江苏省南京市建邺区2022_2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

这是一份江苏省南京市建邺区2022_2023学年九年级上学期期中数学试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了本试卷共6页，方程x2＝3x的解是 ▲ ， 3分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．将方程(x－1)2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是
2．学校将数学的期中、期末两次成绩分别按40%、60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为
3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径为
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCA＝50°，则∠B的度数等于
O
C
B
A
（第4题）
●
（第3题）
E
D
C
B
A
O
5．三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为
6．关于x的一元二次方程ax 2＋bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx 2＋bx＝a一定有实数根
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置）
7．方程x2＝3x的解是 ▲ ．
8．下表中24位营销人员某月销量的中位数是 ▲ 件．
9．2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为SH2，最低气温的方差为SL2，则SH2 ▲ SL2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
10．一元二次方程2x2－bx＋c＝0的两根为x1、x2，若x1＋x2＝5，x1•x2＝－2，则b＝ ▲ ，c＝ ▲ ．
11．若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是 ▲ ．
12．如图，半圆O的直径AD＝8 cm，B、C是半圆上的两点，且∠ABC＝110°，则 eq \(\s\up 5( ⌒),CD)的长度为 ▲ cm．
C
B
.
D
O
A
（第12题）
（第9题）
13．如图，正九边形的对角线AF、CH相交于点P，则∠CPF＝ ▲ °．
14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0没有实数根，则△ABC是 ▲ 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
15．某农场的粮食产量在两年内从3 000 t增加到3 630 t，且第一年的增长率是第二年的两倍．如果设第二年的增长率为x ,则可列方程为 ▲ ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P在AB边上运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥PC，交射线CA于点Q，则线段CQ长度的最小值
A
B
C
P
Q
（第16题）
为 ▲ ．
（第13题）
E
A
B
F
C
D
H
I
G
P
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程
（1）x2－2x－1＝0； （2）x2－6x＋9＝(2x－) 2．
18．（7分）体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛．在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如下(单位：cm) ：
（1）已知甲运动员的平均成绩是599 cm，求乙运动员的平均成绩；
（2）从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩．
19．（7分）把一根长80 cm的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于250 cm2．应该怎样剪？
（第20题）
E
D
C
B
A
O
●
20．（6分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB、AC分别与小圆分别相切于点D、E．求证：∠B＝∠C．
21．（8分）某剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张30元，那么1 200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张．要使门票收入达到36 750元，票价应定为多少元?
22．（8分）求证：圆内接四边形的对角互补．
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．
求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°．
证明：作直径AE，连接BE、DE．
所以∠ABE＝∠ADE＝90°．
因为∠CBE＝∠CDE，（ ① ）
所以∠ABC＋∠CDA＝∠ABE＋∠EDA＝180°．
同理∠DAB＋∠BCD＝180°．
（1）证明过程中依据①是 ▲ ；
（2）请给出另一种证明方法．
D
C
B
A
O
（第22题）
.
E
D
C
B
A
O
（备用图）
●
E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且 eq \(\s\up 5( ⌒),CE)＝ eq \(\s\up 5( ⌒),BC)，BE分别交CD、AC于点F、G．
（1）求证：∠CAB＝∠DCB；
（2）求证：F是BG的中点．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程 x2－(m＋2)x＋m＋1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值.
