北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件第三课时同步达标检测题

2.1第三课时充要条件

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设全集为U，则下面四个选项中不是“”的充要条件的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 在下列结论中，正确的有个.(    )
   ①是的充分不必要条件
   ②在中，“为直角三角形”的充要条件是
   ③若，则“不全为”是“”的充要条件

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3. “不等式在R上恒成立”的充要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各个命题中，满足p是q的充要条件的个数为(    )
   ①两个三角形三边对应相等，两个三角形全等；
   ②两个三角形全等，q：两个三角形的两边及其一边所对的角相等；
   ③两个三角形的两个内角对应相等，两个三角形相似；
   ④两个三角形相似，q：两个三角形的两边对应成比例.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5. 设a，，则“”的充要条件是(    )

A. a，b不都为2 B. a，b都不为2
C. a，b中至多有一个是2 D. a，b都不为0

6. 设集合，若集合，，则的充要条件是(    )

A. ， B. D.，
C. ， D. ，

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

7. 下列各题中，p是q的充要条件的有(    )

A. p：四边形是正方形；q：四边形的对角线互相垂直且平分
B. p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例
C. p：；q：，；
D. p：是一元二次方程的一个根；q：

8. 设计如图所示的四个电路图，“开关闭合”；“灯泡亮”，则p是q的充要条件的电路图是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 设全集为U，则下面四个命题中是“”的充要条件的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. “方程无实根”的充要条件是__________ .
11. 已知集合，或，则的充要条件是__________ .
12. 请写出一个使成立的充要条件：__________，充分不必要条件：__________.
13. 至少有一个负实根的充要条件是__________.
14. 已知关于x的方程，则该方程有两个正根的充要条件是__________ .
15. 方程至少有一个负实根的充要条件是__________.

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分

设

若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；

若a是方程的根，判断p是q的什么条件.

17. 本小题分

求证方程有且只有一个负数根的充要条件为或

18. 本小题分

设非空集合，，，求使成立的充要条件．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查了集合的运算、集合之间的关系，充要条件的判断，考查了推理能力.
利用集合的运算、集合之间的关系即可判断出结论.
【解答】
解：U为全集，下面四个命题：
A. 由，可得由可得，故是的充要条件．
B.由可得，由可得，故是的充要条件．

C.由，可得，由可得，故是的充要条件．
D.由，可得，不能推出，故不是的充要条件
故选

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
利用充分条件，必要条件的定义分别判断即可．

【解答】

解：对于①，由，但是或或，不一定有，故是的充分不必要条件，①正确；
对于②，当或时不能推出，由可得为直角三角形，故②错；
对于③，由，b不全为0，反之，由a，b不全为，故③正确．
故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查不等式恒成立问题和充要条件.
先求出不等式恒成立时m的取值范围，然后再根据充要条件的定义即可求解.

【解答】

解：由题意知，不等式在R上恒成立在R上恒成立，
因为，所以，
所以“不等式在R上恒成立”的充要条件是
故选

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了充要条件及其判断，属于基础题.
根据三角形全等的判定与性质及三角形相似的判定与性质即可得出答案.

【解答】

解：根据三角形全等的判定定理及性质可知，两个三角形三边对应相等等价于两个三角形全等，故①中，故①满足；
②中，由两个三角形的两边及其一边所对的角相等不能得到两个三角形全等，即\(q⇏p\)，故②不满足；
③由两个三角形的两个内角对应相等可以推出两个三角形相似，反之亦成立，即，故③满足；
④由两个三角形的两边对应成比例推不出两个三角形相似，即\(q⇏p\)，故④不满足；
故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了充要条件的判断，考查了学生对充要条件概念的理解.
直接利用充要条件的定义判定即可得到正确答案.

【解答】

解：
即，则可得且
反之：且可得，

综上可得“”的充要条件是“且”.
故选

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查集合交集定义、充分必要条件判断，属于中档题.
结合题意可得，进一步可得，得，反之亦成立.
 

【解答】

解：由题意，知，
由可得，得，反之亦成立.
故的充要条件是，
故选

7.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查充要条件的判断，属于基础题.
利用充要条件的定义进行判断即可.

