2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市梁溪区八年级（上）期中数学试卷

，

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    如图，、相交于点，，若用“”说明≌，则还需要加上条件(    )

A.
B.
C.
D.

3.    满足下列条件的不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ：：：： D. ：：：：

4.    如图，数学课上，老师让学生尺规作图画的角平分线小明的作法如图所示，连接、，你认为这种作法中判断≌的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知一个等腰三角形有一个角为，则顶角是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不能确定

6.    下列说法正确的是(    )

A. 三个角对应相等的两个三角形全等
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 全等三角形的面积相等
D. 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

7.    在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

8.    在直角三角形中，两条直角边长分别为，，则斜边上的中线长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，正方形的边长为，在上，且，在上，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 正方形有____________条对称轴．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则三角形的周长是______ ．
13. 如图，是平分线上一点，于点，，，则的长为______，点到的距离是______．

14. 如图，点在上，，要能证≌，只需再补充一个条件：______．

15. 如图，中，，，分别以边、为直径向形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为______  结果中保留

16. 如图，折叠长方形一边，点落在边的点处，已知厘米，厘米，则______，______．

17. 如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为______时，能够使与全等．

18. 如图，射线射线于点，线段，，且于点，当线段的两个端点分别在射线和射线上滑动时，点到点的最大距离为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知：如图，，相交于点，，．
    求证：≌；
    ．

20. 本小题分
    如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、．
    若，求的度数；
    若，的长为，求的周长．

21. 本小题分
    如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，，，．
    直接写出的面积为______；
    画出关于轴的对称的点与点对应，点与点对应，点的坐标为______．

22. 本小题分
    已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

23. 本小题分
    如图，已知．
    用直尺和圆规按下列要求作图：保留作图痕迹
    作的角平分线；
    作，交的延长线于；
    作，垂足为．
    图中与相等吗？证明你的结论．

24. 本小题分
    在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画，并画的平分线．
    把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、如图度量、的长度，这两条线段______填“相等”或“不相等”．
    把三角尺绕点旋转如图，与相等吗？请说明理由．
    探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作的两边分别与、相交于、两点如图，与相等吗？请说明理由．
     
25. 本小题分
    新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
    如图，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则______；
    如图，四边形中，，，，，试说明四边形是“等腰四边形”；
    若在“等腰四边形”中，，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数．
     
26. 本小题分
    如图，中，于，且：：：：，
    试说明是等腰三角形；
    已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点 运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为秒，
    若的边与平行，求的值；
    若点是边的中点，问在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．已有条件，，若用“”说明≌必须添加边相等，根据判定方法可得应添加．
【解答】
解：还需要加上条件，
在和中
≌，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：、，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，：：：：，
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由作图可知，，，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
根据证明三角形全等可得结论．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
若该角为底角，则顶角为；
若该角为顶角，则顶角为．
顶角是或故选C．
已知中没有明确该角为顶角还是底角，所以应分两种情况进行分析．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质的运用能力．
 

6.【答案】 

【解析】解：、说明两三角形的形状相同，不能确定大小，故错误；
B、强调了两三角形的大小，没有确定形状，故错误；
C、由全等三角形的性质可以得出结论；
D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故错误．
正确答案为为．
故选C．
根据三角形全等条件可以得出全等从形状和大小两个方面同时满足就可以从备选答案中得出结论．
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答本题时弄清全等三角形的了两个必备条件是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
到三个顶点距离相等的点是，
故选：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知斜边长为：，
斜边上的中线长为，
故选：．
先根据题意求出直角三角形的斜边长，然后根据斜边上的中线性质即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
因为点关于的对称点为点，
所以，
根据两点之间线段最短可得就是的最小值，
正方形的边长为，，
，
的最小值是．
故选：．
要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．
考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图延长交于点，作，垂足为．

在中，，，
．
为的中点，
．
，
，解得．
由翻折的性质可知，，
，．
，，
．
．
，
为直角三角形．
．
故选：．
延长交于点，作，垂足为首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查正方形的性质．根据正方形是轴对称图形的性质分析．
【解答】
解：根据正方形的性质得到，如图：

正方形的对称轴是两组对边中线所在直线和两组对角线所在直线，共有条．
故答案为．  

12.【答案】或 

【解析】解：当为底时，其它两边都为，、可以构成三角形，周长为；
当为腰时，其它两边为和，可以构成三角形，周长为．
故答案为：或．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
 

