解三角形大题归类-一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）

这是一份解三角形大题归类-一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版），共37页。试卷主要包含了热点题型归纳等内容，欢迎下载使用。

专题4-4 解三角形大题归类

目录
一、热点题型归纳
【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 1
【题型二】角平分线的扩展结论 4
【题型三】中线的处理方法 7
【题型四】三角形高的类型 11
【题型五】三角形内心 13
【题型六】外接圆 15
【题型七】双三角形 18
【题型八】四边形 19
【题型九】四边形图形最值 21
二、真题再现 25
三、模拟检测 32


【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型
【典例分析】
（2022·湖北·高三开学考试）在中，，点在边上，平分.
(1)若，求；
(2)若，且的面积为，求的长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，从而可得，再由，展开即可求解；
（2）利用三角形的面积公式可得，从而解得，根据三角形的面积求出，再由余弦定理即可求解.
（1）由，得，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
，故，
所以，
即，
所以.
（2）
由已知，设，所以，另设.
由，可得，
所以，
因为，所以，所以，
又，
又，所以，
所以，所以.

【提分秘籍】
基本规律
角平分线“拆”面积法：




【变式演练】
1.（2022·湖北·高三开学考试）已知的角的对边分别为 ，且，
(1)求角;
(2)若平分交线段于点，且，求的周长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先利用余弦定理化简，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角，
（2）由结合平分，可得，作于，则由结合已知条件可得，解方程组可求得，再利用余弦定理可求出，从而可求出三角形的周长.
（1）由余弦定理得
所以可化为
再由正弦定理，得，得，
所以.因为， 所以
（2）因为平分，所以.由，
得.作于，则.
由，解得由余弦定理，得，所以
故的周长为
2.（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①，②，③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________．
(1)求B
(2)若，的平分线交AC于点D，且，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为，再利用正弦定理即可；
（2）利用角平分线的性质得到，结合余弦定理和三角形的面积公式即可
（1）
选择条件①：
根据正弦定理，可得：可得：
根据余弦定理，可得：
选择条件②：
根据余弦定理，可得：
根据正弦定理，可得：
整理可得：  。可得：
选择条件③：
易知：。可得：根据正弦定理，可得：             
可得：整理可得：

（2）根据题意，可得：可得：
整理可得：根据余弦定理，可得：
可得：，即可得：
解得：或（舍）故

【题型二】角平分线的扩展结论
【典例分析】
（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.
(1)证明：，；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据题意得到，，由正弦定理得到，，两式相除得到，进而得到，，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.
（2）根据，得到，结合基本不等式求得，进而求得，即可求解.
(1)
解：在和中，可得，，
所以，，
由正弦定理，得，，
两式相除得，可得，，
又由，根据余弦定理得
所以
代入可得
.
(2)解：由，及，可得
根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，
又由，，可得，
所以的最小值是3.



【提分秘籍】
基本规律
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：



【变式演练】
1.
.（2022·山东日照·高三开学考试）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．

(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.
（1）因为，,所以，因为，
所以由正弦定理知，即，
因为，所以，，
在中，．
（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或．
因为，所以，因为AM为的平分线，
所以（h为底边BC的高）
所以，故，而由（1）知，
所以．
2.（2022·河南·模拟预测（文））在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线与交于点，求的长.
【答案】(1)(2)2
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）利用余弦定理、角平分线性质可得答案.
（1）由得 ，再由正弦定理和余弦定理得
把代入得所以；
（2）由余弦定理可得 ，因为是角的平分线， ,，
所以，所以.
在中，，
所以.

