2022年山东省青州二中高三一模考试数学(含答案解析)

2022年山东省青州二中高三一模考试数学

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.     已知，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.     以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.     已知，且，则(    )

A.  B.
C.  D.

6.     如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质.该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有(    )

A. 72种 B. 84种 C. 96种 D. 124种

8.     设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为(    )

A. 1 B.  C.  D.

9.     某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是(    )

A. 甲得分的分位数是31 B. 乙得分的众数是48
C. 甲得分的中位数小于乙得分的中位数 D. 甲得分的极差等于乙得分的极差

10. 已知向量，将绕原点O旋转，，到，，的位置，则(    )

A.  B.
C.  D. 点坐标为

11. 已知圆C：，一条光线从点射出经x轴反射，下列结论正确的是(    )

A. 圆C关于x轴的对称圆的方程为
B. 若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为
C. 若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则
D. 若反射光线与圆C交于M、N两点，则面积的最大值为

12. 已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是

A. 平面QBC
B. 设三棱锥和的体积分别为和，则
C. 平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍
D. 二面角的正切值为

13. 抛物线C：的焦点坐标为，则C的准线方程为______.
14. 已知函数则______.
15. 2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为尺，芒种日晷长为尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺．
16. 已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，若关于x的方程有4个不同实根，则实数a的取值范围是______.
17. 已知等比数列的前n项和为，且，

求数列的通项公式；

设，求数列的前n项和

18. 在①，②AC边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．问题：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，______.

求c的值；

设AD是的角平分线，求AD的长．

19. 根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程互不影响．

求乙闯关成功的概率；

求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．

20. 图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，，N为的中点．将其沿AC，AB折起使得与重合，连结，BN，如图

证明：在图2中，，且B，C，，四点共面；

在图2中，若二面角的大小为，且，求直线AB与平面所成角的正弦值．

21. 已知椭圆C：的焦距为2，点在C上．

求C的方程；

若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 已知函数，R.

讨论的单调区间；

当时，令

①证明：当时，；

②若数列N满足，，证明：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查集合交集的运算，属于基础题.
先化简集合A，再根据交集的定义求解，即可得到答案.

【解答】

解：，
又，则，
故选

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查共轭复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解．

【解答】

解：设，则，
，，
，解得，
在复平面内复数z对应的点在第一象限．
故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件的判断，指数函数的单调性，属于基础题.
分情况讨论函数在R上的单调性，即可得到结论.

【解答】

解：当，则函数在R上单调递增，
因为，所以
当，则函数在R上单调递减，
因为，则，所以
所以“”不是“”的充分条件;
当，则函数在R上单调递增，
所以由，可得，
所以“”是“”的必要条件，
综上所得，“”是“”的必要不充分条件，
故选

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查圆柱的体积，属于基础题.
利用圆柱的体积公式即可求解.

【解答】

解：边长为2的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
其体积为
故答案选：

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式、诱导公式和同角基本关系，属于基础题.
利用二倍角公式求得，再利用诱导公式和同角基本关系即可求解.

【解答】

解：，
解得或，
又，则，则，
故，
，    
，

故答案选：

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，属于基础题.
利用已知条件列出方程组 ，即可求解双曲线的离心率.

【解答】

解：由题意知，，
所以，，，
所以
故选

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查排列组合的综合运用，属于中档题.
根据方法一直接法以女生为主分两类，①女2男，②0女3男；
方法二间接法总的排列数减去至少有两名女生的选择方法，即可求解.

【解答】

解：方法一直接法以女生为主分两类：①女2男有种;
②女3男种;
故共有种选派方案.
方法二间接法从6人中分别选择三人且担任不同岗位的志愿者，有种方法，
则至少有两名女生的选择方法为：种方法，
所以至多有1名女生被选中，
则不同的选择方案共有种选派方案.
故答案选：

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的定义域和值域，属于中档题.
根据当函数在区间上单调时，最大值与最小值之差取得最大值，当函数在区间上对称时，最大值与最小值之差取得最小值.

【解答】

解：设函数在区间上的最大值为，最小值为，
区间长度为，函数的周期为，
假设在区间上单调递增，
则取得最大值为，
所以取得最大值为；
当在区间上对称时，
对称轴为
此时，，
不妨设，
即，，
，，
则取得最小值为
故答案选：

9.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查茎叶图、众数、中位数、平均数、用样本估计百分位数，属于基础题.
根据茎叶图，把甲和乙的数据由小到大排列，再对各选项逐项判定，即可求出结果.

