高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算当堂达标检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算当堂达标检测题，文件包含52导数运算典例分类精讲-2022-2023学年高二数学同步精讲+检测人教A版2019选择性必修第二册解析版docx、52导数运算典例分类精讲-2022-2023学年高二数学同步精讲+检测人教A版2019选择性必修第二册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

5.2
导数运算



【知识目录】




1、 和与差的导数运算
2、 积的导数运算
3、 商的导数运算
4、 复合函数的导数运算
5、 求导技巧与解导数方程和不等式
6、 求导计算中求参数计算类
7、 求导运算与函数性质结合


典例分类精讲




Ø 一、和与差的导数运算
和与差的导数运算：
1．若c为常数，则(cu) ′＝cu′. 例：(3x2)′＝6x．
2．[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．例：(x3＋x2)′＝3x2＋2x．

【典型例题】
【例1】．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）由基本初等函数的导数结合导数的运算法则求解即可；
（2）由基本初等函数的导数结合导数的运算法则求解即可；
（3）由基本初等函数的导数结合导数的运算法则求解即可；
（1）
因为，所以；
（2）
因为，所以；
（3）
因为，所以
【例2】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
由基本初等函数的导数结合导数的运算法则逐一求解即可
（1）
因为，所以；
（2）
因为，所以；
（3）
因为，所以
【例3】求下列函数的极值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算进行计算.
（1）
，则
（2）
，，则
（3）
，则
【例4】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（，且）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（，且）．
【分析】
根据初等函数的导数公式和导数的四则运算，准确运算，即可求解.
【详解】
（1）根据导数的运算法则，可得；
（2）由，
根据导数的运算法则，可得；
（3）由，根据导数的运算法则，可得；
（4）根据导数的运算法则，可得（，且）．
【例5】求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3），
（4）
【答案】（1）；（2）；（3），；（4）；【分析】
根据导数的四则运算法则，分别求解导数.
【详解】
（1）由，则；
（2）由，则；
（3）由，，则，；
（4）由，则；
【例6】求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】(1) (2) (3) (4) (5)
【分析】
（1）由 运算即可；
（2）由 运算即可；
（3）由，结合运算即可；
（4）由，结合运算即可；
（5）由运算即可；



Ø 二、积的导数运算
[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．例：(xex)′＝ex＋xex．

【典型例题】
【例1】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案.
（1）
解：.
（2）
解：.
（3）
解：.
【例2】求下列函数的导数
（1）
（2）；

【答案】
（1）
（2）

【例3】求下列函数的导数
（1）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
（2）.

【答案】
（1）法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
法二：由(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
（2）因，所以.

Ø 三、商的导数运算
′＝[v(x)≠0]．
例：′＝．

【典型例题】
【例1】求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
根据导数的除法运算结合基本初等函数的导数公式即可求出答案.
（1）
解：.
（2）
解：.
（3）
解：.

【例2】求下列函数的导数
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）根据分式型函数的求导法则即可得解；
（2）将函数看成乘积型，利用乘积型函数求导法则和复合函数求导法则即可得解.
【详解】
（1）；
（2）

【例3】求下列函数的导数.
（1） .
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）函数的导数：.
（2）由，则
（3）由导数的除法运算法则，结合指数函数与三角函数求导公式可得
.



Ø 四、复合函数的导数运算
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【典型例题】
【例1】求下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）；
（4）
（5）
（6）．
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】
直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．
（1）
解：，；
（2）
解：因为，所以
（3）
解：因为，所以
（4）
解：因为，所以
（5）
解：因为，所以
（6）
解：因为，所以


【例2】求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；
（2）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果；
（3）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则即可求出结果.
（1）
函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得.
（2）
函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
.
（3）
函数可以看作函数和的复合函数，
由复合函数的求导法则可得
.


Ø 五、求导技巧与解导数方程和不等式
1. 利用x=0的特殊因式计算，如例题1
2. 类比例1，观察需要整体化求导得因式，如例题2
3. 导数值方程，如例题3
4. 导数不等式，如例题4
5. 利用导数定义和求导公式计算极限，如例题5和6
6. 构造函数求导，如例题8

