北京师范大学第二附属中学2023届高三8月返校检测数学试题

返校数学测试

一、选择题（共10小题；共40分）

1. 若,则“ 成等比数列”是“”的

A. 充分不必要条件        B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件        D. 既不充分也不必要条件

2. 函数的图象在点处的切线方程为

A.    B.    C.    D.

3. 函数,则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是

A.    B.   C.    D.

4. 设等差数列的前项和为,若成等差数列,且,则的公差

A. 2     B. 1     C.      D.

5. 已知函数,则“ ”是“在上单调递增”的

A. 充分不必要条件        B. 必要不充分条件

C. 充要条件         D. 既不充分也不必要条件

6. 在等差数列中,其前项和是,若,则在中最大的是

A.      B.      C.      D.

7. 抛郑一枚质地均匀的骰子两次,记两次的点数均为奇数两次的点数之和为,则

A.      B.      C.      D.

8. 学校有两个餐厅,如果王同学早餐在餐厅用餐,那么他午餐也在餐厅用餐的概率是, 如果他早餐在餐厅用餐,那么他午餐在餐厅用餐的概率是,若王同学早餐在餐厅用餐的概率是,那么他午餐在B 餐厅用餐的概率是

A.      B.      C.      D.

9. 设.随机变量取值 的概率均为0.2,随机变量取值的概率也均为0.2.若记分别为的方差,则

A.    

B.

C.

D. 与的大小关系与的取值有关

10. 已知数列满足 ,数列的前项和为,则下列结论错误的是

A. 的值为 2

B. 数列的通项公式为

C. 数列为递减数列

D.

二、填空题（共5小题;共25分）

11. 已知函数的导函数,满足,则等于_____.

12. 一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球, 现在不放回的取2次球, 每次取出一个球, 记“第1次拿出的是白球”为事件,“第2次拿出的是白球”为事件,则是_____.

13. 赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金单位：元）.若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 _____(元).

14. 已知函数,若,使得成立,则实数的取值范围是_____.

15. 已知数列满足:且数列是单调递增数列, 则实数的取值范围是_____.

三、解答题

16．已知函数，.

（1）求在点处的切线方程；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围.

17．2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：.

（1）现从上述表格中随机抽取一年数据，试估计该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率；

（2）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2的概率；

（3）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为，农村人均住房面积的方差为 ，判断与的大小．（只需写出结论）.

18．已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

19.已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若关于的方程恰有四个不同的根，求的取值范围．

20．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.

（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.

（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.

21．已知数列满足.

(1)当时，求证：数列不可能是常数列；

(2)若，求数列的前项的和；

(3)当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.

返校测试数学答案

一、选择题

二、填空题

11.     12.     13.0.2     14.

15.

三、解答题

16．

解：（1）函数的定义域为，

，，

∵，∴函数在点处的切线方程为，

即

（2）由题意可知：，设，即：，，

，，单调递增，

，，单调递减，

∵不等式恒成立，且，

∴，即可，故．

17．（1）（2） （3）

解：（1）记事件为该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准

所以该年城镇人均住房建筑面积达到小康生活住房标准的概率为.

（2）随机抽取连续两年数据共9次,两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次．设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件，因此.   

（3）由题得

由题得城镇住房面积的平均数为33，

所以2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为

=，

由题得城镇住房面积的平均数为36，

所以2012—2016年中城镇人均住房面积的方差为

=，

所以 .

18．（1）的极大值为，极小值为；（2）．

解：（1）当时，，

，

令，解得或．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以的极大值为，极小值为．

（2）．

令，即，解得或．

因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：

当时，有，，，

所以，从而．

又函数在处取得极小值，

所以为函数在R上的最小值．

因为不等式对恒成立，

所以，解得．

所以a的取值范围是．

19.解：（1）当时，，故

又, 故切线方程的斜率,

则切线方程为:, 即;

该切线与轴交于点, 与轴交于点

故围成的三角形的面积为;

(2) 由 即 ,

得,

令，可得 ，

令, 则, 令,解得:或2,

的变化如下表：

函数的图象如下:

由于有四个不同的解,

而关于的二次方程

解得:，

故得:.

20．（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲

解：（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，

其中，     

的所有可能取值为，则

，

，

，

．

的分布列为： ，，，．

所以，

所以，的数学期望为．

（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，

选手选择方案乙通过测试的概率为

，

因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．

21．(1)证明见解析

(2)当时，；当时，.

(3)对任意，是正整数，理由见详解.

(1)证明：，因为，，所以，故当时，数列不可能是常数列

(2)因为，，所以当时，，时，，即当为奇数时，，当为偶数时，，设数列的前项的和为，当为奇数时，，当为偶数时，，综上：

当时，，时，，此时为等比数列，首项为2，公比为，当时，，当时，，故.

(3)对任意，是正整数，理由如下：当时，，所以，，，猜想：为正整数，

证明：，则，，代入到得：，整理得：，从而，（），于是，所以，因此知，当时，，当时，，以此类推，对任意，，证毕.