2022-2023学年吉林省白城市大安市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省白城市大安市八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知在中，用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线，如图所示的正五边形的一条对称轴与其边所夹锐角的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.    如图所示，在中，垂直平分，且，点，，，在同一直线上，则与之间的数量关系是(    )

A.  B.
C.  D. 不确定

5.    如图，在中，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是(    )
    

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，，，平分交于点，在上截取，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.    若、、为三角形的三边，且，满足，则第三边的取值范围是______ ．
8.    如图，在中，，是上一点，，，则点到的距离为______ ．

9.    如图，中，，是高，，，则______．

10. 停在湖边的一辆小轿车，如图为车牌号在湖面中的倒影，则这辆小轿车的车牌号码是______．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，则点的坐标为______．

12. 如图，为线段上一动点不与点、重合，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接下列五个结论：；；；；其中恒成立的有______填序号．

13. 如图，已知，，，，则的度数为______

14. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为          ．
    
     

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    已知点，，若点、关于轴对称，求的值．
16. 本小题分
    如图，在中，，，是边上的高，平分．
    求的度数；
    求的度数．

17. 本小题分
    如图，已知，求证：≌．

18. 本小题分
    如图，中，，，垂直平分，求．

19. 本小题分
    图、图均是的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上请在图、图中各画一个三角形同时满足以下两个条件：
    以点为一个顶点，另外两个顶点均在格点上；
    与全等，且不与重合．
     
20. 本小题分
    如图，是等边三角形，分别延长，，到点，，，使，连接，，，判断是什么特殊三角形，并说明理由．

21. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    画出关于轴对称的；
    如果点在线段上，直接写出经过的变换后，点对应点的坐标．
    请计算出的面积．

22. 本小题分
    如图，，点、在上，点在上，的平分线交于点，且，若，求的度数．

23. 本小题分
    如图，在中，，，延长至点，延长至点，使，连接，，交点为．
    求证：；
    连接，若，则的度数是______ 度

24. 本小题分
    如图，等边中，是边上的中线，为上一点点不与点重合，以为一边在下方作等边，连接．
    猜想线段、的数量关系：______ 不要求证明；
    如图，当点为延长线上一点时，其他条件不变，中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
     
25. 本小题分
    如图在和中，，，，连接，交于点．
    求证：；
    当，时，如图，延长，交于点，求证：是等腰三角形；
    在的条件下，是否还存在除，和以外的等腰三角形，如果存在，试将它们全都写出来．
     
26. 本小题分
    如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
    
    当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
    当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底边的等腰三角形？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：要使点到点、点的距离相等，则作的垂直平分线．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：五边形的内角为，，
，
故选：．
根据正五边形的性质与轴对称的性质，列式求解即可．
本题考查了轴对称的性质，根据正五边形的性质得到正五边形的内角度数是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，，然后可得，利用等量代换可得．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、，、，要熟练掌握并灵活应用这些方法．
本题可先根据判定≌，可得出，从而得出．
【解答】
解：在中，，，
；
，，
对顶角相等，
等量代换；
在和中
，
≌；
；
，，
．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：平分，

在和中，
，
≌，
，
，
的周长．
故选：．
利用已知条件证明≌，得到，从而，根据线段的和差求出，即可求得的周长．
本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明≌．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
，，
．
故答案为：．
根据非负数的性质列式求出、，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为；三角形的三边关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作于，
，
平分，
，
，
到的距离为．
故答案为．
由，求得，根据角平分线的性质可知点到的距离等于点到的距离长度即可求得结果．
本题主要考查了角平分线的性质，题目简单易懂，观察出点到的距离等于点到的距离长度是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解中，，，
，
是高，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案是：．
求出，根据含角的直角三角形的性质求出，求出，即可得出答案．
本题考查了含度角的直角三角形，解此题的关键是得出和，难度适中．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，这辆小轿车的车牌号码是．
故答案为：．
根据镜面对称的性质分析即可．
本题考查了镜面对称，镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，则，

，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
如图，过点作轴于点，通过解直角求出的长度；然后再通过解等腰直角来求、的长度，即点的坐标．
本题考查了等腰直角三角形、坐标与图形性质．作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，故正确；
≌，
．
，
，
．
在与中，
，
≌，
，故正确；
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，故正确；
，，
，
即．
，，
，
，
，故错误；
，，
，故正确．
综上所述，正确的结论有：．
故答案为：．
由于和是等边三角形，可知，，，从而证明≌，可推出，故正确；
由≌得，结合，，得到≌，由全等三角形的性质可得；故正确；
根据≌，以及可推出为等边三角形，又由，根据：内错角相等，两直线平行，可判断正确；
根据，，可知，进而可判断的不正确；
根据三角形内角和定理字形可判断正确．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，，，
，
故答案为．
根据三角形的内角和定理可求解的度数，利用对顶角的性质可得的度数，再利用多边形的内角和定理可计算求解．
本题主要考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，掌握相关定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形与含度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
由，推出，所以，由，，推出，所以，，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半即可得的长．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
在中，
因为，
所以．
故答案为．  

15.【答案】解：点，关于轴对称，
，
解得．
故． 

【解析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出、的值，然后相加计算即可得解．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

16.【答案】解：，，，
，
平分，
；
是边上的高，
，
，
，
． 

【解析】根据三角形的内角和定理可求解的度数，利用角平分线的定义可求解的度数；
由直角三角形的性质可求解的度数，利用可求解．
本题主要考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，高线，掌握三角形的高线，角平分线的定义是解题的关键．
 

17.【答案】证明：，
在 和中

≌． 

【解析】根据直角三角形全等的判定定理解答．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

18.【答案】解：，

根据线段垂直平分线的性质可推出

． 

【解析】首先利用线段垂直平分线的性质推出，根据等腰三角形的性质可求出，易求的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求；

如图所示：即为所求． 

【解析】直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图，正确借助网格分析是解题关键．
 

20.【答案】解：是等边三角形．理由如下：
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理，≌，
，
，
是等边三角形． 

【解析】根据等边三角形的性质得出，，进而推出，，利用证明≌，≌，根据全等三角形的性质及等边三角形的判定即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；

，与关于轴对称，
；

． 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用轴对称的性质求解即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，
，
平分，
，
，
，
，
． 

【解析】求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，能根据知识点求出的度数是解此题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：，，
．
．
在与中，
，
≌，
，
；
由得：，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
在中，．
故答案为．
根据全等三角形的判定和性质得出≌，进而得出；
根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
是等边三角形，是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌，
；
，理由如下：
是等边三角形，是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌，
．
故答案为：．
根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等知识．利用相等的角进行等效转是解答本题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，，
，
，
；


由知，
．
，


，
，
是等腰三角形；
存在，、、都是等腰三角形． 

【解析】证明≌，则，进而可证；
，易求出，由，根据等腰三角形性质，可求出，进而可证是等腰三角形；
由可分别求出，，，进而可得、、都是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的性质等知识点，证明三角形的全等是解本题的关键，此类试题可看成是顶角相等的等腰三角形手拉手模型，解题时注意图形的变化，综合性较强，难度较大．
 

26.【答案】解：由题意可知，，
，
，
当为等腰三角形时，则有，
即，解得，
出发秒后能形成等腰三角形；

当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示，

则，
，
．
，
，
，
秒，
秒，
秒．
当，是以为底边的等腰三角形时：，如图所示，

则秒，
秒．
综上所述：当为秒或秒时，是以或为底边的等腰三角形． 

【解析】用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．