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福建省泉州市南安市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份福建省泉州市南安市2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2022 B．x≥2022 C．x＞2022 D．x≥2023
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝7
3．观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
6．已知＝5，则的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3 B．＝±3 C．＝﹣3 D．﹣＝﹣3
8．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（ ）
A．25：9 B．9：25 C．5：3 D．3：5
9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2019年至2021年我国快递业务收入由7498亿元增加到10332亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7498（1+2x）＝10332
B．7498×2（1+x）＝10332
C．7498（1+x）2＝10332
D．7498+7498（1+x）+7498（1+x）2＝10332
10．已知a、b为实数，m、n分别表示5﹣的整数部分和小数部分，且am+bn＝4，则a+b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小： 5．
12．方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成一般形式为 ．
13．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 米．
14．方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是 ．
15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+﹣|b|的结果是 ．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
20．（8分）若关于y的方程y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0的两个实数根互为相反数，求（﹣m）2022的值．
21．（8分）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
22．（10分）某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由．
23．（10分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
24．（12分）已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
25．（14分）已知关于x的方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）有两个相等的实数根．
（1）求b、c满足的关系式；
（2）如图，若Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，A（0，c），B的横坐标为b+，且OC的长恰好为方程的解．
①过点C作CD⊥x轴，交AB于点D，求证：CD为定长；
②求△ABC面积的最小值．
2022-2023学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2022 B．x≥2022 C．x＞2022 D．x≥2023
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，解不等式得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣2022≥0，
解得：x≥2022．
故选：B．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝7
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，
故选：C．
3．观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【解答】解：A．两图形形状相同，故是相似图形；
B．两图形形状不同，故不是相似图形；
C．两图形形状不同，故不是相似图形；
D．两图形形状不同，故不是相似图形；
故选：A．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
5．用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
故选：D．
6．已知＝5，则的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据已知可得b＝5a，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝5，
∴b＝5a，
∴＝＝＝﹣，
故选：A．
7．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3 B．＝±3 C．＝﹣3 D．﹣＝﹣3
【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，
∴A的结论不正确；
∵＝3，
∴B的结论不正确；
∵＝|﹣3|＝3，
∴C的结论不正确；
∵﹣＝﹣3，
∴D的结论正确，
故选：D．
8．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（ ）
A．25：9 B．9：25 C．5：3 D．3：5
【分析】根据相似三角形的性质：对应高比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应高线，AD＝5，A'D'＝3，
∴两三角形的相似比为：5：3，
则△ABC与△A'B'C'的面积比是：25：9．
故选：A．
9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2019年至2021年我国快递业务收入由7498亿元增加到10332亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7498（1+2x）＝10332
B．7498×2（1+x）＝10332
C．7498（1+x）2＝10332
D．7498+7498（1+x）+7498（1+x）2＝10332
【分析】利用2021年我国快递业务收入＝2019年我国快递业务收入×（1+我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得7498（1+x）2＝10332．
故选：C．
10．已知a、b为实数，m、n分别表示5﹣的整数部分和小数部分，且am+bn＝4，则a+b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴2＜5﹣＜3，
