高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.1 一元二次函数同步达标检测题

4.1 一元二次函数

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 二次函数的对称轴和顶点坐标分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 二次函数的图像与x轴没有交点的充要条件是(    )

A.  B.
C.  D. ，

3. 若二次函数的函数值恒小于0，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知二次函数，当时，y的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如果二次函数图象的对称轴是，并且通过点，则a，b的值分别是(    )

A. 2，4 B. 2， C. ，4 D. ，

6. 已知二次函数的对称轴为，一元二次方程有一根为3，则另一根为(    )

A.  B.  C. 0 D. 1

7. 将二次函数的图像平行移动，顶点移到下列各点．请判断得到的对应解析式不正确的有几个(    )
   ①平移后的顶点：，平移后的解析式：²；
   ②平移后的顶点：，平移后的解析式：²；
   ③平移后的顶点：，平移后的解析式：²；
   ④平移后的顶点：，平移后的解析式：²；

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 设二次函数，当时，且对任意实数x都有恒成立，实数a、b的值为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 如图二次函数的图象过点，且与x轴相交于A，B两点，若，则a的取值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10. 已知二次函数的图象过点，对称轴为，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知二次函数的图象经过点和，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 当时，二次函数的图象与x轴必有一个交点在点的右侧
D. 二次函数的图象的对称轴为

12. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点，…，求证：这个二次函数的图象关于直线对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(    )

A. 在x轴上截得的线段的长度是2 B. 与y轴交于点
C. 顶点是 D. 过点

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

13. 已知二次函数图象永远在横轴上方，则实数a的取值范围为______.
14. 方程的两个不等实根都在上，则______ .

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分

如图，已知二次函数过点，

求此二次函数的解析式；

在抛物线上存在一点P使的面积为10，求点P的坐标．

16. 本小题分
    已知关于x的二次函数的图象与x轴有2个交点.
    求k的取值范围;
    若图象与x轴交点的横坐标为，，且它们的倒数之和是，求k的值.
17. 本小题分
    已知二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线上，并且图象经过点
    求二次函数的解析式；
    当时，求二次函数的最大值与最小值，并求此时x的值．
18. 本小题分
    已知二次函数，非空集合
    当时，二次函数的最小值为，求实数a的取值范围；
    是否存在整数a的值，使得“”是“二次函数的最大值为3”的充分条件，如果存在，求出一个整数a的值，如果不存在，请说明理由．
19. 本小题分

已知二次函数为常数，且的图象过，两点，且它的对称轴的方程为

求该二次函数的表达式；

当时，函数的最大值为，最小值为，令，求的表达式．

20. 本小题分

已知二次函数，

若，写出函数的最大值与最小值;

若函数在区间上满足函数值y随自变量x的增大而增大，求实数a的取值范围;

求函数的最小值.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，属于基础题.
根据题意配方求解即可.
【解答】
解：二次函数 的对称轴方程为，
顶点坐标为，
故选  

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的图像与x轴交点个数问题，以及充要条件的应用，属于基础题.
由二次函数的图像与x轴没有交点，故，由此即可得到答案.

【解答】

解：由二次函数的图像与x轴没有交点，
故，
故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的性质和一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.
由题意，结合二次函数图象可得，从而求得a的范围.

【解答】

解：因为是二次函数，
所以，
因为函数值恒小于零，
所以二次函数的图像开口向下，且其图像与x轴没有交点，
所以，解得
故选

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的性质的应用，能理解二次函数的性质是解此题的关键，属于基础题.
先求出时y的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可．

【解答】

解：，
当时，y随x的增大而减小，
当时，，
当时，y的取值范围是，
故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

根据图象的对称轴可得，根据图象过点可得，联立两方程可求得a，本题考查二次函数的性质，属于基础题，准确理解二次函数的相关性质是解决问题的关键．

【解答】

解：图象的对称轴是，
     ①，
又图象过点，
即②，
联立①②解得，，
故选

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的图象关于对称轴对称以及运用，属于基础题．
利用二次函数的图象特征，图象关于对称轴对称，所以两根也关于对称轴对称．

【解答】

解：因为二次函数的对称轴为，
一元二次方程有一根为3，设另一根为m，
所以，
解得；
故选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的平移，属于基础题.
对于二次函数²，平移后顶点为，则平移后二次函数的解析式为²，即可作答.

【解答】

解：①二次函数的图像平行移动，顶点移到点，此时函数的解析式为²，故①正确.
②二次函数的图像平行移动，顶点移到点，此时函数的解析式为²，故②错误.
③二次函数的图像平行移动，顶点移到点，此时函数的解析式为²，故③错误.
④二次函数的图像平行移动，顶点移到点，此时函数的解析式为²；故④正确.
故不正确的个数有2个.
故选

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的图象和性质，属于中档题.
首先根据当时，得到，再根据不等式的恒成立问题可得，即可求得a，b。

【解答】

解：因为二次函数，当时，所以，
所以①
因为对任意实数x都有恒成立，即二次函数恒成立，
可得 ，代入①可得，
所以，故选

9.【答案】B 

【解析】

【分析】

通过根与系数的关系得，，再由射影定理得出等式，解出即可．
本题考查了韦达定理，是一道难题．

【解答】

解：当时，抛物线与x轴交于，，
且，，
过C作轴于D，，
所以，，，
所以
即①，因为是抛物线上的点
，所以②，
所以联立①②得
故选：

10.【答案】ABC 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号.
由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用.
【解答】
解：二次函数的图象与x轴交于两点，，即，项正确；
对称轴为，即，，项正确；
当时，，即，项正确；
，，项错误．
故选  

11.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的图象和性质，属于中档题.
将点代入，即可判断A正确；将点代入，得，又由①得，两式相加，相减，从而可判断B选项；根据一元二次方程根与系数的关系即可判断C；根据抛物线的对称轴公式为，即可判断D选项.