【解答】

解：甲的得分从小到大依次为：
27，28，31，39，42，45，55，55，58，66，
乙的得分从小到大依次为：
28，29，34，35，42，48，48，53，55，67，
A、因为，
所以甲得分的分位数是，所以A不正确；
B、由众数的定义知：乙得分的众数是48，所以B正确；
C、甲得分的中位数是，乙得分的中位数是，
因为，所以甲得分的中位数小于乙得分的中位数，所以C正确；
D、甲得分的极差为，乙得分的极差为，
所以甲得分的极差等于乙得分的极差，所以D正确.
故答案选：

10.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是向量数量积、向量模的求解，属于较难题.
利用已知条件可先求、，进而可一一判断.

【解答】

解：设，由题意得：
，
解得或舍，
即，
同理可得，
A.由题可知，故，故A正确;
B.，
，
因为，所以，故B正确;
C.因为，，
故，故C正确;
D.由得，点坐标为，故D错误.
故答案选：

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，与圆有关的最值问题等知识，属于中等题.
根据题意对每个选项逐项分析即可.

【解答】

对于A，圆C的标准方程为，即圆C的圆心坐标为，半径为1，
所以圆C关于x轴的对称圆的圆心坐标为，半径为1，
故方程为，即，A正确；
对于B，反射光线平分圆C的周长，
则入射光线一定经过圆C关于x轴的对称圆的圆心，
即入射光线经过点，所以入射光线所在直线方程为，B正确；
对于C，由光线的物理特性知，一条光线从点射出经x轴反射，则反射光线一定经过点关于x轴的对称点，
即
，C错误；
对于D，设圆C的圆心到反射光线的距离为d，
则，
，
所以当时，面积的最大值为，D正确.
故答案选：

12.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查球内接几何体问题，考查线面平行的判定和性质，锥体体积的计算，球的表面积计算，二面角，属于较难题.
对于B，把正三棱锥的体积比转化为高的比，然后通过求解直角三角形得到两三棱锥高的关系得答案；对于A，由题意画出图形，取BC的中点N，连接QN、PN，假设平面QBC，得到，验证假设不成立即可判断；对于C，求得平面ABC截球O所得的截面圆的半径和球O半径，计算即可验证；对于D，因为，，所以即为二面角的平面角，分别求出，，利用两角和的正切公式即可求得的值.

【解答】

解：如图，

正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，
对于B选项，设P到底面ABC的距离为，Q到底面ABC的距离为
取AB的中点M，连接PM，CM，PQ，QM，
记PQ与平面ABC的交点为R，
由两个正三棱锥和内接于同一个球，
故PQ一定为球O的直径，
记其中点为O，且由题意可知，R为正三角形ABC的中心，
因此PR，QR分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，
由，，，且M为AB的中点，
可得，，，
则为正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，
所以，，
记球的半径为r，于是，
在中，由勾股定理可得，
，解得，
于是，
则，所以，所以B正确；
对于选项A，取BC的中点N，连接QN、PN，
可知A，R，N三点共线，且P，A，Q，R四点共面，
假设平面QBC，因为平面平面，则，

结合B可知，，，，
因为，则，，
显然，与矛盾，
故PA与平面QBC不平行，所以A错误；
对于C，平面ABC截球O所得的截面圆的半径为，球O半径，
则平面ABC截球O所得的截面圆的面积为，球O表面积为，
所以平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍，所以C正确；
对于D，因为，，
所以即为二面角的平面角，
且，，
所以，所以D正确.
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程和性质，属于基础题.
由题意求出抛物线的标准方程，进而得到准线方程即可.

【解答】

解：由题意，，
从而抛物线方程为，
从而准线方程为
故答案为：

14.【答案】7 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数，对数、指数的运算，属于基础题.
先判断，再由对数、指数的运算求出即可.

【解答】

解：由题意，
从而

故答案为：

15.【答案】84 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列通项，等差数列求和公式，属于基础题.
先由题意，得到冬至日晷长到夏至的日晷长构成一个等差数列，由冬至日晷长以及芒种日晷长求出的公差d，再由对称性，得到夏至日晷长到大雪日晷长也构成一个的等差数列，进而求出夏至到大雪的日晷长的和即可.

【解答】

解：由题意，冬至日长到夏至的日晷长构成一个等差数列，
设冬至日晷长为，则芒种日晷长为，
由题意，公差，
从而，夏至的日晷长为，
而由对称性，夏至日晷长到大雪日晷长也构成一个首项公差1的等差数列，
故大雪的日晷长，
从而夏至到大雪的日晷长的和为尺.
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性、周期性，函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于中难题.
先证明的周期为4，再构造，证明为偶函数，又由周期性以及奇偶性，画出的图象，利用数形结合，求出有4个交点时a的取值范围.

