2021-2022学年广东中山市华侨中学高三数学二模（含答案解析）

2021-2022学年广东中山市华侨中学高三数学二模

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.     i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(    )

A. 2 B.  C.  D.

3.     下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(    )

A.  B.  C.  D.

4.     已知为第一象限角，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.     设，，则   

A.  B.  C.  D.

6.     已知函数，则的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

7.     已知a为常数，函数有两个极值点，，则(    )

A.  B.
C.  D.

8.     已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数m的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

9.     下列说法正确的是(    )

A. 是的充分不必要条件
B. “，”的否定是“，”
C. 钝角一定是第二象限角
D. 函数，，则函数的值域为

10. 已知，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知其中为锐角，以下判断正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 设函数的定义域为且满足，，当时，，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 为奇函数
C. 当时，的取值范围为
D. 方程仅有5个不同实数解

13. 展开式中的常数项为__________.
14. 计算__________
15. 已知方程的两个实数根是，且，则__________.
16. 已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则a的取值范围是__________.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
    求A；
    若的面积为，求的值．
18. 已知函数

若函数在点处的切线方程为，求实数a，m的值；

当时，求函数在区间上的最值.

19. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为弧度
     

求关于x的函数关系式；

已知在花坛的边缘实线部分进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

20. 已知函数

求函数的零点；

若实数t满足，求t的取值范围.

21. 为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛、复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一、第二、第三道小题的概率依次是，，，小李答对每道小题的概率都是且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X表示小张在决赛中的得分，用Y表示小李在决赛中的得分.

求随机变量X的分布列和数学期望EX，并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；

求在事件“”发生的条件下，事件“”的概率.

22. 已知函数，其中

讨论函数的单调区间；

若函数在上恒成立，求实数a的取值范围其中e是自然对数的底数

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算，以及解一元二次不等式，利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题.
先求出集合A和B，再利用交集运算即可求解.

【解答】

解：集合或，
，

故选

2.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算及复数的概念与分类．
复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0虚部不为0，即可求实数a的值．

【解答】

解：复数，
因为它是纯虚数，所以，解得
故选

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本道题考查了奇函数的判定，考查了函数单调性的判定，难度中等.
本题结合，以及增函数的判定，每个选项依次分析即可.

【解答】

解：A选项，的定义域为，故该函数在定义域内不具有单调性，故错误.

B选项，定义域R，是偶函数，故错误.

C选项，，得，即定义域为，
令，则，，
即，函数是奇函数，，
对，当时，u随x的增大而减小；
对，y随u的增大而增大，所以y随x的增大而减小，
所以在上为减函数，故错误.

D选项，，定义域为R，是奇函数，时，单调递增，故函数在R上是增函数，故正确.

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，以及诱导公式，属于中档题．
由已知利用同角三角函数基本关系式求出的值，再利用诱导公式即可计算得解．

【解答】

解：为第一象限角，
为第一或第二象限角或终边在y轴正半轴上，
，

故选

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查比较大小的方法，涉及对数函数、指数函数的性质，找中间值是关键，属于基础题．
b的底数大于0小于1，而真数大于，，，可推出结果.

【解答】

解：，故在上单调递减，
则，
又，
，

故选

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别，以及利用导数求函数的单调性与最值，是一般题.
令，利用导数判断函数的单调性与最值，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项.

【解答】

解：令，，则，
由得，即函数在上单调递增，
由得，即函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值，，
于是对任意的，有，则，
故排除B、D，
因为函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，故排除C，
故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.
先求出，令，由题意可得有两个解，函数有且只有两个零点．利用导数与函数极值的关系即可得出．

【解答】

解：，，
令，由题意可得有两个解，，
即函数有且只有两个零点，

①当时，，单调递增，
因此至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当时，令，解得，
，，函数单调递增；
时，，函数单调递减．
是函数的极大值点，
要使有且只有两个零点，则，
即，
，，即
，
，

且
，
所以


故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题重点考查函数的零点与方程的根的关系，属于较难题.
求出的解析式，令，则，作出图象，利用图象即可求解.

【解答】

解：由题意，得，
令，则，
作出图象：


因为方程的所有实根之和为4，
由图象可知，与的图象有1个交点，且，
又当时，，
故实数m的取值范围为，    
故选
 

9.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件、象限角、存在量词命题的否定及二次函数的最值，属于中档题.
根据充分条件和必要条件的定义判断A，根据含量词的命题的否定方法判断B，根据象限角的定义判断C，根据二次函数的值域判断

【解答】

解：对于A，由于可推出，但反之不成立，如，
所以是的充分不必要条件，则A对；
对于B，命题“，”的否定是“，”，
而不是“，”，则B错；
对于C，钝角的取值范围为，钝角一定是第二象限角，故C正确；
对于D，令函数，为二次函数，其对称轴的方程为，
则函数，的最小值为，最大值为，
则函数的值域为，则D对．
故选

10.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查由基本不等式求最值或取值范围，二次函数的最值，以及利用指数函数、对数函数的图象与性质比较大小，属于中档题.
将代入中，由二次函数的性质可分析A，由基本不等式可分析B，D，由指数函数的性质可分析

