贵州省贵阳第一中学2023届高三上学期高考适应性月考卷（一）数学（理）试题(含答案)

秘密★启用前

理科数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

192  907  966  925  271  932  812  458  569  683

257  393  127  556  488  730  113  537  989  431

据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为（    ）

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5

4.已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

5.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，x的系数为（    ）

A.10 B. C. D.

6.已知的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则“”是“为直角三角形”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.著名数学家华罗庚先生曾说过；“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的为，可抽象为如图1所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（    ）

A. B. C. D.

8.是边长为6的等边三角形，点D，E分别在边，上，且，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

9.在正方体，中，棱长为4，E为的中点，点P在平面内运动，则的最小值为（    ）

A.6 B. C. D.10

10.函数在上的最大值与最小值的和为8，则a的值为（    ）

A.-2 B.2 C.4 D.6

11.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节，活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图2所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e=（    ）

A. B. C. D.

12.已知是函数的导数，满足，且，设函数的一个零点为，则所在的区间为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.曲线及围成的平面区域如图3所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在非阴影区域的概率为______________.

14.中国书法一般分为篆书、隶书、行书、楷书和草书这5种字体，其中篆书分大篆和小篆，隶书分古隶和汉隶，草书分章草、今草和狂草，行书分行草和行楷，楷书分魏碑和唐楷.为了弘扬传统文化，某书法协会采用楷书、隶书和草书3种字体书写6个福字，其中隶书字体的福字分别用古隶和汉隶书写，草书字体的福字分别用章草、今草和狂草书写，楷书字体的福字用唐楷书写.将这6个福字排成一排，要求相同类型字体的福字相邻，则不同的排法种数为__________种.

15.在中，，，D是的中点，.将沿折起得到三棱锥，使得，则该三棱锥的外接球的表面积为__________.

16.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中a，b是非零常数，无理数…），对于函数以下结论正确的是__________.（填序号）

①是函数为偶函数的充分不必要条件；②是函数为奇函数的充要条件；

③如果，那么为单调函数；④如果，那么函数存在极值点.

三、解答题（共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

为了满足同学们多元化的需求，某校食堂每周开发一次新菜品，为了了解学生对新菜品的喜爱情况，他们采用给新菜品打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组并绘制出如图4所示的样本频率分布直方图.

（1）请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同学中20人打分在，根据所给数据，完成上面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对新菜品的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢新菜品）？

附：，.

18.（本小题满分12分）

已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求.

19.（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥中，，，，是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若平面平面，且，三棱锥的体积为1，求的长.

20.（本小题满分12分）

如图6，已知抛物线的焦点为F，双曲线的斜率大于0的渐近线为l，过点F作直线，交抛物线于A，B两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线m∥l，且与抛物线相切于点P，求的值.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求的极值点；

（2）若对任意的，，不等式恒成立，求k的最大值.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为且直线l与曲线C交于P，Q两点.

（1）写出曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）若点，且，，成等差数列，求a的值.

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

函数.

（1）求函数的最小值；

（2）若（1）中的最小值为k，且实数a，b，c满足.求证：.

贵阳第一中学2023届高考适应性月考卷（一）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1.因为，，，所以，则，故选B.

2.化简复数，因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，所以，所以，则，，故选D.

3.由题意，随机数中满足两只豚鼠被感染的有192，271，932，812，393，127，共6个，故三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为0.3，故选B.

4.因为，，，所以，所以，设向量与的夹角为，则，因为，所以，故选C.

5.展开式的通项为，令，解得，所以二项式展开式中，x的系数为，故选C.

6.因为，由正弦定理可得，，即，所以，所以.因为，，所以，，则，为直角三角形，但为直角三角形时不一定是，所以是为直角三角形的充分不必要条件，故选A.

7.由图象对称性可知：应为偶函数，对于B，∵∴为奇函数，B错误；对于D，∵，∴为奇函数，D错误；由图象可知：当x从正方向无限接近0时，；对于A，当x从正方向无限接近0时，，，，A错误，故选C.

8.是边长为6的等边三角形，点D，E分别在边，上，且则以C为原点，所在的直线为x轴，平面内过C垂直于的直线为y轴，如图1所示，则，，.因为点D，E分别在边，上，且.设且，则，所以，故当时，的最小值为，故选D.

9.取的中点F，连接，如图2，因为E为的中点，所以点E，F关于平面对称，所以，最小值为，故选A.

12.设，则满足，而，∴，∴，

∴，∴，.

易知，，，即在上存在零点，故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

14.分别将隶书、草书、楷书当作整体，排法总数为，隶书内部顺序，草书内部顺序，故方法总数为种.

15.如图3，易得，则，

设外接圆圆心为，外接圆半径为r，三棱锥外接球球心为O，外接球半径为R，连接，，，，由，易得，由正弦定理得，解得，，.又，，平面，则平面，又平面，则.又，则，则，则三棱锥的外接球的表面积为.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

解：（1）设的小矩形的高为h，

则，

解得：，所以补充频率分布直方图如图4所示：

平均数为

，

所以平均数为73.5....................................................（6分）

（2）根据题中数据得到列联表如下：

所以，

依据小概率值的独立性检验，能在犯错概率不超过0.100的条件下，认为对新菜品的喜爱程度跟性别有关...........................................（12分）

18.（本小题满分12分）

解：（1）由已知，①

当时，，②

，

∴，

而当时，，也满足上式，

∴...........................................................（6分）

（2）由（1）知，

.…………………………………………………（12分）

19.（本小题满分12分）

（1）证明：∵，，

∴.

又∵，

∴为等边三角形，

又∵，M是的中点，

∴，，.

又∵，，平面，

∴平面，故平面平面............................（6分）

（2）解：因为平面平面，

所以平面.

又，平面，

所以平面.

又平面，平面平面，

所以.

∵平面，

∴.

又∵，，，平面，

∴平面.

又∵平面，∴.

∵，∴.

又∵，，，平面，

∴平面.

∵，

∴C点到平面的距离等于D点到平面的距离，

∴.

又∵

解得.........................................................（12分）

22.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）因为，两边同时乘以，可得，

所以曲线C的普通方程为.

由，可得直线l的直角坐标方程为..................（5分）

（2）直线l的参数方程可写为代入，得①.

可知方程①必有两个实根.

设，分别为P，Q对应的参数，且P在Q的下方，

则，.

由参数t的几何意义可知，，，.

因为，，成等差数列，所以，

故有，整理得，

把上式代入，，

解得..........................................................（10分）