高考第一轮复习第41讲高中数学中的对称问题

                     第四十一讲高中数学中的对称问题

                      A组

1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为（    ）

A.（a，b）    B.（b，a）C.（－a，－b）   D.（－b，－a）

解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）．

2.曲线关于直线对称的曲线方程是（   ）

A.     B.    C.     D.解析：设曲线关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，

所以，即

3.已知直线l1：和直线l2：，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（   ）

A.=   B.p=－5   C.m=－n且p=－5    D.=－且p=－5

解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为，即，与l2比较，

∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立.

4.定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（    ）

    A. 是偶函数，也是周期函数    B. 是偶函数，但不是周期函数

    C. 是奇函数，也是周期函数    D. 是奇函数，但不是周期函数

    解：因为为偶函数，所以。

    所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。

5.直线上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是____________.

解析：易知A（4，－1）、B（3，4）在直线l：的两侧.作A关于直线l的对称点A1（0，1），当A1、B、P共线时距离之差最大.

6. 若，且，则的最小值为            ．

解  （利用基本不等式、对勾函数）

又，由对勾函数性质知，当时，

此处，用到基本不等式，当且仅当时，等号成立，即当时，有最小值

三、解答题

7.  求直线关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。

  分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为。

  解：由直线l与平行，故设直线l方程为。

由已知可得，点P到两条直线距离相等，得

解得，或（舍）。则直线l的方程为

8.如图双曲线y=(k<0)与直线y=kx（k<0）交于点A、B，过点A作AC垂直y轴于点C，求S△ABC。   

解：因为反比例函数的图象关于原点对称，

直线y=kx过原点，所以A、B两点必关于原点对称。

所以OA=OB,所以。

设点A坐标为（a，b）,由题意得AC=|a| ,OC=|b|，

则S△AOC= = ||。所以S△ABC=|ab|

9.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点          B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，

同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，

∴k==－2.

故所求直线方程为y－6=－2（x+2），

即2x+y－2=0.

10.已知△ABC的一个顶点A（－1，－4），∠B、∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.

解：设点A（－1，－4）关于直线y+1=0的对称点为A′（x1，y1），则x1=－1，y1=2×（－1）－（－4）=2，即A′（－1，2）.

在直线BC上，再设点A（－1，－4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），则有

×（－1）=－1，

++1=0.

      x2=3，

y2=0，

即A″（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得=，即x+2y－3=0为边BC所在直线的方程.

11.已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小

解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）

据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0

令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）

解方程组得交点P（，）                              

故点P（，）、Q（0，）即为所求

                        B组

1.已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为

A.                   B

C.                  D.

解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x），

即得

2.与直线关于点（1，－1）对称的直线方程为

A.2x－y－5=0                         B.x+2y－3=0

C.x+2y+3=0                           D.2x－y－1=0

解析：将x+2y－1=0中的x、y分别代以2－x，－2－y，得（2－x）+2（－2－y）－1=0，即x+2y+3=0.故选C

3.设定义域为R的函数、都有反函数，并且和的函数图像关于直线对称，若，那么（    ）

    A. 2002     B. 2003     C. 2004     D. 2005

    解：因为的函数图像关于直线对称，所以的反函数是，而的反函数是，所以，所以有

    故，应选（C）。

4. 函数的图像的一条对称轴的方程是（    ）

    解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。

5.已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.

答案：  （，0）

6. 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________

    解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；

    又因为的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以

7.已知f(x)是定义在R上的函数,f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)= f(20+x),试判断f(x)的奇偶性与周期性.
　　解:一方面,f(10+x)=f(10-x) f(x)=f(20-x)　　 ①
　　 f(-x)=f(20+x)　　 　　　　　　　　　　　　　②
　　另一方面,f(20-x)= f(20+x)　　 　　　　　　　　③
　　(1)由①③得f(x)= f(x+20)　　 　　　　　　　　 ④
　　∴由②④得f(x)= f( x)
　　∴f(x)为奇函数.
　　(2) 再由④得f(x+20)= f(x)
　　∴f(x+40)= f(x+20)=f(x)
　　即f(x)是周期函数,且40是它的一个周期,
　　于是由(1)、(2)知,这里的f(x)为奇函数,并且是以40为一个周期的周期函数。

8. 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.

解  方法一  由

知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），

∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),

即kx-y+2k-1=0.

在直线l上任取一点（1，2），

由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，

由点到直线的距离公式得

=，

解得k=(k=2舍去)，

∴直线l2的方程为x-2y=0.

方法二  设所求直线上一点P（x,y）,

则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.

由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点

P2在直线l上.

∴，变形得,

代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,

整理得x-2y=0.

所以所求直线方程为x-2y=0.

9. 已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小.

剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.

解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.

据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.

令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）.

x+2y－7=0，

x－2y+2=0，

故点P（，）、Q（0，）即为所求.