【解答】

解：因为，，，所以，，
，
当且仅当时，不等式可取等号，故A正确；
，
当且仅当，即时，不等式可取等号，故B正确；
因为，故，故C错误；
因为，即，所以，
当且仅当时，不等式可取等号，故D正确.
故选

11.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，属中档题.
由同角三角函数关系可判定A；由结合两角差的余弦公式可判定B；展开和，联立得出和，可判定C、

【解答】

解：由，，则，
又因为则，故A正确；
，
可得
，故B错误；
则①，
又因为，
所以②，
由①②得，，
所以，故C正确，D错误.
故选

12.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，周期性，函数图象的应用，属于较难题.
由题意得出函数的图象关于直线对称以及关于对称，周期为8，逐项进行判断.

【解答】

解：因为，所以函数的图象关于直线对称；
则，又，
所以，则，则，则函数的周期为8，
因为，令，则，
因为当时，，则，
，故A错误；
，所以为奇函数，故B正确；
由函数的图象关于直线对称以及关于对称，且周期为8，画出函数的图象如下：

当时，的取值范围为，故C正确；
画出和函数的图象如下：
因为，，
可以看出两个函数的图象有5个交点，所以方程仅有5个不同实数解，故D正确.

故选：
 

13.【答案】15 

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的通项，是基础题．
写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．

【解答】

解：由
取，得
展开式中常数项为
故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算性质，属于中档题．
利用即可求得答案．

【解答】

解：，



，
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变形，以及特殊角的正切值，属于中档题.
由，是方程的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据与的范围，求出的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的的值即可求出的值．

【解答】

解：由已知可得，，
，
且，，
故，
，

故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和函数零点，是较难题．
设出切点，由斜率的坐标表示得到等式，化简得函数，再利用导数研究函数的单调性与极值，结合函数的图象进行求解即可得到结论．

【解答】

解：，
设经过点且与曲线相切的切点为，
则
又切线经过，故由题知 有3个解.
化简有 有3个解.
设，则，
令，有或，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又，，且，，
故要有3个解，则
所以a的取值范围为
 

17.【答案】解：，，
，，
，，，
，
的面积为，，，
，，，
由余弦定理得 

【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角形的面积公式，属于基础题．
利用正弦定理求解即可．
利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可．
 

18.【答案】解：，，，则，
又，所以
当时，，，解得：舍去或，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
又，，
函数的最小值为，最大值  

【解析】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值，是基础题.
根据切点处的导函数值为切线的斜率求出a的值，然后令，即可求出m的值；
求导，然后根据导数求出函数的单调性即可求出函数的最值.
 

19.【答案】解：设扇环的圆心角为，则，
所以
花坛的面积为
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用的比，
令，则，
当且仅当时取等号，此时，
所以当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. 

【解析】本题考查了基本不等式的实际应用和函数模型的应用，是中档题.
设扇环的圆心角为，则，即可得出关于x的函数关系式；
由题意得花坛的面积与装饰总费用的比，令，由基本不等式求最值即可.
 

20.【答案】解：当时，解，得：
当时，解得：，
故函数的零点为；
当时，，
此时
，
又，故函数为偶函数，
又时，函数为增函数，且，
函数为增函数，
由复合函数单调性得为增函数，
，
即为，
即，，
 

【解析】本题主要考查求分段函数的的零点，以及函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.
当或时，分别令，直接求解即可；
先判断函数的奇偶性，由时，为增函数，所以不等式转化为，即，解得
 

21.【答案】解：由题设知X的可能取值为0，1，2，3
所以
，
，
，
所以随机变量X的分布列为：

数学期望，
而Y∽，所以，
所以，小李在决赛中得分能力更强一些;
设“”为事件A，“”为事件B，
因为，
，
，

，
，
所以，
所以在的条件下，的概率是 

【解析】本题考查离散型随机变量分布列及数学期望，二项分布、条件概率，属于中档题.
由题设知X的可能取值为0，1，2，3计算，，，，可得随机变量X的分布列，即可得数学期望EX，利用Y∽，可得EY，根据，可得小李在决赛中得分能力更强一些;
设“”为事件A，“”为事件B，利用Y∽，可得，
代入，可得在的条件下，的概率.
 

22.【答案】解：
①若当时，有，在单调递增;
当时，有，在单调递减.
②若当时，有，在单调递减;
当时，有，在单调递增.

令，于是在上恒成立等价于在上恒成立.
，记，
由，知必有两个零点，且两个零点之积是，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即
由，知时，即，在上单调递增;
时，即，在上单调递减，
故原问题等价于，
即
记，则
当时，，单调递减;
当时，单调递增，且，
故当时
又是关于递增的函数，所以亦即当时，

结合已知，可得实数a的取值范围为 

【解析】本题考查导数的综合应用，属于难题.
求出，然后对a进行分类讨论，利用导数和单调性的关系即可求解;
令，于是在上恒成立等价于在上恒成立，求出的最大值，得原问题等价于，记，利用导数即可求解.