3.（2022·湖北·高三开学考试）已知的角的对边分别为 ，且，
(1)求角;
(2)若平分交线段于点，且，求的周长



【题型三】中线的处理方法
【典例分析】
（2022·福建·三明一中模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可；
（2）解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；
解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可
(1)解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，为，所以．
解法二：因为，由余弦定理得：，整理得，
即，又由余弦定理得所以，
因为，所以．
(2)解法一：因为M为的中点，所以，
所以，即，
即，而，
所以即，当且仅当时等号成立
所以的面积为．即的面积的最大值为．
解法二：设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式得．③
在中，由余弦定理得，
而，所以，④
联立③④得：，即，而，
所以，即，当且仅当时等号成立．
所以的面积为．即的面积的最大值为．


【提分秘籍】
基本规律

中线的处理方法

1.向量法：

2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的俩三角形面积相等




【变式演练】
1.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若D为边中点，且，求a的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.
(1)∵，∴，即.
由正弦定理得.∵，∴.
∵，∴，又∵,   ∴，∴；
(2)∵D为边中点，∴，即,
∵，∴，∴,
∴，即, 当且仅当时取等号,
∵，
∴，即.故a的最小值为.
2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在中，分别是的中点．从条件①；②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：

(1)求的余弦值；
(2)若相交于点，求的余弦值．
（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）
【答案】(1)条件选择见解析，(2)条件选择见解析，
【分析】（1）若选择条件①：由余弦定理计算，再由余弦定理计算的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出，，再由余弦定理计算的余弦值；
（2）若选择条件①：由余弦定理得出，，再由得出，，最后由余弦定理得出的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出，再由得出，，最后由余弦定理得出的余弦值；
(1)若选择条件①：
在中，由余弦定理可求得，．
若选择条件②：
在中，，，由余弦定理可求得，
所以，在中，由余弦定理可求得．
．
(2)若选择条件①：在中，由余弦定理可求得，
由于分别是的中点，所以，则，，，
在中，由余弦定理可得．
连接，由，可得，则．
所以，，在中，余弦定理求得．
若选择条件②：
由于分别是的中点，所以，
则，，，在中，由余弦定理可得．
连接，由，可得，则．所以，，
在中，余弦定理求得．

【题型四】三角形高的类型
【典例分析】
（2022·安徽蚌埠·一模）记内角的对边为，已知于.
(1)证明：；
(2)若，求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合正弦值的计算公式列方程即可；
（2）由面积公式得，利用余弦定理和辅助角公式化简即可.
（1）根据正弦定理和题设可得，又，所以.
（2）由三角形的面积公式可得，
所以
又由余弦定理
因此，得
其中θ为锐角，且，于是，所以

【提分秘籍】
基本规律
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：






【变式演练】
1.（2022·河南安阳·高三开学考试（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若BC边上的高为，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；
（2）先根据锐角三角函数的定义可知，，得出关系，再根据可求出，然后根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简，即可解出．
（1）
由，得，即，∴，∵，∴.
（2）
∵，且BC边上的高为，∴，∴，
∴.∵，∴C为锐角，∴，
∴.
2.（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根据面积得，整理分析．
（1）由正弦定理得，得，因为，所以，即.
（2）因为，所以.由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.因为，所以.因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故的最小值为.


【题型五】三角形内心
【典例分析】
（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，．
(1)若唯一确定，求m的值；
(2)设I是的内切圆圆心，r是内切圆半径，证明：当时，．
【答案】(1)1(2)证明见解析
【分析】（1）若，根据，，可知A可以为锐角，也可以为钝角，有两种情况，若，则三角形为直角三角形，有唯一解.
（2）由可推导出为直角三角形，故可计算出的值，即得证.
(1)
设AB边上的高为，则．
当时，由勾股定理，若A为锐角，则；若A为钝角，则，所以存在两种情况，不能被唯一确定．
当时，为直角三角形，其中A为直角顶点，可以唯一确定，即唯一确定，故m的值为1．
(2)当时，由余弦定理，，故由同角三角函数的关系可得，
所以的面积．
另一方面，，所以有，两边平方可得，解得（负值舍去），，所以是以A为直角顶点的直角三角形．因此有
，；
，；
，．所以有成立．
【提分秘籍】
基本规律
内切圆：等面积构造法求半径






【变式演练】
1.（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）在中a，b，c分别为内角A，B，C，的对边，已知．
(1)求角A；
(2)若，且的内切圆半径，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将已知式子利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A；
（2）先利用面积法可求得，再结合（1）得到的式子可求出，从而可求出三角形的面积.
（1）
由已知及正弦定理得：，即，
所以，又因为，故．
（2）由已知得，即，
又因为，即，所以，解得，或（舍去），
所以的面积为．
2.（2021·河南南阳·高三期末（理））在中，.
(1)求A；
(2)若的内切圆半径，求的最小值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法及余弦
定理得出含有和的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得的最小值.
(1)在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因为，所以，即，
所以，又因为，所以，
所以，解得.所以.
(2)令，（1）知.由，得
，即，由余弦定理及（1）知，得
，所以，
即，于是
当且仅当时取等号
所以，
或又的内切圆半径，， ，
，的最小值为.


