2022-2023学年江苏省盐城市东台市第四教育联盟九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市东台市第四教育联盟九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1.    下列方程中，是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    现有一组数据，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    一元二次方程根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定

5.    如图，，，，，相互外离，它们的半径都是，顺次连接五个圆心得到五边形，则图中五个扇形阴影部分的面积之和是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，是圆劣弧上一点，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.    如图，点，的坐标分别为、，点为坐标平面内的一点，且，点为线段的中点，连接，则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共8小题，共24分）

9.    某区招聘教师，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按：计入总成绩，若小王笔试成绩分，面试成绩分，则他总成绩是______分．
10. 如果所示的地板由块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为______．

11. 已知一组数据：，，，，这组数据的众数是______．
12. 若圆锥底面圆的半径，母线长是，则该圆锥侧面的面积为______．
13. 已知，是方程的两个根，则______．
14. 如图，是半圆的直径，，点是上的一点，则______度．

15. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于、两点，则弦的长的最小值为______．

16. 对于一切不小于的自然数，关于的一元二次方程的两个根为，，则______．

三、解答题（本题共11小题，共102分）

17. 解方程：
    ；
    ．
18. 为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击发子弹，成绩记录如下表：

经计算甲和乙的平均成绩都是环，请求出表中的______；
甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？
若甲成绩的方差是，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？

19. 如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、若点的坐标为，点的坐标为，
    根据题意，画出平面直角坐标系；
    在图中标出圆心的位置，写出圆心点的坐标______．

20. 第二十四届冬奥会于年月日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会义举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有“花样滑冰”、“高山滑雪”、“单板滑雪大跳台”、“钢架雪车”这四张卡片除正面图案外，其余都相同将这四张卡片背面朝上，洗匀．
    从中随机抽取一张，求抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率；
    若从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率．

21. 如图，是的直径，是的弦，如果．
    求的度数；
    若，求的长．

22. 已知，关于的方程有两个实数根、．
    求实数的取值范围；
    若、满足，求实数的值．
23. 如图，是的直径，是圆外的一点，弦与平行，连接，，若与相切于点，判断与的位置关系，并说明理由．

24. 某商场经营一批季节性小家电，每个进价元，经市场预测，销售定价为元时，可售出个．定价每减少元，销售量将增加个．商场决定利用国庆期间进行降价促销，假设每个降价元．
    若，此时可以售出______个；
    现商场计划获利元，如果你作为商场经理决策：为了提高商场人气，扩大销售量，该商品每个应定价多少元？
25. 如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点、．
    若时，求证：；
    若，时，求的度数；

26. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
    若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点的坐标为______；
    若关于的一元二次方程为．
    求出该方程的衍生点的坐标；
    直线：与轴交于点，直线过点，且直线与直线相交于点，若由得到的点在的内部，求的取值范围．
27. 如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点不与重合，连接、、，求证：．
    初步探索小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
    根据小明的思路，请你完成证明．
    若圆的半径为，则的最大值为______．
    
    类比迁移如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点不与、重合，连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
    拓展延伸如图所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该选项的方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B.，，时是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C.该选项的方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列：，，，，，
最中间的数，，
则这组数据的中位数是．
故选：．
根据中位数的定义进行解答即可．
此题考查了中位数，将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数．
 

3.【答案】 

【解析】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：，
故选：．
根据概率的意义判断即可．
本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在方程中，
，
方程没有实数根．
故选：．
根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根．
本题考查了根的判别式，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可得，个扇形的圆心角之和为：，
则五个阴影部分的面积之和．
故选：．
圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了扇形的面积计算，解决本题的关键是将阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
 

6.【答案】 

【解析】解：作劣弧所对的圆周角，如图，

根据圆内接四边形的性质得，
．
故选：．
作劣弧所对的圆周角，利用圆内接四边形的性质得，然后根据圆周角定理得出的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，
根据年蔬菜产量为吨，则年蔬菜产量为吨，年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，
即：或．
故选：．
利用增长后的量增长前的量增长率，设平均每次增长的百分率为，根据“从吨增加到吨”，即可得出方程．
此题考查了一元二次方程的应用增长率问题解题的关键在于理清题目的含义，找到年和年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于点的对称点，
则点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，
当最大时，最大，
点为坐标平面内的一点，且，
点在以为圆心，为半径的上运动，
当经过圆心时，最大，即点在图中位置．
．
的最大值．
故选：．
作点关于点的对称点根据中位线的性质得到，求出的最大值即可．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，总成绩是：分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：总面积为块方砖的面积，其中黑色方砖有个，
小球停在黑色方砖的概率为，
故答案为：．
根据几何概率的求法：小球落在黑色方砖的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：数据，，，的众数是，
故答案为：．
根据众数的定义一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数得出即可．
本题考查了众数的定义，能熟记众数的定义是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥侧面积．
故答案为．
利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进一步求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是半圆的直径，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
故答案为：．
先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：对于直线，当时，，
故直线恒经过点，记为点，