【解答】

解：对于A、因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，故p不是q的充要条件；
对于B、由相似三角形的判定和性质可知，p是q的充要条件；
对于C、当时，满足，但不满足，，故p不是q的充要条件；
对于D、是一元二次方程的一个根，故p是q的充要条件.
故选

8.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.
通过题意分析，可得只要开关闭合，灯泡就会亮，反过来，只要灯泡亮，开关一定是闭合的，通过判断4个图，确定是否以上两种情况同时满足即可.

【解答】

解：由题知，电路图A中，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮开关不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮则开关一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关闭合则灯泡亮，灯泡亮则开关闭合，故D中p是q的充要条件，
故选

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查充要条件的判断，考查交集，补集运算，属于中档题.
利用集合间的关系和必要条件、充分条件与充要条件的判断，逐项判断即可；

【解答】

解：对于选项A，由，可得由可得，即是命题的充要条件，故A满足条件；
对于选项B，由可得，由可得，故是命题的充要条件，故B满足条件；
对于选项C，由，可得，由可得，
故是命题的充要条件，故C满足条件；
对于选项D，由，可得，不能推出，
故不是命题的充要条件，故D不满足条件．
故选

10.【答案】 

【解析】

【分析】

根据根的判别式求出“方程无实根”的充要条件即可．
本题考查了充要条件，考查根的判别式，是基础题．

【解答】

解：方程无实根，
，解得：，
反之，若，则方程无实根，
故“方程无实根”的充要条件是：，
故答案为：

11.【答案】 

【解析】

【分析】

根据，所以集合，又因为，，结合数轴从而解得的充要条件．
本题考查含参数集合交集的运算，充分必要条件的定义，用到数形结合的思想方法．注意端点等号的取得．

【解答】

解：根据题意，集合，，，
分析可得，
解可得，，
故答案为：

12.【答案】或

【解析】

【分析】

本题主要考查充要条件，充分不必要条件的应用，属于基础题.
根据充要条件，充分不必要条件的概念即可求解.

【解答】

解：或；
或，
故成立的充要条件为或
\(ab=0⇏a=0\)；\(a=0⇒ab=0\)，
故成立的充分不必要条件为：
故答案为或

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是充要条件，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.
根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可.

【解答】

解：当时，原方程为一元一次方程，有一个负实根，
符合题设．

当时，原方程为一元二次方程，
它有实根的充要条件是，即

设此时方程的两根分别为，，

则，，

当只有一个负实根时，所以；

当有两个负实根时，所以

综上所述，所求的a的取值范围为
故答案为：

14.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查了方程根的分布、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由已知可得：该方程有两个正根的充要条件是，且，求解即可.

【解答】

解：关于x的方程，即，
则该方程有两个正根的充要条件是，且，
解得：或，
因此该方程有两个正根的充要条件是：或
故答案为：或，

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查一元二次方程根的分布问题，充要条件问题，属于中档题．
先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在二次项系数不为0时，又分两根一正一负和两根均为负值两种情况，综合在一起找到a所满足的条件即可得到，再利用上述过程可逆，就可以下结论． 

【解答】

解：①时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则，得；
若方程有两个负的实根，
则必有
②若时，可得也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则
反之，若，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程至少有一负的实根的充要条件是：
故答案为：

16.【答案】解：设，，
是q的必要不充分条件，
，
；
是q的充分不必要条件，
，
；
若a是方程的根，即，
即，解得，
，p是q的充要条件． 

【解析】本题考查了充分条件，必要条件的应用，考查了方程的求解，考查计算能力和推理能力，属于一般题．
设，，
若p是q的必要不充分条件，则，进而可得a的范围；
若p是q的充分不必要条件，则，进而可得a的范围；
若a是方程的根，则，则，p是q的充要条件．
 

17.【答案】解：充分性：
当时，方程变为，其根为，方程只有一个负根；
当时，方程为其根为，方程只有一个负根；
当时，，方程有两个不相等的根，且，方程有一正一负根；
必要性：
若方程有且仅有一个负根；
当时，适合条件；
当时，方程有实根，
则，，
当时，方程有一个负根，若方程有且仅有一负根，则，
 ，
综上方程有且仅有一负根的充要条件为或 . 

【解析】本题借助充分与必要条件考查了一元二次方程根的存在问题．
首先充分性，分别讨论，，与三种情形；其次必要性，分别讨论，与两种情形.
 

18.【答案】解：

当时，由，得

当时，由，得

当时，由，得

综上所述，使的充要条件是

【解析】本题考查充要条件的应用，考查二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于拔高题.
，对a分类讨论并根据可求实数a的取值范围.