【题型六】外接圆
【典例分析】
（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．
(1)求B和b的值；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)，b=2；(2)
【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利用正弦定理可求得b；
（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面积公式可求得答案.
（1）解：因为，所以，
，即，
因为，所以，
又，所以，所以，
又的外接圆半径，所以由正弦定理得；
（2）解：由余弦定理得，
由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），
故面积的最大值为．

【提分秘籍】
基本规律
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径


【变式演练】
1.（2022·山东聊城·高一期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.
(1)求角A；
(2)若是钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件得，再利用正弦定理边化角，然后由及辅助角公式化简可得，最后确定角的范围即可求解；
（2）由（1）知，利用余弦定理有，又，可得①，由是钝角三角形，且，可知角B为钝角，可得②，由①②可得，进而可得，最后利用正弦定理即可求解.
(1)解：由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，又，，
所以，即，因为，所以，即；
(2)解：由（1）知，所以，
又，所以①，
因为是钝角三角形，由，可知角B为钝角，
所以，即，得②，
由①②可得，解得，所以，
由，得，即.
设外接圆半径为R，由正弦定理知，
所以外接圆半径的取值范围是.
2.（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，___________，求外接圆的半径的取值范围.请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.①；②.
【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合余弦定理得出角B的大小；
（2）选择条件①：由正弦定理得出，再结合三角函数的性质得出，进而得出外接圆的半径的取值范围；选择条件②：由余弦定理证明，，再由正弦定理得出外接圆的半径的取值范围；
(1)因为，由正弦定理可得，
即，所以，
可得，即，由为内角可得.
(2)若选择条件①
由正弦定理，，
而，因为为钝角三角形，
则，则，
，故，
外接圆的半径为.
若选择条件②
因为为钝角三角形，由及知角A必为钝角，即（*），
由余弦定理得，
代入式得，故.所以，得，
故，
可得，由正弦定理得.


【题型七】双三角形
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，D为BC边上一点，，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理，边化角即可求解.
（2）在中由余弦定理和正弦定理求解.
（1）因为，，由正弦定理得，，化简得，又因为，，所以即，因为，所以.
（2）因为，，所以，在中由余弦定理得，所以.由正弦定理得,.所以.

【变式演练】
1.（2022·辽宁·高三期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足          ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由正弦定理及同角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.
（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
(1)方案一：选条件①．
由，可得，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
故，又，于是，即，
因为，所以．
方案二：选条件②．
因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得，即，因为，所以，
又所以，因为，所以．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得，
即，∴，∴由余弦下定得．
又，所以．
(2)由题意知，得．
由余弦定理得，
当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．
2.（2022·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)设D是AB边上靠近A的三等分点，，求的面积．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，再利用正弦定理边化角，借助同角公式计算作答.
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答.
(1)
在中，由得：，由正弦定理得，
而，即，则，又,所以.
(2)依题意，在中，由余弦定理得：，
即，解得，
所以的面积.

【题型八】四边形
【典例分析】

（2021·山东·高三开学考试）在梯形ABCD中，，，．
(1)求；
(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）连接BD，在梯形中可得，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得的值，即可求解的值；
（2）根据（1）的结论，结合已知条件可判断为等边三角形，进而得到的值，利用勾股定理求解的值，利用三角形面积公式求解的面积，即可得到梯形的面积.
（1）
解：连接BD，在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
又，，
所以，化简得．
因为，所以．
（2）解：因为，．
所以为等边三角形，且，
，且，
又
所以的面积为，
的面积为，
所以梯形ABCD的面积为.


【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，，，，.


