圆锥曲线压轴小题----面积问题

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圆锥曲线压轴小题----面积问题


【基本知识】
1、弦长问题：设圆锥曲线C∶与直线相交于，两点，则弦长为：


2、三角形面积问题：
直线方程：，，
3.焦点三角形的面积：

直线过焦点的面积为


4.平行四边形的面积：
直线为，直线为
，

5.面积的向量表示：
（1）在中，设，，则．
（2）








【基本技能】
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.
(3)多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.
2、面积范围的解决策略：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析.
方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想.
均值不等式 ：变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值！
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等







圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：
1）（注意分三种情况讨论）
2）,当且仅当时，等号成立
3）
当且仅当时等号成立.
4）,当且仅当时，等号成立.
5）
当且仅当时等号成立.
6）．设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值.





例1：设为椭圆的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形的面积最大时，的值等于___________
【答案】
【解析】由椭圆中心对称的特性可知关于原点中心对称，所以与关于原点对称，面积相等。且四边形可拆成与的和，所以四边形的面积最大即面积最大，因为，所以当最大时，面积最大。即位于短轴顶点时，面积最大。由可知，所以，进而计算出的值为


例2：已知点是椭圆上的一点，且在轴上方，分别为椭圆的左右焦点，直线的斜率为，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【解析】将椭圆化为标准方程为，进而可得，所以，计算的面积可以以为底，为高，所以考虑利用条件计算出的纵坐标，设，则有，所以可解得或（舍去），所以答案：B





例3：已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则与面积之和的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由入手可考虑将向量坐标化，设，则，进而想到可用韦达定理。所以设与轴交于直线。联立方程，所以，所以由可得：，所以，不妨设在轴上方，如图可得：，由可知，消元后可得：，等号成立当且仅当，所以的最小值为答案：B



例4：以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别为，已知点的坐标为，双曲线上点满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，的顶点为，即为的坐标，椭圆的焦点为，所以双曲线中，进而
观察可联想到投影，即在的投影与在的投影相等，由几何关系可得为的角平分线。由可得，即平分，从而为的内心，且内切圆半径。
从而答案：A




例5：已知点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为（ ）

A. B. C. D.



【解析】由三角形内心的性质可得到三边的距离相等，所以的高均为，从而，即，所以只需利用确定的关系即可。为三角形的内心


在双曲线上，且是焦点
即为离心率
由可得：，两边同时除以得：

，解得 即答案：C


例6：设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比（ ）
A. B. C. D.
思路：由联想到焦半径公式，从而可解得，从而可判断出在的左侧，作出图像可发现两个三角形具备同“高”的特点（即到的距离），所以，若直接从长度出发，则运算量较大，所以考虑将比值视为整体，并进行线段的转移，可过分别引准线的垂线，从而将，只需联立直线抛物线方程求出点横坐标即可。
【解析】由可得，设
，设到直线的距离为
则
过分别引准线的垂线
设，联立方程：消元可得：
整理后可得：，，。







例7 已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明．

【解析】直线，点到的距离．
，所以．




【针对训练】
一、单选题
1．【天津市部分区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】
已知双曲线：，的右焦点为，，点在的一条渐近线上，若是原点），且的面积为，则的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以点的横坐标等于，
因为的面积为，设点在第一象限，所以，
所以，只有选项A符合.故选：A
2．【2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题】
已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为( )
A． B． C．8 D．
【答案】B
【解析】由题意，抛物线的焦点为，
设抛物线的准线与轴交点为，则，
又直线AF的斜率为，所以，因此，；
由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，
所以的面积为.
故选：B.

3．【2020届湖北省第五届高考测评活动高三元月调考文科数学试题】
已知F为椭圆的一个焦点，点P在椭圆上，满足（O为坐标原点），则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由F为椭圆的一个焦点,设另一个焦点为,几何图形如下图所示:

因为,则
所以
由三角形内角和定理可知
即焦点三角形为直角三角形.
所以
则
当关于轴对称,此时成立
综上可知, 故选:B
4． 【浙江省丽水市2018-2019学年高二上学期期末教学质量监控数学试卷】
椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆右焦点为，的周长为，则.
因为，所以
此时，故的面积是故选D.
5．【湖南省岳阳市2019-2020学年高三上学期末数学文科试题】
已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意抛物线的焦点为，显然斜率存在且不为0，设直线方程为，设，由得，，，
，
同理，
∴
，当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
6．【湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学（文)试题】
点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，若曲线上两点、满足面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可设,则因为,故
.化简得：.
故当时面积最大, 面积的最小.
故 .故椭圆的离心率.
故选：C
7．【重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高三“一诊”模拟测试卷数学（理)试题】
已知抛物线：，过其焦点的直线与交于，两点，是坐标原点，记的面积为，且满足，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】设， ，则，根据抛物线的定义可知.依题意，则，∴，故选：D
8．【河南省天一大联考2019-2020学年高三阶段性测试（三)数学（理)试题】
如图所示，在直角坐标系中，和都是等腰直角三角形，，且.若点和点都在抛物线上，则与的面积的比值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，则点，，
代入抛物线的方程，得，
整理得，解得（负值舍去），故.
故选：B.
9．在平面直角坐标系中，直线与椭圆相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由于直线与椭圆相切，联立方程组得，
消去，化简得，
由，可得，①
设点为椭圆的左焦点，连接，则，所以，

