高考第一轮复习第38讲 圆锥曲线离心率综合问题

第三十八讲 圆锥曲线的离率问题

A组

一、选择题

1．（2017年高考全国3卷理）已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即 ，，故选A.

2．已知双曲线，抛物线， 与有公共的焦点， 与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）

A. 仅有两个不同的离心率且    B. 仅有两个不同的离心率且    C. 仅有一个离心率且    D. 仅有一个离心率且

【答案】C

【解析】 的焦点为 ， 双曲线交点为，即 ，设 横坐标为 ，则 ， ，

可化为 ， ，

只有一个根在 内，故选C.

3．已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由 到渐近线 的距离为 ，即有 ，则 ，在 中，

，化简可得 ，即有 ，即有 ，故选A.

4．设是双曲线的右顶点， 是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF= ,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P, ,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.

5．中心为原点的椭圆焦点在轴上， 为该椭圆右顶点， 为椭圆上一点， ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】设椭圆标准方程为，设P(x,y)，点P在以OA为直径的圆上。圆的方程： ，化简为， 可得。则所双可得，选B.

6．设点分别为双曲线： 的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点，满足，点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题意知，可知是等腰三角形， 在直线的投影是中点，可得，由双曲线定义可得，则，又，知，可得，解得．故本题答案选．

7．如图，两个椭圆的方程分别为和（， ），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题意知，外层椭圆方程为 ，设切线的方程为代入内层椭圆消去得: 由化简得同理得所以选A.

8．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】根据双曲线的性质可以得到， ， ， ，双曲线的渐近线方程，直线方程： ，联立得到，即点，所以是线段的中点，又因为，所以，而， ，故，因为，所以，因为，即，所以，故选C

9．已知是双曲线上的三个点， 经过原点, 经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】做出如图因为 经过原点, 经过右焦点, 可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得

10．已知分别为双曲线的右焦点和右顶点，过作轴的垂线在第一象限与双曲线交于点， 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点，若,则双曲线的离心率为（      ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】过Q作QR⊥x轴与R，如图，由题意设F（c，0），则由OA=a得AF=c-a，将x=c代入双曲线得P，则直线AP的斜率为，所以直线AP的方程为，与渐近线联立，得x=，所以AR=，根据相似三角形及，得AF=）AR，即代入，得

11．已知双曲线（， ），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】是双曲线通径， ，由题意，即， ，即，解得（舍去），故选D．

12．已知点分别是双曲线的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

 因为为等腰三角形，设，

由为双曲线上一点， ，

由为双曲线上一点， ，

再中，由余弦定理得,

所以，所以

又因为，所以，所以，故选A.

二、填空题

13．设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点， ，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．

【答案】

【解析】设MF1=s,MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，

由双曲线的定义可得s−t=2a2，

解得s=a1+a2,t=a1−a2，

由∠F1MF2=90°，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，

即为，

由离心率的公式可得，

由,可得，

据此有：

由a2>b1,可得，

则双曲线的离心率的取值范围为.

14．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．

【答案】

【解析】设双曲线的左焦点为，由圆心可知， ，又，可知，且，由双曲线的定义得， ， 中， .

15．过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于, 两点，与双曲线的渐近线交于, 两点，若,则双曲线离心率的取值范围为__________．

【答案】

【解析】易知，因为渐近线，所以 ，由化简得，即，所以，从而，

解得.

B组

一、选择题

1．已知椭圆的两个焦点是， 是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得： ，

满足题意时： ，

当 时，椭圆的离心率取得最小值 .

本题选择D选项.

2．过双曲线： （， ）的左焦点作圆： 的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知， 为直角三角形，且由勾股定理可知， ，选A.

3．已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】由图知是等边三角形，设中点是，圆的半径为，则， ， ，因为，所以， ，即，所以，即， ，从而得，故选B．

4．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】设， ， 焦点为，由题意，即，所以，又， ， ， ， ，而，即， ， ， ，所以，故选C．

5．已知双曲线的左右顶点分别为， 是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点， 为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】设，因为，所以，直线方程为，令得， ，即，同理得，由于成等比数列，则，即， 是双曲线上的点，则，所以，即，所以， ，而，从而， ，所以，故选A．

6．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以， ， ，则， ，所以，化简整理得： ，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.

7．双曲线的右焦点和虚轴上的一个端点分别为，点为双曲线左支上一点，若周长的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】设双曲线的右焦点为 ， 的周长为 ， 而 ，所以三角形周长的最小值是 ，解得： ， ，解得： ，故选B.

8．已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数， 是它们的公共焦点， 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则椭圆的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】设 ， 在椭圆中

， ，即

在双曲线中

， 即，则

所以，由题知，则椭圆离心率，选A.

9．已知椭圆的右焦点为为坐标原点， 为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】如图：

因为，所以， ，所以， ， ，由椭圆定义，可得，选D.

10．设椭圆与函数的图象相交于两点，点为椭圆上异于的动点，若直线的斜率取值范围是，则直线的斜率取值范围是（  ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】设， ，因为椭圆和函数的图象都关于原点对称，则从而有

由，得，即有

则，因为，则有,选D.

11．已知、为双曲线： 的左、右焦点，点在上， ，且，则双曲线的离心率（  ）

A.     B.     C. 2    D. 3

【答案】A

【解析】由双曲线定义及，得

由余弦定理得，得,选A.