13.【答案】   

【解析】解：如图，过点作于点，则长即为点到的距离，

在中，由勾股定理得，
，
是平分线上一点，于点，，
，
故答案为：；．
根据勾股定理以及角平分线的性质即可求解．
本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在和中

≌
故答案为：．
根据全等三角形的判定定理加条件．
本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：以为直径大半圆的面积，
这两个半圆的面积的和为
故答案为：
根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积．
此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆的面积，重在验证勾股定理．
 

16.【答案】，  

【解析】解：四边形是长方形，
，
折叠长方形一边，点落在边的点处，
，
在中，根据勾股定理得，，
所以，；
由折叠可知，，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，
即．
故答案为：，．
根据矩形的对边相等可得，根据翻折变换的性质可得，然后利用勾股定理列式计算求出，再根据计算即可得解；
根据翻折变换的性质可得，设，表示出，再利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，翻折前后对应边相等，对应角相等，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：设点的运动的时间为，点的运动速度为，则，，，
点为的中点，
，
，
当，时，根据“”可判定≌，
即，，
解得，；
当，时，根据“”可判定∽，
即，，
解得，；
综上所述，点的运动速度为或．
故答案为：或．
设点的运动的时间为，点的运动速度为，则，，，由于，则当，时，≌，所以，，当，时，”可判定∽，所以，，然后分别解方程即可．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，

，为的中点，射线射线于点，
，
，，
，
，
，
即点到点的最大距离为，
故答案为：．
取的中点，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得的长，再利用勾股定理可得的长，最后利用三角形三边关系可得答案．
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形的三边关系求线段的最值是解题的关键．
 

19.【答案】证明：在和中，
，
≌；
由知，≌，

． 

【解析】由已知条件，结合对顶角相等可以利用判定≌；
由等边对等角得结论．
此题考查了全等三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
又垂直平分，
，
，
；
垂直平分，
，
，
又，，
周长为． 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；

如图，即为所求，，
故答案为：；
把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
利用轴对称的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：如图，连接，

在中，，，
根据勾股定理得，，
在中，，，，

为直角三角形，

． 

【解析】先根据勾股定理求出，进而判断出是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形的面积．
此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出是直角三角形．
 

23.【答案】解：如图，、和为所作；

与相等．
理由如下：，
，
，，
平分，
，
，
，
，
． 

【解析】利用基本作图先作的平分线，再作，然后过点作的垂线即可；
先证明，则，，接着证明，所以为等腰三角形，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．
 

24.【答案】相等 

【解析】解：由度量可知，，
故答案为：相等．
，理由如下：
当时，如图，
，平分，
，
，且，
，
，
，
≌，
；
当与不垂直时，如图，作于点，于点，
，，，
≌，
，
，且，
，
，
，
，
≌，
，
综上所述，．
，理由如下：
如图，在上取一点，使，连接，
平分，
，
，
≌，
，，
，
，，且，
，
，
，
．
由测量可知，；
，分两种情况，当时，证明≌，可得；当与不垂直时，作于点，于点，先证明≌得，再证明≌，可得；
在上取一点，使，连接，先证明≌，可得，，再由同角的补角相等证明，则，得．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、多边形的内角和定理、线段相等的证明等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形是“等腰四边形”．
如图，，
根据题意得，，
，，
≌，
，
，，
；
如图，，
，
，
，
，
，
；
如图，，设，
作于点，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，
，垂直平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
综上所述，的度数为或或．
由“等腰四边形”的定义及题中所给的条件，可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求出的度数；
连接，先证明是等边三角形，则，可得，再根据勾股定理证明，由此证得四边形是“等腰四边形”；
分三种情况，一是，则≌，可求得；二是，则是等边三角形，先得到，再求出的度数，则可求得的度数；三是，作于点，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，先证明是等边三角形，再求出的度数．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解第题时应进行分类讨论，以免丢解．
 

26.【答案】证明：设，，，
则，
在中，，
，
，
是等腰三角形；
解：，而，
，
则，，，．
当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行时，值为或．
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点做垂直于，

，
，
在中，；
，，

则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为或或． 

【解析】设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
由的面积求出、、、；当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．