∴5﹣的整数部分m＝2，小数部分n＝5﹣﹣2＝3﹣，
∵am+bn＝4，
∴2a+（3﹣）b＝4，
∴a+b＝2，
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小： ＜ 5．
【分析】通过估算进行分析求解．
【解答】解：∵，
∴4＜＜5，
即3＜5，
故答案为：＜．
12．方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成一般形式为 3x2﹣5x﹣4＝0 ．
【分析】根据单项式乘以多项式的运算，移项、合并同类项，整理即可得解．
【解答】解：3x（x﹣1）＝2（x+2），
3x2﹣3x＝2x+4，
3x2﹣3x﹣2x﹣4＝0，
3x2﹣5x﹣4＝0．
故答案为：3x2﹣5x﹣4＝0．
13．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 30 米．
【分析】根据三角形的中位线定理得出AB＝2DE，再代入求出答案即可．
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15米，
∴AB＝30（米），
故答案为：30．
14．方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是 x1＝2，x2＝0 ．
【分析】把（2x﹣3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以2x+3与已知方程的解也相同．
【解答】解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3＝0的解，
由于另一个方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同
∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣3
解得x1＝2，x2＝0．
故答案为：x1＝2，x2＝0．
15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+﹣|b|的结果是 ﹣2a ．
【分析】直接利用数轴结合a，b的位置得出a＜0，a﹣b＜0，b＞0，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，b＞0，
故|a|+﹣|b|
＝﹣a+（b﹣a）﹣b
＝﹣a+b﹣a﹣b
＝﹣2a．
故答案为：﹣2a．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 或2 ．
【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，＝，
又∵AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝BF，
∴＝，
解得BF＝；
②△B′CF∽△BCA时，＝，
AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝CF，BF＝B′F，
而BF+FC＝4，即2BF＝4，
解得BF＝2．
故BF的长度是或2．
故答案为：或2．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2×+（3+2）÷
＝2﹣+3+2
＝3+3．
18．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】利用求根公式x＝求解即可．
【解答】解：∵a＝5，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，
则x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
【分析】根据两边成比例夹角相等即可证明．
【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
20．（8分）若关于y的方程y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0的两个实数根互为相反数，求（﹣m）2022的值．
【分析】根据根与系数的关系，利用两根之和为0得到4（m﹣1）＝0，然后求出m后利用乘方的意义计算（﹣m）2022的值．
【解答】解：设y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0的两实数根为α，β，
则α+β＝4（m﹣1），
∵关于y方程y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0有两个实数根互为相反数，
∴α+β＝0，
∴4（m﹣1）＝0，
解得m＝1，
经检验，m＝1时，原方程有两个不等实数根，
∴（﹣m）2022＝（﹣1）2022＝1．
21．（8分）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可直接得出答案．
（3）观察点的变化规律，可得答案．
【解答】解：（1）如图，△OB'C'即为所求．
（2）由图可得，点B'（﹣6，2），C'（﹣4，﹣2）．
（3）由题意得，点M'的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
22．（10分）某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由．
【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式Δ＝﹣104＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出围成的鸡场面积不能达到180平方米．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米，
依题意得：x（30+2﹣2x）＝120，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝10，x2＝6．
当x＝10时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×10＝12＜18，符合题意；
当x＝6时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×6＝20＞18，不符合题意，舍去．
答：鸡场的长为12米，宽为10米．
（2）围成的鸡场面积不能达到180平方米，理由如下：
设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米，
依题意得：y（30+2﹣2y）＝180，
整理得：y2﹣16y+90＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×90＝﹣104＜0，
∴该方程没有实数根，
∴围成的鸡场面积不能达到180平方米．
23．（10分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．
（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BD，
∴＝＝，
∵FG∥AC，
∴＝＝，
∵BG＝4，
∴CG＝6．
（2）∵CD＝2，CG＝6，
∴DG＝CG﹣CD＝4，
∵BG＝4，
∴BD＝BG+DG＝8，
∵＝，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝
