2020-2022年广东中考数学3年真题汇编 专题04 几何图形的性质（3个考向）（学生卷+教师卷）

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专题04 几何图形的性质
考向1 三角形、四边形性质
1．（2022·广东）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=40°，则∠2等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【详解】，，
.
故选.
2．（2022·广东）如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（       ）

A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴，
∵BC=4，∴DE=2，故选：D．
3．（2022·广东）如图，在中，一定正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC
故选C．
4．（2022·广东广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（     ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接EF，

∵正方形ABCD的面积为3，
∵ ∴ ∴
∴
∵平分
∴ ∴ ∴为等腰直角三角形，

∵分别为的中点，
故选D
5．（2022·广东深圳）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，，，

，，，故选：C．
6．（2021·广东深圳）在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：①∵，
∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF，
∴∠GFB=∠EDC，
∵ABCD为正方形，E是BC的中点，
∴BC=CD，
∴，①正确；
②由①知，
又，已知，
∴()，∴，∴，
∵，，，
∴()，
∴，故②正确；
③∵，，∴BE=ME，
且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边，
∴（），∴，
∵，∴，
由三角形外角定理可知：，
∴，∴，∴，
∵，，
∴，故③错误；
④由上述可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确．故选B．
7．（2020·广东广州）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，，
，，
又，，，
，，，，
同理可证，，，，
，，
故选：C．
8．（2020·广东深圳）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（     ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
9．（2022·广东广州）如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________

【答案】21
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,
∵AC+BD=22，∴OC+BO=11，
∵BC=10，∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．
故答案为：21．
10．（2021·广东广州）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．

【答案】2
【详解】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
11．（2021·广东广州）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．

【答案】
【详解】解：如图，连接

∵点B关于直线CD的对称点为，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．∴．
故答案为：．
12．（2021·广东深圳）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________．

【答案】
【详解】解：如图，延长，交于点G，

设
由折叠，可知，
∵，
∴，
∴，
延长，，交于点M，
∵，∴，，
∴，
∵，，∴，，
∴．
13．（2021·广东深圳）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．

【答案】
【详解】解： 的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
14．（2020·广东）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．

【答案】45°
【详解】

∵
∴
∴

故答案为：45°．
15．（2020·广东广州）如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．

【答案】(4，3)
【详解】过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)，
故答案为：(4，3).

16．（2020·广东广州）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为_______．

【答案】16
【详解】解：在正方形中，，
∵绕点逆时针旋转到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
17．（2020·广东深圳）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___．

【答案】
【详解】解：过B点作BE//AD交AC于点E，
BE⊥AD，，∴
，∴
由，



∴，设 则


故答案为：
18．（2022·广东）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．

【答案】见解析
【详解】证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴，，
又∵（公共边），
∴．
19．（2022·广东广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE

【答案】证明见解析
【详解】证明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
20．（2021·广东）如图，边长为1的正方形中，点E为的中点．连接，将沿折叠得到交于点G，求的长．

【答案】
【详解】解：延长交于H连，

∵由沿折叠得到，∴，，
∵E为中点，正方形边长为1，∴，∴，
∵四边形是正方形，∴，
在和中，，
∴，∴，
又∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，∴．
21．（2021·广东）如图，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且．

（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：(1)∵，设，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
(2)如图，取中点O，过点O作，

∵CD∥AB，∠ABC=90°，
∴，
又∵，
∴OM∥AB，
∴M为中点，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴以为直径的圆与相切．
(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，
∴，
又∵
∴为等边三角形，，
∵CD∥EF，
∴，
由(2)得：，
∴，∴，
∵，在中，三边之比为，∴，
在中，三边之比为，∴，
如图，过点D，点A分别向作垂线交于点M，N，

∵，
∴四边形为矩形，∴，
同理，四边形BENA为矩形，∴，



．
22．（2021·广东广州）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．

【答案】见解析
【详解】证明：∵，∴∠B=∠C，
∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴．
23．（2021·广东广州）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【详解】解：（1）如图，AF平分，

（2）∵，且，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵AF平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴为等边三角形．
24．（2020·广东）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．

【答案】见解析
【详解】证明：在和中

∴
∴
∴
又∵
∴
即
∴是等腰三角形．
25．（2020·广东广州）如图，中，．
（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．
①求证：四边形是菱形；
②取的中点，连接，若，，求点到的距离．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②．
【详解】（1）解：如图：点即为所求作的点；

