辅助线，通过证明平面，即可由线面垂直推证线线垂直；
根据中所证，建立空间直角坐标系，通过二面角以及线面角的向量求解方法，即可求得结果．
本题考查了空间中的垂直关系以及空间角的问题，属于中档题．
 

20.【答案】解：年龄低于40岁的人数为人，其中网上购物的人数为人，
年龄不低于40岁的网上购物人数为人，
填写的列联表如下所示，

所以，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“网上购物”与年龄有关．
样本中，年龄在的人数为5人，其中2人网上购物；
年龄在的人数为3人，其中1人网上购物，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列为

数学期望 

【解析】根据题意补充完整列联表，计算的值，并与参考数据对比，即可判断；
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，结合组合数与古典概型，分别计算每个取值对应的概率，从而得分布列，再由数学期望的计算公式，得解．
本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，独立性检验，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意得，解得，
椭圆的方程为，
所以抛物线的方程为；
由题意得直线的斜率不为0，，
设直线l的方程为，设，，，，
由，得，
，，
，
，
，直线OA的斜率为，即直线OA的方程为，
由，得，
同理可得，

，
，得，
存在直线，方程为或 

【解析】由题可得，即求；
设直线的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理可得，利用直线与椭圆的位置关系可求，再利用三角形面积公式及条件列出方程，即得．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合运用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意知的定义域为R，，
令，得，
由，得，由，得，
故的单调增区间为，单调减区间为；
证明：由知在上单调递增，
且当时，，，
由零点存在性定理得在上有唯一零点，且，
，即，
要证明的不等式等价于，
设，
令，
，
在上单调递增，，
，
当时，成立；
，，当时，成立，
设，
令，令，得，
当时，，当时，，
，
，，
，
在上单调递减，
，即，
当时，成立． 

【解析】由题可得，令，即求；
利用零点存在定理可得在上有唯一零点，且，因此只需证，构造函数利用导函数研究函数的单调性及最值即证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于难题．