人教版数学七年级上册专题训练(八)　角的计算

专题训练(八)　角的计算

类型一：直接计算

1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．

2．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC＝60°，求∠AOD的度数．

3．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．

(1)如图①，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；

(2)如图②，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．

类型二：方程思想

4．如图，点E，O，A在同一条直线上，OC平分∠AOD，且∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶4，求∠1的度数.

5．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数.

6．如图，已知∠AOB＝∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．

7．如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度．

(1)求∠BOD的度数；

(2)若OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，求∠EOF的度数．

类型三：分类思想

8．已知：如图OC是∠AOB的平分线．

(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；

(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；

(3)当∠AOB＝a时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含a的式子表示)

类型四：角的旋转

9．如图①，已知∠AOB＝150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD.

(1)在图①中，若∠COE＝32°，则∠DOE＝_____，∠BOD＝______；

(2)在图①中，设∠COE＝α，∠BOD＝β，请探究α与β之间的数量关系；

(3)在已知条件不变的前提下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图②的位置时，(2)中α与β的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出α与β的数量关系．

参考答案

类型一：直接计算

1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数．

解：∠AOD＝120°

2．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，若∠EOC＝60°，求∠AOD的度数．

解：因为OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，所以∠AOC＝∠AOB＝45°，因为∠EOC＝60°，所以∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝15°，因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠AOE＝30°

3．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．

(1)如图①，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；

(2)如图②，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．

解：(1)因为∠AOB与∠BOC互补，所以∠AOB＋∠BOC＝180°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝∠BOC＝70°　

(2)因为∠AOB与∠BOC互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°.因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝∠BOC＝25°

类型二：方程思想

4．如图，点E，O，A在同一条直线上，OC平分∠AOD，且∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶4，求∠1的度数.

解：因为OC平分∠AOD，所以∠1＝∠2.因为∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶4，所以设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝2x°，∠4＝4x°.又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以x＋x＋2x＋4x＝180，解得x＝22.5，则∠1的度数是22.5°

5．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数.

解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°，因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝3x°，所以2x＋3x＋3x＋20＝180，解得x＝20，所以∠BOC＝3×20°＝60°

6．如图，已知∠AOB＝∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．

解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.因为∠AOB＝∠BOC，所以∠BOC＝2x°.因为∠BOC＋∠COD＋∠AOD＋∠AOB＝360°，所以2x＋3x＋3x＋x＝360.解得x＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°

7．如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度．

(1)求∠BOD的度数；

(2)若OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，求∠EOF的度数．

解：(1)设∠BOD＝x°，则∠AOC的度数为(3x＋10)°，由题意得x＋(3x＋10)＋90＝180，解得x＝20，所以∠BOD＝20°　

(2)因为OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，所以∠BOE＝∠BOD，∠BOF＝∠BOC＝(∠BOD＋∠COD)，所以∠EOF＝∠BOF－∠BOE＝(∠BOC－∠BOD)＝∠COD＝45°

类型三：分类思想

8．已知：如图OC是∠AOB的平分线．

(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；

(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；

(3)当∠AOB＝a时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含a的式子表示)

解：(1)因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝∠AOB.因为∠AOB＝60°，所以∠AOC＝30°　

(2)如图①，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；

如图②，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°　

(3)90°＋或90°－.

类型四：角的旋转

9．如图①，已知∠AOB＝150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD.

(1)在图①中，若∠COE＝32°，则∠DOE＝__58°___，∠BOD＝__34°____；

(2)在图①中，设∠COE＝α，∠BOD＝β，请探究α与β之间的数量关系；

(3)在已知条件不变的前提下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图②的位置时，(2)中α与β的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出α与β的数量关系．

解：(2)因为∠COE与∠EOD互余，所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－α.因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝2(90°－α).因为∠AOB＝150°，∠BOD＝β，所以2(90°－α)＋β＝150°，整理得2α－β＝30°　

(3)不成立．理由：因为∠COE与∠EOD互余，所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－α.因为OE平分∠AOD，所以∠AOD＝2∠DOE＝2(90°－α).因为∠AOB＝150°，∠BOD＝β，所以2(90°－α)－150°＝β，整理得2α＋β＝30°