二、填空题

12．过双曲线（， ）的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．

【答案】

【解析】设该切线与双曲线的两条渐近线交点,分别联立切线与两条渐近线: ,解得,,解得,根据弦长公式得: ,两边平方得: ,即,解得: 或,又因为切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，所以,故填.

13．已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为__________．

【答案】 

【解析】设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.

14．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点.若，则的离心率等于__________．

【答案】

【解析】如图：设，由，得根据相似三角形得： 求得，又直线方程为： ，将点D代入得：

C组

一、选择题

1．已知中， ，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若，则该双曲线的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】设 ，根据双曲线的定义的定义可得 ，又知 在直角三角形 中，根据勾股定理可得 可得 ， 在直角三角形 中，根据勾股定理可得，故选D.

2．已知分别为双曲线： ()的左、右顶点，不同两点在双曲线上，且关于轴对称，设直线的斜率分别为，则当取最大值时，双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】解：由题意可知，满足题意时 ，结合对称性可知： ，

设点 的坐标为 ，则： ，

点 在双曲线上，则： ，

据此有： .

本题选择A选项.

3．已知双曲线（， ）的左、右焦点分别为， ，点在双曲线的右支上，若， ，则双曲线的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意，得，则，由正弦定理，得，解得，即该双曲线的离心率为；故选C.

4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点， 分别交轴于两点，若的周长 12，则取得最大值时该双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】解：由题意,△ABF2的周长为24，

∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，

∵|AF2|+|BF2|−|AB|=4a,|AB|= ，

∴ =24−4a,∴b2=a(6−a)，

∴y=a2b2=a3(6−a),∴y′=2a2(9−2a)，

0<a<4.5,y′>0,a>4.5,y′<0，

∴a=4.5时,y=a2b2取得最大值,此时ab取得最大值, ，

故： .

本题选择D选项.

5．若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角， ，其中分别是的斜率，已知双曲线： 的右焦点为， 是右顶点， 是直线上的一点， 是双曲线的离心率， ，则的最大值为（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】解：设 的斜率为 ，由题意可知： ，

不妨设 ，当 时由对称性可知结果一致，

则： ，

令 ，

则 ，

当 取得最大值时满足题意，

很明显 ，则： ，

当且仅当 时等号成立，

此时： .

本题选择C选项.

6．已知双曲线： （， ）的一条渐近线为，圆： 与交于， 两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】双曲线渐近线为，圆的圆心为，半径，由于，由勾股定理得，故，在中，由余弦定理得，解得.根据圆心到直线的距离为，有，结合解得，故离心率为.

7．已知为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为， 与双曲线相交于点，且，则该双曲线的离心率为（    ）

A.     B. 2    C.     D.

【答案】A

【解析】依题意设，则根据双曲线的定义，有，分别在两个直角三角形和中利用勾股定理有，解得，且，故离心率为.

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（    ）

A. 2    B.     C.     D.

【答案】C

【解析】如下图：

，

, ,代入双曲线方程，可得，解得，选C.

对于求离心率的题，重要的是根据几何关系，或代数关系建立关于或的等式，再进一步求出离心率。

9．已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个端点，过， 的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由双曲线，可设，易知左焦点，过的直线方程斜率为，所以直线方程为，双曲线的一条渐近线方程为，联立这两式可得，根据，代入得，整理得

10．已知椭圆的左右焦点分别为， ，过的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】 如图所示，设，则，

 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，

所以，

 联立解得，

 解得，故选A.

11．设P为双曲线C： ， 上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若，则双曲线的离心率是

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】由题设条件知， ， ， ．

在Rt△PF1A中，由射影定理得，所以．

所以， .．

所以EF1的直线方程是，当x = c时．

即， ，又，所以，即，同除以a4得，得或．

所以．

12．已知点是抛物线： 准线上的一点，点是的焦点，点在上且满足，当取最小值时，点恰好在以原点为中心， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】 由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为，

 所以抛物线的焦点，准线方程为，

过点作准线的垂线，垂直为，

由抛物线的定义可知,

因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值，

设直线的斜率为，则直线的方程为，

联立方程组 ，整理，由，解得，

此时直线的方程为，

由与抛物线方程联立，解得点，

此时双曲线的焦点坐标为，且过点

根据双曲线的定义可知，

所以，所以双曲线的离心率为 ，故选A。

二、填空题

13．已知椭圆C: 的左右焦点分别为， ,点P在椭圆C上，线段与圆： 相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________

【答案】

【解析】 连接,

 由为中位线，可得 , ,

 圆，可得且，

由椭圆的定义可得，可得，

又，可得，

即有，即为，

化为，即，

，即有，

则，

当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.

14．已知椭圆： 的右焦点为，上、下顶点分别为， ，直线交于另一点，若直线交轴于点，则的离心率是__________．

【答案】

【解析】由题意，得，则直线的方程分别为，联立两直线方程，得，则，解得，则该椭圆的离心率为.

15．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．

【答案】

【解析】过作准线的垂线，垂足为，

则由抛物线的定义可得 ，

设 的倾斜角为，则

当取得最大值时， 最小，此时直线与抛物线相切，

设直线的方程为，代入s可得即∴双曲线的实轴长为∴双曲线的离心率为