初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系3 三角函数的计算教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系3 三角函数的计算教学设计，共5页。教案主要包含了合作探究等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义．
2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算．
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题．
教学重难点
重点：用计算器求任意锐角的三角函数值．
难点：学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算．
教学过程
知识回顾
30°，45°，60°角的三角函数值：
α
sin α
cs α
tan α
30°
eq \f(1,2)
eq \f(\r(3),2)[
eq \f(\r(3),3)
45°
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(2),2)
1
60°
eq \f(\r(3),2)
eq \f(1,2)
eq \r(3)
导入新课
多媒体展示图片
教师提出问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)
教师引导学生回答：
1.缆车垂直上升的距离是线段 的长度．
2.本题的已知条件是 ，需要求出的是 ．
3.这三个量之间的关系是 ．
学生思考并反馈：
1.缆车垂直上升的距离是线段BC的长度．
2.已知条件是∠α＝16°，AB＝200 m，需要求出的是线段BC的长度.
3.这三个量之间的关系为sin α＝.
根据学生分析，多媒体展示学生解题过程：
在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200 m，
根据正弦的定义，得sin16°＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(BC,200)，
∴BC＝ABsin16°＝200sin16°(m).
师：200sin16° m中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数的值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定．
对于特殊角30°、45°、60°，可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值．
怎样用科学计算器求三角函数值呢？
设计意图：由问题来引入本节要研究的课题，从而能够激发学生的兴趣，提高学生学习的积极性．
探究新知
预习新知
师：用科学计算器求三角函数值，要用到eq \x(sin)、eq \x(cs)和eq \x(tan)键．例如sin16°，tan85°，cs72°38′25″的按键顺序如教材表中所示．(多媒体展示表格)
同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，tan85°，
cs72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同.
教师强调：
1.不同的计算器按键方式可能不同，所以同学们可以利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以和其他同学互相交流其他计算器计算三角函数值的方法．
2.用计算器求三角函数值时，计算结果一般精确到万分位．
拓展：用计算器求三角函数值的按键顺序：
第一步：按相应的三角函数键，即按下“sin，cs或tan”键；
第二步：按下角度；
第三步：按“＝”键得到相应的三角函数值．
下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题．
生：用计算器求得BC＝200sin16°≈55.12(m)．
师：下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体展示)．
(1)sin56°；(2)sin15°49′；
(3)cs20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cs61°＋tan76°．
把学生分成六组，以小组为单位，展开竞赛，看哪一组算得既快又准确．
师：你能用计算器计算说明下列式子是否成立吗？(多媒体展示)
(1)sin15°＋sin25°＝sin40°；
(2)cs20°＋cs26°＝cs46°；
(3)tan25°＋tan15°＝tan40°.
生：上面三个式子都不成立．
师：由此，你能得出什么结论？
生：两个锐角的正弦的和不等于这两个锐角的和的正弦．对于余弦、正切也一样．
二、合作探究
多媒体展示本节一开始的问题
师：当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你还能计算什么？
生1：可以计算缆车从点B到点D垂直上升的高度．
生2：可以计算缆车从点A到点D，一共垂直上升的高度、水平移动的距离．
教师请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果，其余同学可在小组内交流、讨论完成，并且多媒体展示他们的成果．
设计意图：让学生学会从数学角度提出问题、分析问题，并能综合运用所学知识解决问题，发展学生的应用意识，让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角三角函数值的过程．
想一想：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道(如图所示)．这条斜道的倾斜角是多少?
师：由已知条件如何求出倾斜角∠A的度数？
生：在Rt△ABC中，BC＝10 m，AC＝40 m，sin A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,4)，可是∠A是多少？
师：我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定．给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？
教师总结：我们曾学习过两个直角三角形全等的判定定理——HL定理．在上图中，斜边AC和直角边BC是定值，根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的，当然∠A的大小也是唯一确定的，我们知道了sin A＝eq \f(1,4)时，锐角A是唯一确定的，我们可以借助于科学计算器来完成.
教师要求学生阅读教材中根据函数值求角度的步骤表格，然后让学生根据教材和说明书，自己探究计算器的操作方法，给学生充分交流的时间和空间，及时引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤．
学生按照按键顺序，进行反复练习．
教师强调：1.显示结果是以“度”为单位的，再按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果．
2.以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，计算结果精确到1″即可.
最后根据步骤要求学生计算出∠A的大小．
典型例题
【例】按要求解决问题：
(1)求sin 63°52′41″的值；(精确到0.0001)
(2)求tan 19°15′的值；(精确到0.0001)
(3)已知tan x＝0.741 0，求锐角的值．(精确到1′)
【问题探索】熟悉用科学计算器求锐角三角函数值的操作流程．
【解】(1)角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：
eq \x(sin )eq \x(6)eq \x(3)eq \x(°′′′)eq \x(5)eq \x(2)eq \x(°′′′)eq \x(4)eq \x(1)eq \x(°′′′)eq \x(＝)
显示结果为0.897 859 012．
所以sin 63°52′41″≈0.8979．
(2)角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：
eq \x(tan )eq \x(1)eq \x(9)eq \x(°′′′)eq \x(1)eq \x(5)eq \x(°′′′)eq \x(＝)
显示结果为0. 349 215 633．
所以tan 19°15′≈0.3492．
(3)角度单位状态设定为“度”，再按下列顺序依次按键：
eq \x(SHIFT)eq \x(tan )eq \x(0)eq \x(.)eq \x(7)eq \x(4)eq \x(1)eq \x(0)eq \x(＝)
显示结果为36.538 445 77．
再按eq \x(°′′′)，显示结果为36°32′18.4″．
所以x≈36°32′．
【总结】不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序．
课堂练习
1.用计算器求sin62°20′的值，正确的是( )
7 6
2 1
2.sin80°，cs80°，tan80°的大小关系是( )
A.tan80°＜cs80°＜sin80°
B.cs80°＜tan80°＜sin80°
C.sin80°＜cs80°＜tan80°
D.cs80°＜sin80°＜tan80°
3.用科学计算器计算：＋3tan 56°≈ .(结果精确到0.01)
4.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40 km/h．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为C．测得PC＝30 m，∠APC＝71°，∠BPC＝35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6 s，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin 35°≈0.57，cs 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cs 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)
参考答案
1.A
2.D
4.解：在Rt△APC中，AC＝PCtan∠APC＝30tan 71°≈30×2.90＝87（m），
在Rt△BPC中，BC＝PCtan∠BPC＝30tan 35°≈30×0.70＝21（m），
则AB＝AC－BC＝87－21＝66（m），
∴该汽车的实际速度为eq \f(66,6)＝11（m/s），
又∵40 km/h≈11.1 m/s，∴该车没有超速．
课堂小结
(学生总结，老师点评)
1.三角函数的计算eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(已知锐角求三角函数值,已知三角函数值求锐角))
2.运用三角函数解决实际问题.
布置作业
教材P15 习题1.4第1题、第2题、第3题
板书设计
第一章 直角三角形的边角关系
3 三角函数的计算
1.用计算器求锐角的三角函数值.
2.用计算器根据三角函数值求锐角的度数.
教学反思
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