11.已知f(x)＝a∈R)，求f(x)在[0,1]上的最大值

                         C组

1.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是                                 （     ）     

 (A)         (B)         (C)         (D)

解析：有图知：

2.已知:△ABC的内界圆与外切圆的半径分比别为r和R,则r和R比值等于(  )

A.  4sin             B.

C.                D.

解析  三角形的边a,b,c或角A,B,C对r和R的影响是相同的, r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重,因此在比值的表达式中,必有边a,b,c或角A,B,C的轮换对称,因此C是正确的

3. 已知椭圆E,上存在关于直线l，y=4x+m对称的两点A与B,则m的取值范围是（  ）

    A           B    

C            D

解析：设A(x1，y1），B(x2,y2)则

                

④     ⑤

由得⑥

由④⑤得代入

解得,

4.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________

    解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以

5.对于函数f(x)=Asin( x+ )( >0, )给出四个论断.
　①它的图象关于直线x= 对称;②它的图象关于点( ,0)对称;
　③它的周期为 ;④它在区间[－ ,0]上为单调增函数.
　以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是　　　　　　 .
　解①.、③ ②、④或②、③ ①、　　 ④

6.已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率为            ．

解析：本题考查的是古典概型，我们可以将甲、乙、丙三人排序，共6种不同的情况，并且这6种情况是等可能的，其中甲排在乙前面的共3种情况，因而概率为；其实，我们看甲和乙这两个人，他们在这个事件中的地位是相同的，因而可以认为甲排在乙前面和乙排在甲前面的概率应该是相同的，而这两种情形构成了整个排序值班事件，故甲排在乙前面和乙排在甲前面值班的概率都为．

7.设f(χ)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线χ=2对称，已知当χ∈［-2，2］时，f(χ)=－χ２+１，求当χ∈［-６，－2］时的f(χ)的解析式.
　　解：从进一步认知f(χ)的性质切入，由函数 f(χ)的图象关于直线 χ=2对称知，
　　对任意χ∈Ｒ都有f(-χ)= f(χ+4)（为便于与“f(χ)为偶函数”这一条件建立联系而作出这一选择）
　　又f(χ) 为偶函数 f(-χ) =f(χ)
　　∴由以上两式得 f(χ+4) =f(χ)　　　　 ①
　　∴f(χ)为周期函数且4是 f(χ)的一个周期.
　　而当χ∈［-６，－2］时4+χ∈［-2，2］
　　∴由已知条件得　　 f(4+χ) =-(χ+4)2+1　　 ②
　　于是由①，②得　　 f(χ) =-(χ+4)2+1，
　　即当χ∈［-６，－2］时，f(χ)= －χ２-8χ-15

8. 已知正比例函数y=ax (a≠0)和反比例函数y= (b≠0)（ab>0）的图像相交于点A、B，已知点A坐标为（，-2），求点B的坐标。

分析：学生在求B点坐标的过程中，很多学生都会顺着常规的解题思路，将A（，-2）,代入函数解析式求出a、b，再联立方程组进而求得点B的坐标。确实这样的解题方法很容易就让学生理解，但计算量很大，也很复杂，若利用函数图象的对称性，则很容易求得B点的坐标。

解：因为正比例函数y=ax和反比例函数y=的图象都关于原点对称，所以两交点的坐标也关于原点对称，所以B（-，2）。

9.若抛物线上总存在关于直线的异于交点的两个对称点，试求实数的取值范围 

解法一：（对称曲线相交法）

曲线关于直线对称的曲线方程为

如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线

与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由：

∵　　

∴　

代入得　有两个不同的解，

∴　

解法二：（对称点法）

设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上

则  必有两组解

(1)-(2)得

   必有两个不同解

∵，

∴有解

从而有    有两个不等的实数解

即   有两个不等的实数解

 ∴  

 ∵ ，

 ∴

10. 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P.

（1）使|PA|+|PB|最小；

（2）使|PA|－|PB|最大.

解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.

  +2·－2=0，

·（－）=－1.

  x1=－，

y1=－.

由两点式求得直线A1B的方程为y=（x－4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，－）.

由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.

（2）由两点式求得直线AB的方程为y－1=－（x－4），即x+y－5=0.

直线AB与l的交点可求得为P（8，－3），它使|PA|－|PB|最大.

11. 直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.

解法一：设直线l的方程为y－1=k（x－1），弦的两个端点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），代入抛物线方程并作差得（y1+y2）（y1－y2）=x1－x2.

∵kAB==－，

∴y1+y2=－k.注意到AB的中点在直线l：y－1=k（x－1）上，∴x1+x2=1－.

∴y12+y22=x1+x2=1－.

由y12+y22>，得1－><0－2<k<0.

解法二：设抛物线上关于直线l：y－1=k（x－1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2），  

 =－

－1=k（－1）

y1+y2=－k，

y1y2=+－，

∴y1、y2是方程y2+ky++－=0的两根.

由Δ=k2－4（+－）>0<0  －2<k<0.