高中数学教学论文“直线与平面”错解点击-新人教版

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“直线与平面”错解点击      在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错．     下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力．     例1  证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上．     错解  如图,   对于平面，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影．     在AC上任取一点P，过P作PO⊥交BC于O，     ∴点P在平面上的射影在BC上．     点击   这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥交BC于O，恰恰是本题要证明的．是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉．     正解   AC是平面的斜线，点C是斜足，AB⊥，点B是垂足．     则BC是AC在平面上的射影．     在AC上任取一点P，过点P作PO⊥,垂足为O．      ∴AB⊥，  ∴PO ∥AB，      ∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO平面ABC，      ∴ O∈BC．     例2  已知、是两个不重合的平面，     ①若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面∥平面；     ②若平面内不共线的三个点到平面的距离相等，则平面∥平面；    ③a、b是平面内的两条直线，且a∥，b∥，则平面∥平面；     以上正确命题的个数为(    )．     (A)O个          (B)1个          (C)2个        (D)3个     错解  三个命题都正确，选(D)．     点击   产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”．如判断①、②是真命题，只是考虑了图1与图2的情况，而忽略了图3与图4的情况．   (1)             (2)                 (3)             (4)     而判断③是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相交直线”．     正解    因为三个命题都不正确，所以选(A)．     例3  如图   E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：E1H1，与F1G2是异面直线．    错证1  (直接法)                ①连BD，由题设=，=，     ∴ E1H1与BD不平行，设其交点为P，则P∈BD．     ∵ ==,      则  F1G2∥BD，∴  PF1G2．     ②又E1P平面BCD，且E1∈E1P，      ∴ E1平面BCD．    故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线．      错证2   (反证法)      设E1H1与F1G2不是异面直线，则E1H与F1G相交或E1H1∥F1G2．      ①设E1H1 ∩F1G2=P，       ∵E1H 平面ABD，F1G 平面CBD，      则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上，     则F1G2∩ BD=P，这与F1G2∥BD    (∵△CBD中，==)矛盾，     ∴ E1H1与F1G2不相交．      ②设E1H1∥F1G2，       ∵ F1G2∥BD，由公理4知      E1H1∥BD，这与E1H1 BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E1H1与BD不平行，必相交于一点P)矛盾，      ∴ E1H1与F1G2不平行．      综合(1)、(2)知E1H1与F1G2是异面直线．      点击    采用证法1时，有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上，且点E1在直线E1P上但不在平面CBD上，只证E1H1与F1G2无公共点的一面，而忽视它们不在同一平面上，便得出E1H1与F1G2是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的．      在采用证法2时，易犯的错误也是不全面，只排除了E1H1与F1G2不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能．因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性．      例4  在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求它的对角线BD1与平面A1B1CD所成的角．错解   连结A1C交BD1于E，则∠D1EA为BD1与平面A1B1CD所成角．设正方体的边长为a.则A1E=D1E=a．又  A1D1=a，在△A1ED1中，由余弦定理得cos∠A1ED1====      ∴∠A1ED1=arccos,即BD1与平面A1B1CD所成角为arccos.     点击   以上证法的错误在于，∠A1ED1不是直线BD1与平面A1B1CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD内的射影．正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清，导致了以上错误，所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影.正解    ∵A1B1⊥平面A1ADD1,   又A1B1平面A1B1CD∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD.连结AD1交A1D于O,则D1O⊥A1D,∴D1O⊥平面A1B1CD.连A1C交BD1于E，连OE，则OE为D1E在平面A1B1CD内的射影,∴∠D1EO为BD1与平面A1B1CD所成的角.设正方体的边长为a, 则D1O=a, OE=AB=a,在RtD1OE中,    tan∠D1EO==,      ∴ ∠D1E0=aretan，即BD1与平面A1B1CD所成的角为arctan.     例5  已知，AB是半径为R的⊙O的直径，0C⊥AB，P、Q是圆上两点，且∠AOP=300，∠COQ=450,沿OC折叠使半圆面成一直二面角(如图)，求P、Q两点间的距离.错解   在平面AOC内，过点P作PD⊥OC于D， ∵ 平面AOC⊥平面BOC，则PD⊥平面BOC，连结DQ，      ∴DQ 平面BOC，∠PDQ是直二面角A—O—CB的平面角，       ∴∠PDQ=900．       ∵∠AOP=300， ∴∠POD=600．    在Rt△POD中， PD=Rsin600=R,    在Rt△DOQ中， DQ=Rsin450=R,     ∴在Rt△PDQ中，PQ===,      即P、Q两点间的距离是．    点击   此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误．判定一个角是否是二面角的平面角，必须同时满足三个条件：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③这两条射线都必须垂直于棱．误解中忽视了条件③中的“都”字，事实上，DQ与OC不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲．    正解   同错解，得PD=R.又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得    DQ2=0D2+0Q2一20D·OQcos450      ==R2    在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ=                        ==.故P、Q两点之间的距离为.