2022-2023学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京市秦淮区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下面四个图形分別是不可回收垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.    如图，已知，，与交于点，图中全等三角形有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

4.    如图，，，则下列判断正确的是(    )

A. 垂直平分
B. 垂直平分
C. 与互相垂直平分
D. 平分

5.    如图，≌，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画(    )
    

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.    自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______．
8.    已知≌，的周长为，若，，______．
9.    如图，已知，请添加一个条件：______ ，使≌写出一个即可．

10. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则______．

11. 若等腰三角形的一个外角等于，则它的底角为______
12. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为______．

13. 如图，在中，，，分别以，为边作正方形，面积分别记为，，则______．

14. 如图，是的中线，，分别是和延长线上的点．且，连接，，有下列说法：和的面积相等；；；，其中，正确的说法有          填序号
    
     
15. 在中，，，分别过、向过点的直线作垂线，垂足分别为、，若，，则 ______ ．
16. 以下四个命题：有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有______填序号

三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，求，两点间的距离．

18. 本小题分
    如图，，，、交于点，求证：．

19. 本小题分
    如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．
    在图中画出与关于直线成轴对称的；
    五边形的面积为______．

20. 本小题分
    如图，在中，，是的中线，求证：是等腰三角形．

21. 本小题分
    如图：在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

22. 本小题分
    如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．不写作法，保留作图痕迹
    作的平分线，交于点；
    在线段上求作一点，使得．

23. 本小题分
    如图，在和中，，，，连接，，与交于点，与交于点与有何关系？证明你的结论．

24. 本小题分
    如图，是等边三角形，，于，交于．
    求证：≌；
    求的度数．

25. 本小题分
    在中，，，，将绕点依次旋转、和，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
    请利用这个图形证明勾股定理；
    请利用这个图形说明，并说明等号成立的条件；
    请根据的结论解决下面的问题：长为，宽为的长方形，其周长为，求当，取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？

26. 本小题分
    我们在学习线段、角的对称性这节课的时候，课本中的例证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程．
    
    请补全课本例的证明过程；

运用上述结论解决下面的问题：
如图，在中，，，，垂足为，点、在上，且，连接并延长，交于点，连接求证．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、，能组成直角三角形，故此选项正确；
D、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
 

3.【答案】 

【解析】解：图中全等的三角形有对，
分别是≌，≌，≌，≌，
证明：，，
四边形为平行四边形，
，，，，，，
在和中，
，，，
≌；
在和中，
，，，
≌；
在和中，
，，，
≌；
在和中，
，，，
≌．
故选：．
先由四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到两组对边相等，两组对角相等，且对角线互相平分，然后利用“”的全等方法得到和全等及和全等，利用“”的全等方法得到和全等及和全等，从而得到图中全等三角形的对数为．
此题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定．本题属于结论开放型问题，此类问题的特点是已知相关条件，需要根据条件寻求相应的结论，并且符合条件的结论不唯一．判断出四边形为平行四边形是解本题的突破点，其中判定三角形全等的方法有：，，，及，根据实际情况选择合适的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：在与中，
，
≌，
，
垂直平分，
故选：．
根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据邻补角的定义求出，再根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等腰三角形的两底角相等列式计算即可得解．
【解答】
解：，
，
≌，
，
，
．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形．

故选：．
根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可．
此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，正确利用图形分类讨论得出等腰三角形是解题关键．
 

7.【答案】稳定性 

【解析】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性，
故答案为：稳定性．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：≌，
，
的周长为，，
，
故答案为：．
根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的周长解答即可．
本题考查了全等三角形对应边相等的性质，三角形的周长，根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出对应边是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：添加：，
在和中，，
≌．
故答案为：．
添加，再加上条件，公共边，可利用定理判定≌．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，是斜边上的中线，，
，
故答案为．
根据直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
本题考查直角三角形的斜边中线定理，记住直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的一个外角为
相邻角为，
三角形的底角不能为钝角，
角为顶角，
底角为：．
故答案为：．
根据三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，等腰三角形的性质：等边对等角求解．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：线段的垂直平分线交于点，
，
的周长是，
，
，
，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质可知，再根据的周长即可求出的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，
由勾股定理得：，
则，
故答案为：．
在直角三角形中，利用勾股定理求出的值，根据，分别表示正方形面积，求出的值即可．
此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出正确，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得．
【解答】
解：是的中线，
，
和面积相等，故正确；
为的中线，
，和不一定相等，故错误；
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
≌，
，故错误，
正确的结论为．
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：，，

在与中，
，
≌，


．
，
故答案为：或．
认真画出图形，找出一组全等三角形即可，利用全等三角形的对应边相等可得答案．
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、本题要注意思考全面，两种情况，不能遗漏．
 

16.【答案】 

【解析】解：有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等，故错误，是假命题，不符合题意；
有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等，故错误，是假命题，不符合题意；
有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等，故正确，是真命题，符合题意；
有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等，故正确，是真命题，符合题意．
其中真命题是，
故答案为：．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

17.【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
即、两点间的距离为． 

【解析】直接由勾股定理列式计算即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】欲证明，只要证明≌．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求，

五边形的面积，
故答案为：．
根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
利用五边形的面积大矩形的面积四个三角形的面积即可求解．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，是的中线，
，
，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】由等腰三角形的性质得，再由平行线的性质得，则，即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
故四边形的面积是． 

【解析】在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，射线即为所求；
如图，点即为所求．
 

【解析】根据要求作出图形即可；
作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：，，证明如下：
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，得，，再由三角形内角和定理可得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

24.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在与中，
，
≌；

解：≌已证，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”即可证明两三角形全等；
根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，再根据得到，根据三角形的内角和定理求出．
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：因为边长为的正方形面积为，
它也可以看成是由个直角三角形与个边长为的小正方形组成的，
它的面积为，
所以．

，
，
，
当且仅当时，等号成立．

依题意得，
，长方形的面积为，
由的结论知，
，
，
当且仅当时，长方形的面积最大，最大面积是． 

【解析】根据题意，我们可在图中找等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
利用非负数的性质证明即可．
根据，代入中结论即可求解．
本题考查了握勾股定理的证明以及非负数的性质．
 

26.【答案】     

【解析】证明：如图，过点作、、，垂足分别为、、．
平分，点在上，
．
同理．
．
点在的平分线上．
故答案为：，，；
证明：如图，连接．
在中，，，，
是线段的垂直平分线，，，
点、在上，，
，，
平分，，
又平分，
根据的结论得出平分，
，
，
，
．
根据角平分线的性质即可证明；
连接，证明、分别平分、，根据的结论得出平分，再证明，即可判定．
本题考查了角平分线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，有一定难度，准确作出辅助线是解题的关键．