(1)求；
(2)若，求的长.
【答案】(1)(2)3
【分析】（1）先求出，在中结合正弦定理求解即可；
（2）根据题中条件运用二倍角公式求出的值，然后在中结合余弦定理求解即可.
（1）因为，，所以，
在中，根据正弦定理知，，即，解得.
（2）因为且，所以.因为，
所以，
在中，由余弦定理知，，即，
所以，即，
解得或（舍去），所以的长为3.
2.
（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.

(1)求AC；
(2)求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
（1）
因为面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
【题型九】四边形图形最值
【典例分析】

（2023·全国·高三专题练习）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，

(1)求ÐB；
(2)设，，求函数的值域．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入计算可得，化简即可得解；
（2）首先找到各个角之间的关系，，，再由正弦定理可得，再在三角形ABC中，由正弦定理得，
所以，利用三角函数求最值即可得解.
(1)
由，可得，
即，可得，因为，所以，
(2)

∵，则，，在三角形ACD中，由正弦定理得，
可得，在三角形ABC中，由正弦定理得，
可得


，因为，
可得，当时，即，可得，
当时，即，可得，所以的值域为．

【变式演练】
1.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））如图，平面四边形中，，，，.

(1)若，求的值；
(2)试问为何值时，平面四边形的面积最大？
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据题意可知，在中利用余弦定理计算求得，进而得出结果；
(2)在中根据余弦定理可得，利用三角形面积公式求出，进而求出，结合三角函数的性质即可得出结果.
(1)若，，所以，得，，由，
得，所以，在中，由余弦定理得
，所以；
(2)，在中，由余弦定理得，
所以，，
所以，
当时，取到最大值.
2.（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形中，.

(1)证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)14
【分析】（1）分别在和中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解；
（2）结合（1）得到 ，利用二次函数的性质求解.
(1)证明：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
∴，所以，即.
(2)，，
则由（1）知：，
代入上式得，
，，
∴当时，取到最大值14.


1.（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，
得，
因为，所以，即．
又因为，所以．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为，如图，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，（舍去）．
当时，．
所以．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知，则，
即，

而，即，
故有，从而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
则．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化简得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作，交于点E，则．

由，得．
在中，．
在中．
因为，
所以，
整理得．
又因为，所以，
即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为，所以．
以向量为基底，有．
所以，
即，
又因为，所以．③
由余弦定理得，
所以④
联立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设，则．⑤
由知，，
即．⑥
联立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
2．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．
在中，，因此．

（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
   在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．
[方法三]：几何法+正弦定理法
   在（1）的方法二中可得．
在中，，
所以．
在中，由正弦定理可得，
由此可得．
[方法四]：构造直角三角形法
   如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．


在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，从而．在中，．所以．
3．（·福建·高考真题（文））如图，在等腰直角中，，，点在线段上.

(Ⅰ) 若，求的长；
（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值.
【答案】(Ⅰ)或（Ⅱ）当时， 的面积的最小值为
【详解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,
由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.
(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,
同理ON=.故S△OMN=OM·ON·sin∠MON=×
==
==
==.因为0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,
此时△OMN的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.
4．（2018·北京·高考真题（理））在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【答案】(1) ∠A=   (2) AC边上的高为
【详解】分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．
详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得 =，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．

5．（2017·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为已知.

（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且,求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长的值；（2）先根据余弦定理求出，求出的长，可得，从而得到，进而可得结果.
试题解析：（1），，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故.
(2)，，，，，.
6．（2015·全国·高考真题（文））△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若,求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：（Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.
（Ⅱ）因为
所以 由（I）知,
所以