24．（12分）已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 3 （请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【分析】（1）依据△ABC三条边的长度分别是，即可得到当x＝2时，△ABC的最长边的长度；
（2）依据根式有意义可得﹣1≤x≤4，进而化简得到△ABC的周长；
（3）依据（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：（1）当x＝2时，＝，＝＝3，4﹣＝4﹣2＝2，
∴△ABC的最长边的长度是3，
故答案为：3；
（2）由根式有意义可得，
即﹣1≤x≤4．
又∵4﹣＞0，
∴x＞0，
∴0＜x≤4，
可得，．
所以C△ABC＝＝．
（3）由（2）可得，且0＜x≤4．
由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证．
当x＝4时，三条边的长度分别是，
但此时，不满足三角形三边关系．
所以x≠4．
当x＝3时，三条边的长度分别是2，2，3，满足三角形三边关系．
故此时C△ABC取得最大值为7，符合题意．
不妨设a＝2，b＝2，c＝3，得
＝
＝．
25．（14分）已知关于x的方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）有两个相等的实数根．
（1）求b、c满足的关系式；
（2）如图，若Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，A（0，c），B的横坐标为b+，且OC的长恰好为方程的解．
①过点C作CD⊥x轴，交AB于点D，求证：CD为定长；
②求△ABC面积的最小值．
【分析】（1）由一元二次方程有两个相等的实数根可得Δ＝0，代入计算即可；
（2）①作辅助线，证明△AOC∽△CEB，可得BE的长，得点B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式，由点D的横坐标可得CD的长；
②利用面积和可得△ABC的面积，根据完全平方公式可得b+的最小值，从而得结论．
【解答】（1）解：∵关于x的方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣2b）2﹣4c＝0，
∴b2＝c；
（2）①证明：过B作BE⊥x轴于E，
∵OC的长恰好为方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）的解，
∴2OC＝2b，
∴OC＝b，
∵B的横坐标为b+，
∴OE＝b+，
∴CE＝，
∵∠ACB＝∠ACO+∠BCE＝90°，
∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BCE，
∵∠AOC＝∠CEB＝90°，
∴△AOC∽△CEB，
∴，即，
∴BE＝，
∴B（b+，），
设AB的解析式为：y＝kx+n，
则，
∴，
∴AB的解析式为：y＝x+c，
当x＝b时，y＝CD＝+c＝+c＝+c＝﹣c+1+c＝1，
∴CD为定长；
②解：过点C作CD⊥x轴，交AB于点D，
由①知：CD＝1，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝＝＝，
∵b＞0，
∴＞0，
∴（﹣）2≥0，
∴b+≥2＝2，
∴b+的最小值是2，
∴△ABC面积的最小值是1．
2022-2023学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2022 B．x≥2022 C．x＞2022 D．x≥2023
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝7
3．观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
6．已知＝5，则的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3 B．＝±3 C．＝﹣3 D．﹣＝﹣3
8．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（ ）
A．25：9 B．9：25 C．5：3 D．3：5
9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2019年至2021年我国快递业务收入由7498亿元增加到10332亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7498（1+2x）＝10332
B．7498×2（1+x）＝10332
C．7498（1+x）2＝10332
D．7498+7498（1+x）+7498（1+x）2＝10332
10．已知a、b为实数，m、n分别表示5﹣的整数部分和小数部分，且am+bn＝4，则a+b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小： 5．
12．方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成一般形式为 ．
13．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 米．
14．方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是 ．
15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+﹣|b|的结果是 ．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
20．（8分）若关于y的方程y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0的两个实数根互为相反数，求（﹣m）2022的值．
21．（8分）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
22．（10分）某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由．
23．（10分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
24．（12分）已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
25．（14分）已知关于x的方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）有两个相等的实数根．
（1）求b、c满足的关系式；
（2）如图，若Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，A（0，c），B的横坐标为b+，且OC的长恰好为方程的解．
①过点C作CD⊥x轴，交AB于点D，求证：CD为定长；
②求△ABC面积的最小值．
2022-2023学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠2022 B．x≥2022 C．x＞2022 D．x≥2023
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，解不等式得出答案．
【解答】解：要使二次根式有意义，
则x﹣2022≥0，
解得：x≥2022．
故选：B．