【解答】

解：抛物线经过点，
所以，故A正确；
B. 抛物线经过点，
所以，
又，
两式相加，得，，
两式相减，得，
因为，
当，即时，，故B错误；
C. 当时，因为，
所以抛物线与x轴有两个交点，
设另一个交点的横坐标为x，
则，即，
因为，
所以，
所以，
即抛物线与x轴必有一个交点在点的右侧，故C正确；
D. 抛物线的对称轴为，故D正确．
故选

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数，属于基础题.
根据二次函数的图像和性质逐一判定即可得出结论.

【解答】

解：因为函数图象过点，且对称轴是直线，
所以函数与x轴另一个交点为
故D正确；
因为函数图像与x轴交于、
所以函数在x轴上截得的线段长度为2
故A正确；
因为函数对称轴为，故二次函数顶点横坐标为2，
故C错误；
由题知得
当时，，此时函数图像与y轴交于点
故B正确

故选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查实数的取值范围的求法，考查二次函数、一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
推导出恒成立，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】

解：二次函数图象永远在横轴上方，
恒成立，且，
，
解得
实数a的取值范围是
故答案为：

14.【答案】  

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的根与判别式的关系与方程系数的关系，属于中档题.
由已知条件得：判别式，令，根据函数的零点在内，列出不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围.
【解答】
解：令，
由条件得：，
解得
的取值范围为
故答案为  

15.【答案】解：二次函数过点，，

，解得，

二次函数的解析式为；

当时，，解得：，；

，，，

设，的面积为10，，解得：，

当时，，解得：或2，；

当时，，方程无解，

故

【解析】本题考查一元二次函数解析式，待定系数法，属于中档题.
利用待定系数法把，代入二次函数中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是；
首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设，根据的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标.
 

16.【答案】解：二次函数的图象与x轴有两交点，
当时，有两个不相等的实数根.

解得
当时，，
则，，
，
解得：或舍去，
 

【解析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.
根据二次函数的图象与有两交点，得出时，有两个不相等的实
数根，从而可知，解不等式即可得出答案;
由根与系数关系得出方程，解方程即可得出答案.
 

17.【答案】解：因为二次函数的最大值为2，
图象的顶点在直线上，所以顶点坐标为且，
因此设二次函数为，
由二次函数的图象经过点得，解得，
所以二次函数为
因为，，
所以由的图象知：
当时，y的最大值为2，
当时，y的最小值为 

【解析】本题考查了二次函数，函数的解析式和函数的最值，属于中档题.
利用待定系数法求函数的解析式，计算得结论；
利用二次函数在闭区间上的最值，计算得结论．
 

18.【答案】解：，当且仅当时，二次函数有最小值为，
由已知时，二次函数的最小值为，则，所以

二次函数，开口向上，对称轴为，

作出二次函数图象如图所示，由“”是“二次函数的大值为3”的充分条件，

即时，二次函数的最大值为3，

，即为，令，解得或，

由图像可知，当或时，二次函数的最大值不等于3，不符合充分条件，

则，即a可取的整数值为0，1，2，3，4任意一个．

【解析】本题考查二次函数的图象与性质及充分条件，属于拔高题.
先求出二次函数当时取得最小值，得出a的取值范围即可；
根据二次函数的图象与性质由“”是“二次函数的最大值为3”的充分条件得出a的取值范围即可得出答案.
 

19.【答案】解：二次函数的图像经过两点，
则，
因为它的对称轴的方程为，则，
解得所以该二次函数的表达式；
当时，函数，
，其图象对称轴的方程为
①当，即时，，，；
②当，即时，，
，，
③当，即时，，
，；
④当，即时，，，
综上： 

【解析】本题考查二次函数性质及二次函数最值，考查分类讨论数学思想，属于中档题.
根据二次函数过A，B点可得，再由对称轴的方程为，即可解得a，b，c，进而求得解析式.当时，函数，分，，，和四种情况讨论求解最大值与最小值即可．
 

20.【答案】解：当时，，
因为，所以，
所以，
所以函数的最大值27，最小值为2；
由题可知，函数的对称轴为直线，
因为函数在区间上满足函数值y随自变量x的增大而增大，
所以 ，解得，
即实数a的取值范围；
由知，函数的对称轴为直线，
当即时，函数在处取得最小值为；
当即时，函数在处取得最小值为；
当即时，函数在处取得最小值为，
综上，当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为 

【解析】本题考查了二次函数的性质，属于中档题.
当时，，根据函数的图象即可求出函数的最大值与最小值；
由二次函数的性质可得，解出a即可；
由知，函数的对称轴为直线，对的范围进行讨论即可求出答案.