1.（2022·江苏·华罗庚中学三模）在 中，已知.
(1)求的值；
(2)若是的角平分线，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出边的长，再利用正弦定理求出 （2）利用三角形的面积公式及面积关系，建立关于边的关系式求解即可得到答案
(1)
在中，由余弦定理
整理得
解得或
由于，所以
因为，所以，所以
由正弦定理得：，故
(2)
设，由及三角形的面积公式可得：
整理得
在中，由余弦定理
由得则
2.（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）设中角，，的对边长分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，的面积，的平分线交于点，求线段的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和差的正弦公式化简可得，从而得解；
（2）由面积公式，在中，利用余弦定理，求出，可得，进而知，再在中，由正弦定理，即可得解．
(1)
解：由正弦定理及，知，
所以，
所以，
即，
因为，所以，又，所以．
(2)解：因为，的面积，所以，所以，
在中，由余弦定理知，，所以，
因为，所以为直角三角形，且，
因为的平分线交于点，所以，
所以，
在中，由正弦定理知，，即，解得．
3.（2023·全国·高三专题练习）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.
(1)求角；
(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.
【答案】(1)条件选择见解析，(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选②，由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由平面向量的线性运算可出，结合平面向量数量积的运算性质可得出，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
(1)
解：选①，由及正弦定理可得，
所以，，
因为、，所以，，则，
所以，，；
选②，由及正弦定理可得，
所以，，
、，，所以，，则.
(2)解：因为，所以，，
由已知，即，所以，，
所以，，
即
，所以，.
4.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且．
(1)求A的大小；
(2)若、，D为直线BC上一点，且，求△ABD的周长．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得，进而即得；
（2）利用余弦定理可得，再利用正弦定理结合条件即得.
(1)∵，∴，又，∴，即
又，∴；
(2)在中，由余弦定理得：，又、，，
∴，又，∴，在中，由正弦定理得，
又，∴B为锐角，∴，在中，，
∴，，∴的周长为．
5.（2021·全国·三模）已知的内角、、所对的边分别为、、，且．
（1）判断的形状并证明；
（2）若，的面积，求的内切圆半径．
【答案】（1）是等腰三角形；证明见解析；（2）．
【分析】（1）方法一：由，及正弦定理知，通过恒等变换得到，从而有，是等腰三角形．方法二：利用余弦定理，由得，化简得到，故是等腰三角形．
（2）由三角形面积公式，结合（1）中结论，求得三角形三个边，然后根据内切圆半径与面积，周长间的关系求得内切圆半径.
【详解】（1）是等腰三角形．下面证明：方法一：因为，所以
所以，即
所以，所以．
在中，，所以，故，所以是等腰三角形．
方法二：因为，所以
所以，所以，故是等腰三角形．
（2）因为，所以，且有，。所以，
即，所以，故．又，所以．
又，所以，所以．
6.（2021·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求角；
(2)若为边的中点，，记内切圆的面积为，外接圆的面积为，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理求出角A；
（2）先判断出为等边三角形，即可求出的内切圆半径r；利用正弦定理求出的外接圆半径，即可求出．
(1)因为，所以，
由正弦定理得，即，由余弦定理可得，
又，所以．
(2)由（1）知，因为为边的中点，，所以，
所以为等边三角形，所以的内切圆半径．因为，且，所以，所以的外接圆半径，
所以．
7.（2022·江西九江·高一期末）在ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB的值；
(2)若O是ABC的外心，且，求ABC外接圆的半径．
【答案】(1)6；(2).
【分析】（1）直接利用余弦定理化简即得解；
（2）把两边平方，再利用正弦定理得解.
(1)
解：
.
(2)
解：设ABC外接圆的半径是R．


因此
8.在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.

(1)求的面积；
(2)当，求MN的长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根据结合面积公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根据求解．
(1)在中，，则由正弦定理得：，，则
因为，则或（不合题意，舍去），
则。的面积为
(2)在中，，，
由余弦定理可得
则有，所以在直角中，，
，则
9.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，已知BC＝2，.

(1)若，求BD的长；
(2)若，且AB＝4，求AC的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和角的正弦公式及正弦定理化简求解（2）由差角的余弦公式及余弦定理化简求解.
(1)
∵，∴.
又∵，所以，
∴在中，由正弦定理，可得，即BD的长为.
(2)
，
∴.∵在中，BC＝2，AB＝4，∴，
可得，解得.∴AC的长为.
10.（2022·湖北·模拟预测）在中，若.


(1)求的值；
(2)如图，若，为外一点，且，，，求的最大值及相应的.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得；
（2）利用余弦定理及面积公式可得，然后利用三角函数的性质即得.
(1)∵，由条件知，
∴，，∴.
(2)若，所以为等边三角形，在中，，，，
∴，故，∴，
，∴
，当且仅当，即取等号，
所以时，的最大值为.