初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形课时练习

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 解直角三角形课时练习，共13页。试卷主要包含了解析见正文等内容，欢迎下载使用。

(打√或×)
1．直角三角形中的五个元素，知道其中的两个，就可以求出另外的三个．(×)
2．解直角三角形时尽量使用原始数据，使计算更加准确．(√)
3．已知直角三角形的两直角边，求其中一锐角，用正切比较准确．(√)
4．在直角三角形中，∠C＝90°，已知“两角”可以解直角三角形．(×)
·知识点1 已知两边解直角三角形
1．(概念应用题)在下列直角三角形中不能求解的是(C)
A．已知斜边，一锐角 B．已知两边
C．已知两角 D．已知一直角边，一锐角
2．(2021·南平模拟)如图，在正方形网格中，△ABC的各个顶点均为格点，则tan ∠BAC的值是(C)
A．1 B． eq \f(\r(5),5) C． eq \f(1,2) D．2
3．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a＝19，c＝19 eq \r(2) ，则b＝__19__，∠A＝__45°__．
·知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
4．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为(A)
A．10cs 50° B．10sin 50° C．10tan 50° D．10ct 50°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，则BC＝__4 eq \r(3) __．
·知识点3 把一般三角形的计算转化为解直角三角形
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6 eq \r(2) ，∠C＝45°，tan ∠ABC＝3，则BD等于(A)
A．2 B．3 C．3 eq \r(2) D．2 eq \r(3)
7．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6.求△ABC的面积．
【解析】如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∵BC＝6，∴CD＝BD＝3 eq \r(2) ，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－45°＝30°，
∴tan 30°＝ eq \f(AD,3\r(2)) ，∴AD＝3 eq \r(2) × eq \f(\r(3),3) ＝ eq \r(6) ，
∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ×(3 eq \r(2) ＋ eq \r(6) )×3 eq \r(2) ＝9＋3 eq \r(3) ，∴△ABC的面积是9＋3 eq \r(3) .
8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠C＝45°，CD＝ eq \r(2) ，BD＝3.
(1)求sin ∠CBD的值；
(2)若AB＝3，求AD的长．
【解析】(1)如图，过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△CED中，∵∠C＝45°，CD＝ eq \r(2) ，∴CE＝DE＝1，
在Rt△BDE中，sin ∠CBD＝ eq \f(DE,BD) ＝ eq \f(1,3) ；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，则∠BFD＝∠BED＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，∴DE＝BF＝1，
∵BD＝3，∴DF＝2 eq \r(2) ，
∴AF＝AB－BF＝2，∴AD＝2 eq \r(3) .
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝36°，若BC＝m，则AB的长为(A)
A． eq \f(m,cs 36°) B．m·cs 36° C．m·sin 36° D．m·tan 36°
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cs A＝ eq \f(\r(3),2) ，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD＝16，则BC长为(C)
A．6 B．8 C．8 eq \r(3) D．12
3．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为(C)
A． eq \f(tan α,tan β) B． eq \f(tan β,tan α) C． eq \f(sin α,sin β) D． eq \f(sin β,sin α)
4．(2021·三明模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为(4，3)，则tan ∠AOB的值为__ eq \f(3,4) __．
5．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2 eq \r(2) ，则AB的长为__4__．
6．(2020·安徽中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cs A＝ eq \f(4,5) ，则BD的长度为__ eq \f(15,4) __．
7．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan ∠ABC＝__ eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(3),3) __．
8．如图，在△ABC中，sin B＝ eq \f(1,3) ，tan C＝2，AB＝3，求AC的长．
【解析】见全解全析
9．在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素：
(1)已知c＝20，∠A＝60°；
(2)已知a＝ eq \r(15) ，b＝ eq \r(5) .
【解析】(1)∵∠A＝60°，∠C为直角，∴∠B＝90°－60°＝30°.
∵c＝20，∠B＝30°，∴b＝ eq \f(1,2) ×c＝10，a＝ eq \r(202－102) ＝ eq \r(300) ＝10 eq \r(3) ；
(2)∵∠C为直角，a＝ eq \r(15) ，b＝ eq \r(5) ，∴c＝ eq \r(a2＋b2) ＝ eq \r(15＋5) ＝2 eq \r(5) .
∵sin B＝ eq \f(b,c) ＝ eq \f(\r(5),2\r(5)) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠B＝30°.
∴∠A＝90°－30°＝60°.
10.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝ eq \f(3,5) ，延长边BA至点D，使AD＝AC，连接CD.