25．（8分）如图，已知点D在△ABC边AC上，且 AD＝AB，以AB为直径的⊙O与BC相切，与AC相交于点E．
（第25题）
E
D
C
B
A
O
●
（1）求证：∠BAD＝2∠DBC；
（2）当AD＝3，CD＝2时，求BD的长．
26．（8分）用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图，点P为⊙O内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕（保留痕迹，给出必要的文字说明）．
（1）折叠后圆弧经过点O、P；
（2）折叠后圆弧与过点P的直径相切，切点为P．
（第26题）
①
．
P
O
．
②
．
P
O
．
27．（12分）
【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x 2＋bx＋c＝0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(－b，c)，以AB为直径作⊙P．若⊙P交 x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程x 2＋bx＋c＝0的两个实数根．
y
O
xC
图2
O
图1
A
B
M
N
x
y
C
【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12＋m2，BM2＝c2＋(－b－m)2，AB2＝(1－c) 2＋b 2．
在Rt△ABM中，AM2＋BM2＝AB2所以12＋m2＋c2＋(－b－m)2＝(1－c) 2＋b 2．
化简得：m 2＋bm＋c＝0．同理可得： ▲ ．
所以m、n为方程x 2＋bx＋c＝0的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2－3x－2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A(0，1)、B(6，9)，以AB为直径作⊙C．判断⊙C与 x轴的位置关
系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（－b，c），若以AB为直径的
圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程
是 ▲ ．
2022—2023学年第一学期期中学业质量监测
九年级数学试卷参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题8分）
（1）解：∵ a＝1，b＝－2，c＝－1，
∴ △＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0． 1分
则x＝ eq \f(－b± eq \r(b2－4ac),2a) ＝ eq \f(2±\r(8),2×1)＝1± eq \r(2)． 3分
即x1＝1＋ eq \r(2)，x2＝1－ eq \r(2)． 4分
（2）解：(x－3)2＝(2x－1)2
[(x－3)－(2x－1)][(x－3)＋(2x－1)]＝0
(－x－2)(3x－4)＝06分
x1＝－2，x2＝ eq \f(4,3)．8分
18.（本题7分）
解：（1）乙运动员五次成绩，都减去600，得到一组新数据－20，＋3，＋13，－15，
＋24，再算这组新数据的平均数，得 eq \f(1,5)×(－20＋3＋13－15＋24)＝1
所以乙运动员五次平均成绩1＋600＝601 cm.3分
备注：平均数公式正确，但计算结果不正确得1分。
（2）从集中趋势，离散程度、优秀率等进行评价即可．7分
= 1 \* GB3 ①因为乙平均成绩是601 cm，甲平均成绩是599 cm，乙平均成绩高于甲平均成绩。
5分
②乙的最远成绩是624 cm，甲的最远成绩是610 cm，乙的最高成绩比甲高，所以乙更有潜力。7分
= 3 \* GB3 ③因为甲的方差是88.4，乙的方差是274.8，甲的成绩更稳定。
（其他合理答案参照标准给分）
（本题7分）
解：设一段绳子长为x cm，则另一段绳子为（80－x）cm，1分
根据题意得：(EQ \F(x,4))2＋(EQ \F(80－x,4))2＝250，3分
解得x＝20 或x＝60． 5分
当x＝20时，80－x＝60；
当x＝60时，80－x＝20．6分
答：绳子应该分为20 cm与60 cm两段．7分
（本题6分）
证明：连接OD、OE
∵大圆弦AB、AC与小圆相切于点D、E，
∴AD＝AE，OD⊥AB，OD⊥AB．2分
∴AD＝BD，AE＝CE． 4分
∴AB＝AC．
∴∠B＝∠C．6分
（本题8分）
解：设票价应定为x元，1分
根据题意得：x[1200－30(x－30)]＝36750，4分
30x2－2100x＋36750＝0，
解得：x1＝x2＝35．7分
答：票价应定为35元．8分
22．（本题8分）
解：（1）同弧所对的圆周角相等（圆周角定理）；2分
（2）方法1：连接OB、OD．
∵∠A＝EQ \F(1,2)∠α，∠C＝EQ \F(1,2)∠β，5分
∴∠A＋∠C＝EQ \F(1,2)（∠α＋∠β）
＝EQ \F(1,2)×360°＝180°．7分
同理：∠B＋∠D＝180°．8分
D
C
B
A
O
（方法2）
.