过点作轴于点，
则有，，，
点，
，
，
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
的最小值．
故答案为：．
易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由条件可求出半径，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
本题主要考查了垂径定理、直线上点的坐标特征、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由根与系数的关系得，，
所以，
则，
则



．
故答案为：．
由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．
本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
 

17.【答案】解：，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先把方程两边开方得到，然后解两个一次方程即可；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意知，，
解得，
故答案为：；

甲成绩排序后最中间的两个数据为和，
所以甲成绩的中位数是；
乙成绩中出现次数最多的为，
故乙成绩的众数是；

乙成绩的方差为，
甲和乙的平均成绩都是环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
甲的成绩更为稳定．
根据平均数的定义列出关于的方程，解之即可；
根据中位数和众数的定义求解即可；
先计算出乙成绩的方差，再根据方差的意义判断即可．
本题考查了方差、中位数以及众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

19.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系如图所示：
由平面直角坐标系可知，
圆心点的坐标为，
故答案为：．
根据给出的点的坐标画出平面直角坐标系；
根据垂径定理、三角形外心的性质解答．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意知，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为；
根据题意作树状图如下：

抽取的卡片中有“高山滑雪”的概率为． 

【解析】根据概率公式得出结论即可；
画出树状图得出结论即可．
本题主要考查概率的知识，熟练根据树状图求概率是解题的关键．
 

21.【答案】解：是的直径，
，
，
；
是的直径，
，
，
，
在中，
． 

【解析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、含角的直角三角形．
根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数；
利用含度的直角三角形的性质得出，再利用勾股定理求解即可．
 

22.【答案】解：，
根据题意得，
解得；
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】先把方程化为一般式得到，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可得到的取值范围；
根据根与系数的关系和的取值范围得到，，则可判断，，所以有得到，然后根据判别式的意义确定的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
 

23.【答案】解：与相切，理由如下：
如图连接，

，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
与相切于点，
，
，
又点在圆上，
与相切． 

【解析】连接，根据平行线的性质由推出，，从而得到，再结合图形利用全等三角形的判定定理得到≌，根据全等三角形的性质推出，从而利用切线的性质及判定进行证明即可．
本题考查切线的性质及直线与圆的位置关系，解题的关键连接，从而根据平行线的性质推出，，注意数形结合的思想方法．
 

24.【答案】 

【解析】解：定价每减少元，销售量将增加个，
定价每减少元，销售量将增加个，
当时，此时可以售出：个．
故答案是：；
设该商品每个应降价元，由题意得：
，
解得：，舍去，
则元．
答：该商品每个应定价元．
根据“定价每减少元，销售量将增加个”解答；
首先设该商品每个应降价元，则每个实际盈利为元，销售量为件，用每个盈利销售量每天盈利，列方程求解．为了扩大销售量，应取较小值．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：和是外角，
，，
，，
；
解：连接，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
即． 

【解析】由，再根据对顶角相等和三角形外角的性质容易证得；
连接，根据圆内接四边形的性质得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形内角和定理有，即，再解方程即可．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．
 

26.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，，
故方程的衍生点的坐标为．
故答案为：；
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
，
解得：，，
故方程的衍生点为．
如图，直线：与轴交于点，
则，
由得，，
令，，
，
点在直线上，刚好和的边交于点，
令，则，
，
；
．
因式分解法解方程，求得方程的解即可求得；
，即可得出结论；
先确定出点的坐标，进而判断出点在在直线上，借助图象即可得出结论．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
 

27.【答案】 

【解析】初步探索证明：由旋转得，，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
是的弦，且的半径为，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
的最大值是，
故答案为：．
类比迁移解：如图，，，
是的直径，且圆心在上，
，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，
的最大值是，
，
周长的最大值是．
拓展延伸解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，
，，
，
连接、，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
的最小值为．
初步探索由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是；
类比迁移先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；
拓展延伸连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．
此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．