（2）①证明：
∵，，
又∵，∴；∴，
又∵，
∴四边形是菱形；

②解：∵四边形是菱形，∴，，
又∵，∴，∵为的中点，∴，
∵，∴为的中位线，∵，∴，∴菱形的边长为13，
∵，
在中，由勾股定理得：，即：，∴,
设点到的距离为，利用面积相等得：，解得：，
即到的距离为．

考向2 锐角三角函数
1．（2021·广东深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，
即： ,
∴,
故选：C
2.（2021·广东）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．

【答案】
【详解】∵，∴△ADE为直角三角形，
又∵，∴ , 解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,∴ ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图

在△EBC中：S△EBC= ;
又∵S△EBC ，∴ ,解得,
在Rt△BFC中，,
故填：．
3．（2022·广东广州）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．

(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
【答案】(1)；(2)①；②旗杆AB高度约．
【解析】(1)解：．
(2)解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，

∴，
∴，
②当时，作点D到AB的垂线段DF，

则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中，，
∴．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．∴旗杆AB高度约12.8m．
4．（2021·广东）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．

（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，

∵为垂直平分线，
∴，

∵，∴．
(2)设，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
考向3 圆及其综合
1．（2020·广东广州）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（   ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵中，， ，∴cosA=
∵，∴AC=4，∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
2．（2022·广东深圳）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图取中点O，连接．

∵是圆O的直径．
∴．
∵与圆O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵点O是的中点．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故选：B．
3．（2021·广东）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（       ）

A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分线BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2，AE=
设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2 则（x+）2=32+x2，解得x=，∴AB=+=2
故填：2．

4．（2021·广东广州）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵AC与BC是圆的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OB=24cm,
∴=cm．
故选择B．
5．（2020·广东广州）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，∴油的最大深度为，
故选：．

6．（2022·广东广州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是________（结果保留）

【答案】
【详解】解：如图，连接OD，OE，
∵
∴






∵与边AB相切于点D，
∴ ∴

的长
故答案为：．
7．（2021·广东）如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____．

【答案】
【详解】∵等腰直角三角形中，，
∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，
∴S阴影=S△ABC-2S扇形CEF==，
故答案为：
8．（2021·广东广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．

【答案】（1）（3）（4）．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
又∵，∴．∴．
∵，∴，∴，∴，∴，
即H是FK的中点；故结论（1）正确；
（2）过点H作交BC于N，交AD于M，

由（1）得，则．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，，
∴．
∴四边形ABNM是矩形．
∴，．
∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
解得．
则．
∵，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴与不全等，故结论（2）错误；
（3）∵，
∴．
即．解得．
由（2）得，．
∴；故结论（3）正确；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴．
由勾股定理得．
∴；故结论（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
9．（2020·广东）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．

【答案】
【详解】连接OA，OB，
则∠BAO=∠BAC==60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴的长为：，
设圆锥底面圆的半径为r
，
故答案为．

10．（2022·广东）如图，四边形内接于，为的直径，．

(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)；
【解析】(1)证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
11．（2022·广东广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．

(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．
【答案】(1)作图见解析；(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是
【解析】(1)解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；
②作直线OE，记OE与交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；

(2)解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：

∵OD⊥AC，
∴F为AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC=3，
∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴OD=OA=AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F为AC中点，
∴CF=AC=4，   
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD=，
则，
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是．
12．（2021·广东深圳）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）如图连接，
∵A、D、C、B四点共圆
∴
又
∴
∵D，C为的三等分点
∴
∴
∴
∴，又
∴四边形为平行四边形
∴即原题中；

（2）∵四边形为平行四边形，
∴
∵D，C为的三等分点，
∴，
∴，，
∵
∴
∴
∴，即
∴，∴．
13.（2020·广东）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．

（1）求证：直线与相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）如图，过点作于点
∵，
∴，即
又∵平分，
∴
即OE是的半径
∴直线与相切；

（2）如图，连接，延长交延长线于点
由圆周角定理得：，
是的直径，，
AD、BC都是的切线
由切线长定理得：
∵
∴
在和中，
∴
∴
设，则


在和中，

，即
解得
在中，
则．

14．（2020·广东广州）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．

（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3)
【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，
∴,都为圆，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴．

(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，

在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值时,t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值为．

15．（2020·广东深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【详解】

（1）证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．