2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．x+＝7
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意；
B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意；
C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意；
D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意，
故选：C．
3．观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【解答】解：A．两图形形状相同，故是相似图形；
B．两图形形状不同，故不是相似图形；
C．两图形形状不同，故不是相似图形；
D．两图形形状不同，故不是相似图形；
故选：A．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
5．用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
故选：D．
6．已知＝5，则的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据已知可得b＝5a，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝5，
∴b＝5a，
∴＝＝＝﹣，
故选：A．
7．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3 B．＝±3 C．＝﹣3 D．﹣＝﹣3
【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，
∴A的结论不正确；
∵＝3，
∴B的结论不正确；
∵＝|﹣3|＝3，
∴C的结论不正确；
∵﹣＝﹣3，
∴D的结论正确，
故选：D．
8．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应高线，若AD＝5，A′D′＝3，则△ABC与A'B'C′的面积比是（ ）
A．25：9 B．9：25 C．5：3 D．3：5
【分析】根据相似三角形的性质：对应高比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应高线，AD＝5，A'D'＝3，
∴两三角形的相似比为：5：3，
则△ABC与△A'B'C'的面积比是：25：9．
故选：A．
9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2019年至2021年我国快递业务收入由7498亿元增加到10332亿元．设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．7498（1+2x）＝10332
B．7498×2（1+x）＝10332
C．7498（1+x）2＝10332
D．7498+7498（1+x）+7498（1+x）2＝10332
【分析】利用2021年我国快递业务收入＝2019年我国快递业务收入×（1+我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得7498（1+x）2＝10332．
故选：C．
10．已知a、b为实数，m、n分别表示5﹣的整数部分和小数部分，且am+bn＝4，则a+b＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴2＜5﹣＜3，
∴5﹣的整数部分m＝2，小数部分n＝5﹣﹣2＝3﹣，
∵am+bn＝4，
∴2a+（3﹣）b＝4，
∴a+b＝2，
故选：D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．比较大小： ＜ 5．
【分析】通过估算进行分析求解．
【解答】解：∵，
∴4＜＜5，
即3＜5，
故答案为：＜．
12．方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化成一般形式为 3x2﹣5x﹣4＝0 ．
【分析】根据单项式乘以多项式的运算，移项、合并同类项，整理即可得解．
【解答】解：3x（x﹣1）＝2（x+2），
3x2﹣3x＝2x+4，
3x2﹣3x﹣2x﹣4＝0，
3x2﹣5x﹣4＝0．
故答案为：3x2﹣5x﹣4＝0．
13．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 30 米．
【分析】根据三角形的中位线定理得出AB＝2DE，再代入求出答案即可．
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15米，
∴AB＝30（米），
故答案为：30．
14．方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是 x1＝2，x2＝0 ．
【分析】把（2x﹣3）看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以2x+3与已知方程的解也相同．
【解答】解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3＝0的解，
由于另一个方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同
∴2x﹣3＝1或2x﹣3＝﹣3
解得x1＝2，x2＝0．
故答案为：x1＝2，x2＝0．
15．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+﹣|b|的结果是 ﹣2a ．
【分析】直接利用数轴结合a，b的位置得出a＜0，a﹣b＜0，b＞0，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，b＞0，
故|a|+﹣|b|
＝﹣a+（b﹣a）﹣b
＝﹣a+b﹣a﹣b
＝﹣2a．
故答案为：﹣2a．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 或2 ．
【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，＝，
又∵AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝BF，
∴＝，
解得BF＝；
②△B′CF∽△BCA时，＝，
AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝CF，BF＝B′F，
而BF+FC＝4，即2BF＝4，
解得BF＝2．
故BF的长度是或2．
故答案为：或2．
三、解答题：本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2×+（3+2）÷
＝2﹣+3+2
＝3+3．
18．（8分）解方程：5x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】利用求根公式x＝求解即可．
【解答】解：∵a＝5，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，
则x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
【分析】根据两边成比例夹角相等即可证明．
【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴，，