到直线的距离，所以，
由椭圆定义可得，
在中，，
即，化简得，②
联立①②得，，所以，，，
则点为该椭圆的上顶点，.
故选：C.
10．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】
已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点P在抛物线上，且，延长PF交C于点Q，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知p=2，抛物线方程为：①，点F(1,0)，设点P，点Q，
因为，解得，又点P在抛物线上，则，
不妨设，则直线PF的方程为：②
联立①②可得：，解得
故选：A
11．【2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理数试题】
已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

过点B作与点N，过点B作于点K,设，则,
则,,，可得,可得,,
,则四边形的面积,
故选：C.
12．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）
A． B．
C．24 D．48
【答案】C
【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知
,所以,,
所以,所以.所以.
故选：C
13．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点，则因为，所以由可得，再由抛物线的定义可得：，即，所以，，所以的面积为，所以的面积为，所以，即，故应选.
14．【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学（文)试题】
椭圆的焦点为，，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意设椭圆的方程：，
连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，

由得，
又，设，则，，
又，
解得，又由，，
解得，，，则椭圆的方程为.故选：C.
15．【2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题】
已知，是椭圆：短轴的两个端点，点为坐标原点，点是椭圆上不同于，的动点，若直线，分别与直线交于点，，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，即.依题意.则直线的方程分别为，令，得.则.而，表示点和点之间连线的斜率的倒数.设过的直线与椭圆相切，由消去并化简得，判别式，.所以，所以，所以.也即的最小值为，所以三角形面积的最小值为.
故选：D

16．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.
17．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】
已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立，
此时最大，此时的外接圆面积取最小值，
点的坐标为，代入可得，．
所以双曲线的方程为．
故选：
18．【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019-2020学年高三适应性月考卷（五)】已知是双曲线：的一个焦点，，是双曲线的两条渐近线，过且垂直的直线与，分别交于，两点，若三角形的面积（为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
有如下两种情况：（1）；（2）．

（1）如图甲，可求出A，B的坐标分别为
所以；
同理可得当时，满足条件的离心率
故选：C
19．【2020届山西省高三2月开学模拟（网络考试)数学（文)试题】
设分别为双曲线的左、右焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与双曲线的右支相交于两点，与的渐近线相交于四点，若四边形的面积与四边形的面积相等，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线的定义及平面几何知识可知
，①，②
得，
∴四边形的面积为，
由，当，解得，
∴圆与的渐近线在第一象限的交点为.
∴四边形的面积，
∵，∴，即.
故选：C
二、填空题
20．在平面直角坐标系中，已知焦距为的双曲线的右准线与它的两条渐近线分别相交于点，其焦点为，则四边形的面积的最大值为____________.
【答案】
【解析】因为双曲线焦距为，即，，
又双曲线的渐近线方程为，
右准线方程为：，
不妨设为右准线与渐近线的交点，
由解得：，同理
因此四边形的面积为
，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：

21．设、为椭圆的左、右焦点，经过的直线交椭圆于、两点，若的面积为的等边三角形，则椭圆的方程为______________.
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为，如下图所示：

由于是面积为的等边三角形，则，
得，即是边长为的等边三角形，
该三角形的周长为，可得，
由椭圆的对称性可知，点、关于轴对称，则且轴，
所以，，，，
，则，因此，椭圆的标准方程为.
故答案为：.
22．【2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理科试题】
设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为____________
【答案】
【解析】由题意不妨设直线的方程为，联立方程可得，，设，
∵，，，
则，，即，
，故答案为：.
23．【四川省南充市高中2019-2020学年高三第一次高考适应性考试数学（理)试题】
过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于,两点，又过,两点作轴的垂线，垂足分别为,.若梯形的面积为，则__________.
【答案】
【解析】设，抛物线的焦点，
直线方程为，
联立，消去，得，
解得，
，
.故答案为:
24．【四川省绵阳市2019-2020学年高三第二次诊断性测试文科数学试题】
过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，若，则的面积为______.
【答案】3.
【解析】
不妨设在第一象限，如图，设，由题意，
∵，∴，∴．
又共线，∴，即，把代入得：
，显然，解得，∴，
∴，，∴．
故答案为：3．

25．【四川省绵阳市高中2019-2020学年高三第二次诊断性测试理科数学试卷】
过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，点满足：，则与的面积之和的最小值是______.
【答案】8
【解析】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:

因为直线过点
设直线的方程为
则,化简可得
因为有两个不同交点,则,解得或
不妨设,
则解方程可得
因为,则
所以
所以

则

,()
令
则
令
解得
当时, ,所以在内单调递减
当时, ,所以在内单调递增
即当时取得最小值.
所以

故答案为:
26．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________.

【答案】3
【解析】
如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，则＝(m2，m)，＝(n2，n)，＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.
∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0).
S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥，当且仅当，即m=时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.
27．过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于四点，则四边形面积的最大值与最小值之差为________．
【答案】
【解析】
当有斜率不存在时：
不妨取为，轴，此时，
当两条直线斜率都存在时：
设直线的方程为，椭圆
联立后得： 即
设，则
，同理
所以，
设 ，故
当时，即时有最小值为，当或时，，故
综上所述：，因而.
故答案为：