(1)求∠D的正切值；
(2)取边AC的中点E，连接BE并延长交边CD于点F，求 eq \f(CF,FD) 的值．
【解析】(1)过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠B，
在△ABC中，sin B＝ eq \f(3,5) ，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，
∴sin ∠ACG＝ eq \f(AG,AC) ＝ eq \f(3,5) ＝sin B，∴AG＝ eq \f(9,5) x，CG＝ eq \f(12,5) x，
∴DG＝DA＋AG＝3x＋ eq \f(9,5) x＝ eq \f(24,5) x，在Rt△DCG中，tan ∠D＝ eq \f(CG,DG) ＝ eq \f(1,2) ；
(2)过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF，
又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE，∴HC＝AB＝5x，
由△CHF∽△DBF得： eq \f(CF,DF) ＝ eq \f(CH,DB) ＝ eq \f(5x,3x＋5x) ＝ eq \f(5,8) .
利用三角函数解决实际问题时，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解．
当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D.
当△ABC是钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
4 解直角三角形
__必备知识·基础练
【易错诊断】
1．× 2.√ 3.√ 4.×
【对点达标】
1．C A．能够求解；B.能够求解；
C．不能求解；D.能求解．
2．C 由题图可知，△ABC为直角三角形，
且AC＝2，BC＝1.
∴tan ∠BAC＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(1,2) .
3．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝19，c＝19 eq \r(2) ，
∴b＝ eq \r(c2－a2) ＝19，
∵tan A＝ eq \f(a,b) ＝1，
∴∠A＝45°.
答案：19 45°
4．A 在Rt△ABC中，
∵cs B＝ eq \f(BC,AB) ，∠B＝50°，AB＝10，
∴BC＝AB·cs B＝10·cs 50°.
5．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝ eq \f(1,2) AB＝4，
由勾股定理得：BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) .
答案：4 eq \r(3)
6．A ∵AC＝6 eq \r(2) ，∠C＝45°，
∴AD＝AC·sin 45°＝6 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝6，
∵tan ∠ABC＝3，
∴ eq \f(AD,BD) ＝3，
∴BD＝ eq \f(AD,3) ＝2.
7．解析见正文
8．解析见正文
__关键能力·综合练
1．A ∵∠C＝90°，∠B＝36°，BC＝m，
∴cs B＝ eq \f(BC,AB) ，
∴AB＝ eq \f(BC,cs B) ＝ eq \f(m,cs 36°) .
2．C 如图，∵cs A＝ eq \f(\r(3),2) ，
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠A＝∠CBD＝30°，
∴DB＝DA＝16，
∴BC＝BD·cs 30°＝16× eq \f(\r(3),2) ＝8 eq \r(3) .
3．C 在Rt△ABC中，∵sin ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ，
即sin α＝ eq \f(AC,AB) ，∴AB＝ eq \f(AC,sin α) ，
在Rt△ADC中，∵sin ∠ADC＝ eq \f(AC,AD) ，
即sin β＝ eq \f(AC,AD) ，∴AD＝ eq \f(AC,sin β) ，
∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(\f(AC,sin β),\f(AC,sin α)) ＝ eq \f(sin α,sin β) .
4．【解析】过B作x轴的垂线，交x轴于C，
∵点B坐标为(4，3)，
∴tan ∠AOB＝ eq \f(BC,OC) ＝ eq \f(3,4) .
答案： eq \f(3,4)
5．【解析】过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，∠C＝45°，AC＝2 eq \r(2) ，
∴AD＝CD＝2，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4.
答案：4
6．【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cs A＝ eq \f(4,5) ，
∴AB＝ eq \f(AC,cs A) ＝5，
∴BC＝ eq \r(AB2－AC2) ＝3，
∵∠DBC＝∠A，
∴cs ∠DBC＝cs ∠A＝ eq \f(BC,BD) ＝ eq \f(4,5) ，
∴BD＝3× eq \f(5,4) ＝ eq \f(15,4) .
答案： eq \f(15,4)
7．【解析】①如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC＝ eq \r(3) a，
∴tan ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(\r(3),2) .
②如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB＝ eq \r(3) a，
∴tan ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(2\r(3),3) .
答案： eq \f(\r(3),2) 或 eq \f(2\r(3),3)
8．【解析】过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tan C＝2＝ eq \f(AD,DC) ，sin B＝ eq \f(1,3) ＝ eq \f(AD,AB) ，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝ eq \f(1,2) ，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝ eq \r(AD2＋DC2) ＝ eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(5),2) .
9．解析见正文
10．解析见正文