D
C
B
A
O
（方法1）
α
β
方法2：连接AC, BD，
∵eq \(\s\up( ⌒ ),\s\d(AB))＝eq \(\s\up( ⌒ ),\s\d(AB))∴∠ACB＝∠ADB．4分
同理：∠ABD＝∠ACD,∠CBD＝∠CAD,∠BAC＝∠BDC．
在四边形ABCD中，∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠BAD＝360°，
即∠ABD＋∠CBD＋∠ACD＋∠ACB＋∠ADB＋∠BDC＋∠CAD＋∠BAC＝360°，
∴∠CAD＋∠BAC＋∠ACB＋∠ACD＝180°，6分
即∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°．8分
23．（本题8分）
证明∵CD⊥AB，AB是直径，
E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）
∴∠ADC＝90°，∠ACB＝90°，2分
E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）
∴∠CAB＋∠ACD＝90°, ∠BCD＋∠ACD＝90°．E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）
3分
∴∠CAB＝∠BCD．E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）
4分
（2）证明：∵ eq \(\s\up 5( ⌒),CE)＝ eq \(\s\up 5( ⌒),BC)．
∴∠CAB＝∠CBF．E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）
5分
∵∠CAB＝∠BCD．E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）

∴∠CBF＝∠BCD．E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）

∴CF＝BF．E
C
G
A
F
B
D
O
（第23题）
6分
∵∠CGF＋∠CBG＝90°
∴∠CGF＝∠GCF．
∴CF＝GF．7分
∴F是BG的中点．8分
24．（本题8分）
（1）证明：∵ a＝1，b＝－2，c＝－1，1分
∴△＝[－(m＋2)]2－4×(m＋1)
＝m2＋4m＋4－4m－4
＝m2≥0，3分
∴方程总有两个实数根；4分
解：解得x1＝m＋1，x2＝15分
若x1＝2x2，则m＋1＝2，得m=1；
若x2＝2x1，则1＝2(m＋1)，得m＝－ eq \f(1,2)，
∴m的值为1或－ eq \f(1,2)．8分
25.（本题8分）
（1）证明：设∠DBC＝x°，
（第25题）
E
D
C
B
A
O
∵BC与⊙O相切，AB是直径，
∴∠ABC＝90°，1分
∴∠ADB＝∠ABC－∠DBC＝90°－x°.
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝90°－x，2分
∴△ABD中∠A＝180°－∠ABD－∠ADB＝2x，
∴∠BAD＝2∠DBC．4分
（2）连接BE. 由题意AD＝AB＝3，AC＝5，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，由勾股定理得BC＝ eq \r(AC2－BC2)＝4，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AD．
∴BE＝ eq \f(AB·BC,AC)＝ eq \f(12,5)．6分
又∵在Rt△AEB中，∠BEA＝90°，由勾股定理得AE＝ eq \r(AB2－BE2)＝ eq \f(9,5),
∴DE＝ eq \f(6,5),
∴在Rt△AED中，∠BEC＝90°，由勾股定理得BD＝ eq \r(BE2＋ED2)＝ eq \f(6,5)\R(5). 8分
①
．
P
O
．
M
A
B
26．（本题8分）
（1）设⊙O半径为r.
①以P为圆心，r为半径画弧，交⊙O于M点；
②以M为圆心，r为半径画弧,交⊙O于A、B两点；
③连接AB．
∴AB即折痕．4分
②
．
P
O
．
M
．
A
B
Q
（2）①连接PO,作PQ⊥PO，并在PQ上截取PM＝r；
②以M为圆心，r为半径,画弧交⊙O于A、B两点;
③连接AB．
∴AB即折痕．8分
27.（本题12分）
（1）n2＋bn＋c＝0；2分
B
1
A
O
x
y
3
-2
M
N
（2）如图所示. 5分
（3）解：相切.6分
若⊙C与x轴有两个交点M，N，则其横坐标是方程x2－6x＋9＝0的两个根．
又∵x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝0，即有两个相等的实数根，8分
∴M，N两点重合，即⊙C与x轴只有一个交点，
∴⊙C与x轴相切.10分
（4）x2＋bx＋ac＝0． 12分
A．x2－2x＋5＝0
B．x2－2x－5＝0
C．x2＋2x－5＝0
D．x2＋2x＋5＝0
A．86分
B．87分
C．88分
D．89分
A．3
B．4
C．5
D．无法确定
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
A．2
B．3
C．4
D．5
A．2022
B．EQ \F(1,2022)
C．－2022
D．－EQ \F(1,2022)
每人销售量/件
600
500
400
350
300
200
人数
1
4
4
6
7
2
甲
585
596
609
610
595
乙
580
603
613
585
624
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
C
C
B
A
D
7．x1＝3，x2＝0
8．350
9．＞
10．10 ；－４
11．8π
12． eq \f(8,9)π
13．100°
14．钝角
15．3000(1＋x)(1＋2x)＝3630
16．3