2022-2023学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1.    要使二次根式有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列方程中，关于的一元二次方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    观察下列每组图形，是相似图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    用配方法解方程时，配方所得的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知∽，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

9.    国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 已知、为实数，、分别表示的整数部分和小数部分，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 比较大小： ______
12. 方程化成一般形式为______．
13. 如图，是池塘两端，设计一方法测量的距离，取点，连接、，再取它们的中点、，测得米，则 ______ 米

14. 方程的解是，，则方程的解是______．
15. 实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是______．
16. 将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为已知，，若以点、、为顶点的三角形与相似，那么的长度是______．

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 解方程：．
19. 如图，在中，，，、分别在、上，，求证：∽．

20. 若关于的方程的两个实数根互为相反数，求的值．
21. 如图，为原点，，两点坐标分别为，．
    以为位似中心在轴左侧将放大两倍，并画出图形；
    分别写出，两点的对应点，的坐标；
    已知为内部一点，写出的对应点的坐标．

22. 某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场鸡场的一边靠墙，墙的对面留有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米．
    
    若墙长为米，要围成的鸡场面积是平方米则鸡场的长和宽各为多少米？
    围成的鸡场面积能达到平方米吗？说明理由．
23. 如图，点是边上一点，连接，过上点作，交于点，过点作交于点，已知，．
    求的长；
    若，在上述条件和结论下，求的长．

24. 已知三条边的长度分别是，记的周长为．
    当时，的最长边的长度是______请直接写出答案；
    请求出用含的代数式表示，结果要求化简；
    我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，，，三角形的面积为．
    若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
25. 已知关于的方程有两个相等的实数根．
    求、满足的关系式；
    如图，若的直角顶点在轴上，，的横坐标为，且的长恰好为方程的解．
    过点作轴，交于点，求证：为定长；
    求面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件，解不等式得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程为一元一次方程，不符合题意；
B.方程是二元一次方程，不符合题意；
C.方程是一元二次方程，符合题意；
D.方程是分式方程，不符合题意．
故选C．
本题考查一元二次方程的概念．
利用一元二次方程的概念判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：两图形形状相同，故是相似图形；
B.两图形形状不同，故不是相似图形；
C.两图形形状不同，故不是相似图形；
D.两图形形状不同，故不是相似图形；
故选：．
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据已知可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
的结论不正确；
，
的结论不正确；
，
的结论不正确；
，
的结论正确，
故选：．
利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质解答是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应高线，，，
两三角形的相似比为：：，
则与的面积比是：：．
故选：．
根据相似三角形的性质：对应高比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
本题考查了相似三角形性质，注意相似三角形对应高的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得．
故选：．
利用年我国快递业务收入年我国快递业务收入我国年至年快递业务收入的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
的整数部分，小数部分，
，
，
，
故选：．
估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
即，
故答案为：．
通过估算进行分析求解．
本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算的常用方法夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据单项式乘以多项式的运算，移项、合并同类项，整理即可得解．
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项要变号．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
、分别是、的中点，
，
即，
米，
米，
故答案为：．
根据三角形的中位线定理得出，再代入求出答案即可．
本题考查了三角形的中位线定理，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

14.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题即可用换元法，也可直接转化把看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以与已知方程的解也相同．
【解答】
解：，是已知方程的解，
由于另一个方程与已知方程的形式完全相同，
或，
解得，，
故答案为，．  

15.【答案】 

【解析】解：由数轴可得：，，，
故


．
故答案为：．
直接利用数轴结合，的位置得出，，，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况：
∽时，，
又，，，
，
解得；
∽时，，
，，，，
而，即，
解得．
故BF的长度是或．
故答案为：或．
由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论．
本题考查对相似三角形性质的理解：
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方；
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】解：，，，
，
则，
，． 

【解析】利用求根公式求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】证明：，，
，
，，
，
，，
，
，
∽． 

【解析】根据两边成比例夹角相等即可证明．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．
 

20.【答案】解：设的两实数根为，，
则，
关于方程有两个实数根互为相反数，
，
，
解得，
经检验，时，原方程有两个不等实数根，
． 

【解析】根据根与系数的关系，利用两根之和为得到，然后求出后利用乘方的意义计算的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．

由图可得，点，．
由题意得，点的坐标为． 

【解析】根据位似的性质作图即可．
由图可直接得出答案．
观察点的变化规律，可得答案．
本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：鸡场的长为米，宽为米．
围成的鸡场面积不能达到平方米，理由如下：
设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
围成的鸡场面积不能达到平方米． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，利用长方形的面积计算公式结合鸡场的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，根据根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出围成的鸡场面积不能达到平方米．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
，
．

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
 

【解析】由，推出，由，推出，可得结论．
由，推出，可得结论．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
 

24.【答案】
由根式有意义可得即．
可得，．
所以．
由可得，且．
由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证．
当时，三条边的长度分别是，
但此时，不满足三角形三边关系．
所以．
当时，三条边的长度分别是，，，满足三角形三边关系．
故此时取得最大值为，符合题意．
不妨设，，，得

． 

【解析】解：当时，，，，
的最长边的长度是，
故答案为：；
见答案．
见答案．
依据三条边的长度分别是，即可得到当时，的最长边的长度；
依据根式有意义可得，进而化简得到的周长；
依据可得，且由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．
 

25.【答案】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
；
证明：过作轴于，

的长恰好为方程的解，
，
，
的横坐标为，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
设的解析式为：，
则，
，
的解析式为：，
当时，，
为定长；
解：过点作轴，交于点，

由知：，
，
，
，
，
，
的最小值是，
面积的最小值是． 

【解析】由一元二次方程有两个相等的实数根可得，代入计算即可；
作辅助线，证明∽，可得的长，得点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，由点的横坐标可得的长；
利用面积和可得的面积，根据完全平方公式可得的最小值，从而得结论．
此题是一次函数与三角形的综合题，考上了三角形面积、平面直角坐标系的点坐标，三角形相似的性质和判定，一元二次方程根的判别式的判定等知识，学会利用参数表示点的坐标及线段的长，也是求解本题的突破口．