2022-2023学年陕西省安康市紫阳县紫阳中学初中部九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省安康市紫阳县紫阳中学初中部九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1.    下列方程，是一元二次方程的是(    )
   ，
   ，
   ，
    

A.  B.  C.  D.

2.    已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3.    方程根的情况是(    )

A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根

4.    三角形的两边长分别是和，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 和

5.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    已知方程的两根分别为和，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    某农机厂四月份生产零件万个，六月份生产零件万个．设该厂平均每月的增长率为，那么满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.    若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 抛物线的部分图象如图，则下列说法：；；；，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共5小题，共18分）

11. 一元二次方程的一般形式是______．
12. 如图，已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，则点的坐标是______．

13. 在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握次手，设共有名同学参加聚会，则可列方程为______．
14. 抛物线如图所示，则它关于轴对称的抛物线的解析式是______

15. 已知函数图象如图所示，根据图象可得：
    抛物线顶点坐标          ；
    对称轴为          ；
    当          时，有最大值是          ；
    当          时，随着的增大而增大．
    当          时，．

三、解答题（本题共9小题，共72分）

16. 解方程．
    ；
    ；
    
    ．
17. 已知：关于的方程．
    求证：方程有两个不相等的实数根；
    若方程的一个根是，求另一个根及值．
18. 已知抛物线经过，，三点．
    求抛物线的解析式；
    求抛物线的顶点的坐标和对称轴；
19. 抛物线向上平移后经过点，求平移后的抛物线的表达式．
20. 某商店原来平均每天可销售某种水果千克，每千克可盈利元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，则每天可所多售出千克．若要平均每天盈利元，则每千克应降价多少元？
21. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙可利用的墙长为，另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．
    若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
    能围成的面积为自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

22. 关于的一元二次方程有两个不等实根，，
    求实数的取值范围；
    若方程两实根，满足，求的值．
23. 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．
    求该二次函数的解析式；
    若点是抛物线上的另一点，求点关于对称轴为对称的对称点的坐标．
24. 如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点．

求的值及点的坐标；

求的面积；

该二次函数图象上有一点，使，请求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：含有两个未知数，它不是一元二次方程；
符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
方程中分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，所以它不是一元二次方程；
符合一元二次方程的定义，是一元二次方程．
所以只有是一元二次方程．
故选：．
根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式是一元二次方程．然后对每个方程作出准确的判断．
本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．
 

2.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程的一个根，
，即，
解得，．
即的值是．
故选：．
把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程可以求得的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程化为，
因为，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先把方程化为一般式，然后计算判别式的值后判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：，，
当时，三边长为，，，不能构成三角形，舍去；
当时，三边长分别为，，，此时三角形周长为．
故选：．
利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是．
故选A．
二次函数的顶点式是：，且，，是常数，顶点坐标为；直接写出顶点坐标．
本题主要是对二次函数中对称轴，顶点坐标的考查．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
向右平移个单位，再向下平移个单位后的顶点坐标是
所得抛物线解析式是．
故选：．
求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了根与系数的关系，解题的巧妙之处在于将所求的代数式转化为的形式，然后代入求值．
由根与系数的关系得到，将其代入整理后的代数式求值．
【解答】
解：依题意得：，，
所以．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：设平均每月的增长率为，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，
故可得：，即．
故选：．
设平均每月的增长率为，则五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，由此可得出方程．
此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
点、、到对称轴的距离分别为、、，
．
故选：．
先求出抛物线对称轴解析式，再根据点、、到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由抛物线图象得：开口向上，即；对称轴，则，抛物线与轴交于负半轴，可得，，故正确；
对称轴，，
，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
由抛物线图象可知当时，，
，故正确；
故选：．
根据二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定解答．
主要考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴的交点的确定是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一元二次方程可化为，
化为一元二次方程的一般形式为．
先把一元二次方程的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．
去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
点与点关于直线对称，
而对称轴是直线，点的坐标为，
点的坐标是．
故答案为．
利用点与点关于直线对称确定点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：参加此会的学生为名，每个学生都要握手次，
可列方程为：，
故答案为：．
每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数学生数总握手次数，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图象可设抛物线解析式为，
将代入得，
，
，
即，
则它关于轴对称的抛物线的解析式为，
即，
故答案为：，
根据图象设出抛物线的解析式，将代入求出，即可求出抛物线的解析式，再根据翻折的性质即可求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．
 

15.【答案】

直线

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题，熟练掌握这些知识是解题的关键．
由抛物线与轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；
根据二次函数的性质可得对称轴；
根据抛物线的顶点坐标即可求解；
根据二次函数的性质即可求解；
抛物线在轴上方的部分对应的的取值即为所求．
【解答】
解：抛物线与轴交于点，，
顶点横坐标为，
由图可知顶点纵坐标为，
顶点坐标为；
对称轴为直线；
当时，有最大值是；
当时，随着的增大而增大；
当时，．  

16.【答案】解：，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，，，
，
，
，；
，
，
或，
，． 

【解析】利用直接开平方法求解即可；
利用因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
 

17.【答案】证明：，，
，
无论取何值，，
，即，
方程有两个不相等的实数根．

解：把代入原方程得，

原方程化为，
解得：，，即另一个根为． 

【解析】若方程有两个不相等的实数根，则应有，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入，求得的值后，解方程即可求得另一个根．
本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．
 

18.【答案】解：抛物线经过，，，
，
解得，
；
，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式；
结合，把解析式配成顶点式即可得到答案．
本题考查求二次函数解析式和抛物线的顶点，对称轴，解题的关键是掌握待定系数法求出二次函数解析式．
 

19.【答案】解：设平移后的抛物线的表达式为，
点在抛物线上，
，
平移后的抛物线的表达式为． 

【解析】设平移后的抛物线的表达式为，根据点的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出值，此题得解．
本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出值是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每千克降价元，根据题意得：，
整理得：，
即，
解得：舍去，或．
答：若要平均每天盈利元，则每千克应降价元． 

【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的数量每千克盈利每天销售的利润是解题关键．
根据“每天利润每天销售数量每千克的利润”即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论．
 

21.【答案】解：设，则；
根据题意列方程的，
，
解得，；
当，米，
当，米，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为米，米；

根据题意列方程的，
，
整理得出：；
，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长，满足条件的花园面积不能达到． 

【解析】利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；
利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
 

22.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不等实根，，
，
解得：，
即实数的取值范围是；

由根与系数的关系得：，，
，
，
解得：或，
由知：，
舍去，
即． 

【解析】根据一元二次方程的根的判别式得出，求出不等式的解集即可；
根据根与系数的关系得出，，代入，即可求出值．
本题考查了解一元一次不等式，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的解析式是：，
根据题意得：
解得：．
则函数的解析式是：．

设点关于对称轴为对称的对称点的横坐标是，则
解得：
则点的坐标是． 

【解析】已知顶点，和经过的一个点，利用待定系数法即可求解；
关于对称轴为对称的对称点纵坐标相同，横坐标的平均数是对称轴的值，据此即可求解．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，理解关于对称轴对称的两点坐标之间的关系是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：函数图象过，
，
，
该函数解析式为：，
当时，，，
点的坐标为；
点坐标为，；
，
，
，
当时：，解得：，
点坐标为或，
当时：，解得：，
点坐标为、
点坐标为、、、． 

【解析】先把点坐标代入解析式，求出的值，进而求出点的坐标；
根据二次函数的解析式求出点的坐标，进而求出的面积；
根据求出点纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点的坐标．
本题主要考查了抛物线与轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答问需要分类讨论，此题难度一般．