∴，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
20．（8分）若关于y的方程y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0的两个实数根互为相反数，求（﹣m）2022的值．
【分析】根据根与系数的关系，利用两根之和为0得到4（m﹣1）＝0，然后求出m后利用乘方的意义计算（﹣m）2022的值．
【解答】解：设y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0的两实数根为α，β，
则α+β＝4（m﹣1），
∵关于y方程y2﹣4（m﹣1）y﹣7＝0有两个实数根互为相反数，
∴α+β＝0，
∴4（m﹣1）＝0，
解得m＝1，
经检验，m＝1时，原方程有两个不等实数根，
∴（﹣m）2022＝（﹣1）2022＝1．
21．（8分）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可直接得出答案．
（3）观察点的变化规律，可得答案．
【解答】解：（1）如图，△OB'C'即为所求．
（2）由图可得，点B'（﹣6，2），C'（﹣4，﹣2）．
（3）由题意得，点M'的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
22．（10分）某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场．鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长30米．
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场面积是120平方米．则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场面积能达到180平方米吗？说明理由．
【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式Δ＝﹣104＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出围成的鸡场面积不能达到180平方米．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2x）米，
依题意得：x（30+2﹣2x）＝120，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝10，x2＝6．
当x＝10时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×10＝12＜18，符合题意；
当x＝6时，30+2﹣2x＝30+2﹣2×6＝20＞18，不符合题意，舍去．
答：鸡场的长为12米，宽为10米．
（2）围成的鸡场面积不能达到180平方米，理由如下：
设垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为（30+2﹣2y）米，
依题意得：y（30+2﹣2y）＝180，
整理得：y2﹣16y+90＝0，
∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×90＝﹣104＜0，
∴该方程没有实数根，
∴围成的鸡场面积不能达到180平方米．
23．（10分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．
（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BD，
∴＝＝，
∵FG∥AC，
∴＝＝，
∵BG＝4，
∴CG＝6．
（2）∵CD＝2，CG＝6，
∴DG＝CG﹣CD＝4，
∵BG＝4，
∴BD＝BG+DG＝8，
∵＝，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝
24．（12分）已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是 3 （请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【分析】（1）依据△ABC三条边的长度分别是，即可得到当x＝2时，△ABC的最长边的长度；
（2）依据根式有意义可得﹣1≤x≤4，进而化简得到△ABC的周长；
（3）依据（2）可得，且﹣1≤x≤4．由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：（1）当x＝2时，＝，＝＝3，4﹣＝4﹣2＝2，
∴△ABC的最长边的长度是3，
故答案为：3；
（2）由根式有意义可得，
即﹣1≤x≤4．
又∵4﹣＞0，
∴x＞0，
∴0＜x≤4，
可得，．
所以C△ABC＝＝．
（3）由（2）可得，且0＜x≤4．
由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证．
当x＝4时，三条边的长度分别是，
但此时，不满足三角形三边关系．
所以x≠4．
当x＝3时，三条边的长度分别是2，2，3，满足三角形三边关系．
故此时C△ABC取得最大值为7，符合题意．
不妨设a＝2，b＝2，c＝3，得
＝
＝．
25．（14分）已知关于x的方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）有两个相等的实数根．
（1）求b、c满足的关系式；
（2）如图，若Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，A（0，c），B的横坐标为b+，且OC的长恰好为方程的解．
①过点C作CD⊥x轴，交AB于点D，求证：CD为定长；
②求△ABC面积的最小值．
【分析】（1）由一元二次方程有两个相等的实数根可得Δ＝0，代入计算即可；
（2）①作辅助线，证明△AOC∽△CEB，可得BE的长，得点B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式，由点D的横坐标可得CD的长；
②利用面积和可得△ABC的面积，根据完全平方公式可得b+的最小值，从而得结论．
【解答】（1）解：∵关于x的方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣2b）2﹣4c＝0，
∴b2＝c；
（2）①证明：过B作BE⊥x轴于E，
∵OC的长恰好为方程x2﹣2bx+c＝0（b＞0）的解，
∴2OC＝2b，
∴OC＝b，
∵B的横坐标为b+，
∴OE＝b+，
∴CE＝，
∵∠ACB＝∠ACO+∠BCE＝90°，
∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BCE，
∵∠AOC＝∠CEB＝90°，
∴△AOC∽△CEB，
∴，即，
∴BE＝，
∴B（b+，），
设AB的解析式为：y＝kx+n，
则，
∴，
∴AB的解析式为：y＝x+c，
当x＝b时，y＝CD＝+c＝+c＝+c＝﹣c+1+c＝1，
∴CD为定长；
②解：过点C作CD⊥x轴，交AB于点D，
由①知：CD＝1，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝＝＝，
∵b＞0，
∴＞0，
∴（﹣）2≥0，
∴b+≥2＝2，
∴b+的最小值是2，
∴△ABC面积的最小值是1．
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