高考第一轮复习第39讲 圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合试卷

第三十九讲         圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合

                                   A组

一 选择题

1.（2017年高考浙江卷）椭圆 + =1的离心率是（    ）       

A、
B、
C、
D、

【答案】B                   
【解析】【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ，
所以椭圆的离心率为： = ．
故选：B．

2.如图，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为  （    ）

（A）   （B）2      （C）      （D）

【答案】D

【解析】

依题所以,

3.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（    ）

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列

则

所以

4.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是

A.   B.   C.   D.

【答案】A

解析：设左焦点为,连接.则四边形是平行四边形,故，所以，，所以，设，则，从而，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A.

5.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是(　　)

A. B. C.  D.

【答案】D                          

【解析】

设双曲线实半轴长为，焦半距为，，由题意知，，，，，则双曲线的离心率，选择D.

6.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为 （    ）

A．                B．                 C．          D．

【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故的中点坐标为（）.

由中点坐标公式可得点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得

结合化简可得，故．故选.

7．已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（    ）

A．            B．              C．              D．

【答案】C．

【解析】

由于为等腰三角形，可知只需即可，即

，又，故选C．

二 填空题

8.点为椭圆1上一点，为椭圆的焦点，如果，，则椭圆的离心率为________．

【答案】

【解析】

由题意得，所以

.

9.椭圆的左.右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________

【答案】

【解析】由直线方程直线与轴的夹角，且过点∵∴即∴在中，由椭圆的第一定义可得

10.已知双曲线的渐近线与圆有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．

答案：

【解析】

由双曲线的方程为，可得它的渐近线方程为，由圆的方程可得，所以它是以为圆心，以为半径，又因为圆与渐近线有交点，由点到直线距离公式可得，又因为，，从而可得，双曲线的离心率为，又因为双曲线的离心率大于1，所以双曲线的离心率的取值范围为．

                     B组题

一 选择题

1.（2017年高考新课标Ⅲ理）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1  ， A2  ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（    ）       

A、
B、
C、
D、

【答案】A                   
【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 ．
∴椭圆C的离心率e= = = ．
故选：A．

2.已知双曲线左右焦点分别为，点为其右支上一点，，且，若|成等差数列，则该双曲线的离心率为(　　)

A. B．    C．2   D.

【答案】A

【解析】

设，双曲线方程为，因此有，∴

又       ①

由余弦定理

②
①②两式联立解得，

所以

3.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为(       )

1.      4      B.     C.     D.

【答案】B

【解析】根据双曲线的定义，可得，∵若为等边三角形，即，∴，即，又∵

，∴，∵中，，

，，∴，即，

解之得：，由此可得双曲线的离心率为.

4.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点满足，则该双曲线的离心率是(   )

（A）          （B）      （C）       （D）

【答案】A

【解析】由双曲线的方程可知，渐近线为，分别于联立，解得，由得，设的中点为，则，PQ与已知直线垂直，故，则.

故选A.

5.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为(    )

A、 2  B、   C、   D、

【答案】 C

 【解析】弦长

6．F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂直，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则C的离心率是（     ）

A．    B．    C．2    D．

【答案】B

【解析】

由已知渐近线为，，由条件得，F到渐近线的距离，则，在中，，则，设的倾斜角为，即，则，在中，，在中，，而，即，即，∴，

∴，即.

7．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（    ）

A．            B．          C．         D．

【答案】

【解析】

任取一焦点到一条渐近线的距离为，则，有

．

二 填空题

8. 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为________．

【答案】

【解析】由题意知，，不妨设，则直线即于是，

由，，

化简得

即，

解得或（舍去）

故，故椭圆的离心率为.

9.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆

的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为          .

【答案】

【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程

直线的方程为：；

直线的方程为：。二者联立解得：w则在椭圆上，

解得：

C组题

一选择题

1.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率

 A． B．     C．  D．

【答案】

【解析】

方法一：设由为的重心得：的坐标为再由可知平行于轴，所以点的纵坐标为，在中，，所以的面积为，又因为为的内心，所以点的纵坐标即为内切圆的半径，所以，所以，即，所以，所以椭圆的离心率，故应选.

方法二：（个人观点）特殊化法，取为上顶点，在轴上，又，所以重合，所以为正三角形，所以,而，

2..如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为(   )

A．   B．           C．          D．

【答案】C

【解析】确定为等边三角形，设，则，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．

因为且，所以为等边三角形，设，则，渐近线方程为，， 取的中点，则 ，由勾股定理可得，∴    

在中，,∴       

结合 ，可得

方法二：（个人观点）以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若，则为正三角形，所以，，所以，由圆的切割线定理，

，渐近线方程为

到渐近线的距离

而由为正三角形，可知到渐近线的距离

所以

，则

3.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则

A.4             B.          C.        D.2

【答案】A

【解析】
解法1：试题分析：设，，则，又，所以，,

,即,

，因此，

解法2：椭圆

双曲线：

根据椭圆定义：

根据双曲线定义：，不妨设

则，在中，

则

化简得

4. 知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为           （）．

1.    B.      C.      D.

【答案】A

【解析】

解法1：因为在中，由正弦定理得

则由已知，得，即

设点由焦点半径公式，得，

则

记得由椭圆的几何性质知，则，整理得

，解得或，又，故椭圆的离心率

解法2： 由解析1知由椭圆的定义知则即     ，由椭圆的几何性质知，则即，即

所以以下同解析1.

5．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为是以为底边的等腰三角形。若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（   ）

A．        B．      C．        D．

【答案】B

【解析】

设椭圆与双曲线的半焦距为c， 利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出 的取值范围是．

设椭圆与双曲线的半焦距为c，由题意知

故选B．

二 填空题
6. 2017年高考北京卷理）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________．   

【答案】2                   
【解析】双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ，
可得： ，
解得m=2．
故答案为：2

7.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是       ．

【答案】

【解析】

解法1：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，所以，

而，，

所以，所以。

又，所以，所以，

即，又，所以

*解法2：设点。由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，所以，由椭圆第二定义，，所以，

而，

所以，解出，

由于，所以，又，所以，

即，又，所以

8.我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：

①双曲线是黄金双曲线；

②若，则该双曲线是黄金双曲线；

③若为左右焦点，为左右顶点，且，则该双曲线是黄金双曲线；

④若经过右焦点且,，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为　_________　．

【答案】①②③④

【解析】对于，，则，，∴，所以双曲线是黄金双曲线；

对于，整理得，解得所以双曲线是黄金双曲线；

对于③，，由勾股定理得，整理得由可知所以双曲线是黄金双曲线；

对于④由于，把代入双曲线方程得，解得，，由对称关系知为等腰直角三角形，∴，即由可知所以双曲线是黄金双曲线；