【解答】

解：由得，
由为偶函数得，即，
从而，即
即，
从而，
从而有，
故为周期4的周期函数.
令，
则，
从而为偶函数，
因为时，，
则当时，则，
又因为是奇函数，在的图像与图像关于原点对称，
则函数的大概图象如图所示：

可知，当时，，
故当时，，
当时，，
当时，，
而当时，，
从而，
作出函数的大致图象如图：

由对称性，不妨令，则与的交点除了，均在y轴右侧，
从图象知，当的经过和为两个临界位置，从而，
又由对称性，当时，，
从而a的取值范围是
故答案为：

17.【答案】解：设数列的公比为q，
由，，得，
解得，所以
，
所以，
，
，
两式相减，所以

，
所以 

【解析】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和，错位相减法，属于中档题.
求出公比，即可得通项公式;
利用错位相减法即可求解.
 

18.【答案】解：选条件①
，
由余弦定理，
整理得，因，
解得，；
因AD是的角平分线，所以，
，
，
则，
由正弦定理，；
选条件②
边上的高为，
由三角形的面积公式，
解得，；
因AD是的角平分线，所以，
，，
则，
由正弦定理，
选条件③
，
由题意可知，所以，
因为，
，
由正弦定理，，解得，
因AD是的角平分线，所以，
则，
由正弦定理， 

【解析】本题考查解三角形和三角恒等变换，属于中等题.
选条件①，利用余弦定理即可求解;
选条件②，利用三角形的面积公式即可求解;
选条件③，利用正弦定理和三角恒等变换即可求解;
利用角平分线的性质、两角和的正弦公式和正弦定理即可求解.
 

19.【答案】解：记乙闯关成功为事件A，
所以
由题意知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故X的分布列为

所以
所以甲闯关成功的概率为，
因为，
所以甲比乙闯关成功的可能性大. 

【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的期望、超几何分布和n次独立重复试验，属于中档题.
记乙闯关成功为事件A，所以，可得结果；
由题意知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，得出对应概率，可得X的分布列和数学期望，与甲闯关成功的概率比较可得结论.
 

20.【答案】证明：取AC的中点M，连接NM，BM，

因为为矩形，所以，
又因为ABC为等边三角形，
则，，MN，平面BMN，
所以平面BMN，
又平面BMN，所以；
在图2矩形满足，
平行四边形满足，所以，
故B，C，，四点共面；
解：由知，，
故过棱上一点M，在两个半平面内MN，MB均与棱垂直，
所以为二面角的平面角，
以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，
令，则，，
则，
由得，，
设直线AB与平面所成角为，
则 

【解析】本题考查空间线线位置关系，线面垂直的判定与性质，考查空间线面的角度问题和二面角概念的应用，属于中档题.
根据所给条件，通过直线AC与平面垂直，完成线面垂直，再根据所给条件，通过平行公理，得到，完成共面证明；
构建空间直角坐标系，求出平面的法向量的一个坐标及的坐标，通过坐标运算求出其正弦值即可.
 

21.【答案】解：由题意知，椭圆C的左、右焦点分别为、，
由椭圆定义得，
即，
又，所以，
所以椭圆C的方程为；
设点，其中，
设过点P的直线方程为，
联立，消去y整理得，
因为直线l与C相切，所以，
化简得，即，
设直线、的斜率分别为、，
则，所以，
假设存在点满足题意，
则，，
所以

，
要使恒成立，
则，解得，
故存在点满足题意. 

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用、椭圆中的定点问题、向量数量积的坐标运算、椭圆的定义及其标准方程、两点间的距离公式、点斜式方程，属于较难题.
根据椭圆的焦距求出c的值，利用椭圆的定义求出a的值，由a、b、c之间的关系式求出b的值，即可得到椭圆C的方程；
设出点P的坐标和过点P的直线的方程，与椭圆方程联立，由直线与椭圆相切得到关于点P横、纵坐标之间的关系式，设直线、的斜率分为、，由得到P点的轨迹方程，进而求出B点坐标.
 

22.【答案】解：，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增
综上可知，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
由知，
①要证成立，只需证：，即证
令，恒成立，
所以在上单调递减，，  
所以成立，
所以当时，得证
②证明：由①可知，当时，，
要证：，只需证，
因为，所以，又，
所以，则
再证：，
即证
只需证当时，，
即证成立，令，恒成立，
所以在上单调递增，
所以恒成立，即成立.
所以成立，
即成立，故原不等式得证. 

【解析】本题考查导数的综合应用，属于难题.
求出，对a进行分类讨论，利用导数和单调性的关系即可求解;
①转化为求证，构造，利用导数即可求证;
②转化为求证，先求证，再证：即可.