【典型例题】
【例1】函数在处的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，可得出，进而可求得结果.
【详解】
设，则），
所以．
故选：B.
【例2】若函数，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】
构造函数，再用积的求导法则求导计算得解.
【详解】
令，则，
求导得：，
所以.故选：A
【例3】已知函数，若，则等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
求出函数的导数，得到关于的方程，求出的值即可．
【详解】
由题得，∵，
∴，解得.故选：B.
【例4】已知是函数的导函数，对于任意，都有，则不等式的解集为（ ）
【答案】
【分析】
首先构造函数，利用导函数求出的解析式，即可求解不等式．
【详解】
令，则，可设，，
所以解不等式，即，所以
解得，所以不等式的解集为
【例5】设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由导数的定义可得，结合函数的解析式求出函数的导数，再代值计算即可．
【详解】
解：因为
所以，所以，即
所以故选：D
【例6】已知函数，若，则（ ）
A．36 B．12 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.
【详解】
解：根据题意，，则，则，
若，则
，
则有，即，故选：C.
【例7】已知是上的可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由直线的方程求出切点处的导数值，再求出切点处的函数值，结合导数的运算法则即可求出的值.
【详解】
因为直线是曲线在处的切线，所以.
因为，
【例8】已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将已知等式变为，令，根据可知，由可确定解析式，并得到；根据的表达式，在和两种情况下，结合对号函数的值域可确定最终结果.
【详解】
由得：，即，
令，则，（为常数），
，，又，，，则，
；
当时，；
当时，，，，则，
即；综上所述：.故选：A.
【例9】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将多项式函数整理，对求导，即可容易得到结果.
【详解】
因为，故可得，
故可得，则；
，则.
故选：A.

Ø 六、求导计算求参与导数值
1. 简单的含参求导。如例题1
2. 切线含双参，如例题2和3
7. 待定系数法求参，如例题4
8. 导函数的图像求参,如例题5和6
9. 导数值为系数求值，如例题7
10. 和数列结合，如例题8

【典型例题】
【例1】设，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
【例2】已知函数(，，且)的图像在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先对函数求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.
【详解】
由求导得：，
而函数的图像在点处的切线方程为，，
因点在直线上，即，于是得，
因此有：，解得，所以.故选：D
【例3】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】
求出函数在切点处的导数，根据导数的几何意义即可求解.
【详解】
.当时，，即切线斜率，由切线与直线平行可得所以.故选：A
【例4】若函数（）的导函数，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
根据求导公式与求导法则求出函数导数，结合已知即可求解.
【详解】
由，知.又，
所以，，从而.故选：C
【例5】下列图象中，有一个是函数（，且）的导函数的图象，则（ ）

A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象．
【详解】
，导函数的图象开口向上．又，
不是偶函数，其图象不关于y轴对称，其图象必为③，由图象特征知，
且对称轴，．故．故选：B．
【例6】函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）

A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】B
【分析】
求得，，根据①②③④中的图象分析、、的符号，由此可得出合适的选项.
【详解】
易知，则．
由①②中函数的图象得，
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向下，此时①②均不符合要求；
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；
由③④中函数的图象得，
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；
若，则，此时，，
又，所以的图象开口向上，此时③④均不符合要求．
综上，②③符合题意，
故选：B．
【例7】已知函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求导，求得，进而得到求解.
【详解】
∵，∴，∴，
∴，故选：A
【例8】已知函数的导数，则数列的前项和是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数求得、的值，然后利用裂项求和法可求得数列的前项和.
【详解】
，，则，得，
，，
因此，数列的前项和.
故选：C.


Ø 七、求导运算与函数结合。
1. 切线条数和导函数根的关系。如例题1
2. 导函数的对称性，如例题2
3. 原函数和导函数的奇偶性规律，如例题3
4. 函数图像交点和零点，如例题4
5. 与三角函数结合，化简求值，如例题5

【典型例题】
【例1】已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【分析】
设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.
【详解】
设切点为A，直线AP的斜率为k,则，又，，
∴ 又方程的判别式为，且，
∴ 方程有两个不同的解，∴ 曲线过点的切线有两条，故选：C.
【例2】已知函数，是函数的导数，且函数的图象关于直线对称，若在上恒成立，则实数n的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依题意可得，因为的图象关于直线对称，求得的值，再根据在上恒成立，分离参数，构造新的函数，根据新函数的最值即可得出答案.
【详解】
解：依题意可得，
因为的图象关于直线对称，
所以，解得，故，因为在，上恒成立，即，
所以在，上恒成立，令，则函数在，上单调递减，
所以函数在，上的最大值为，所以，故实数的取值范围为．
故选：C．
【例3】已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2021 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】
对函数进行求导得为偶函数，从而将式子化简成求的值；
【详解】
因为，所以为偶函数，
所以，
所以原式，
故选：B.
【例4】已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．0个
【答案】B
【分析】
根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可.
【详解】
，∴，，∵代入，得，∴.或，；，如图所示，

函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，
故选：B
【例5】已知函数,且,其中是的导函数，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：求出原函数的导函数，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx与cosx的关系，同时求出tanx的值，化简要求解的分式，最后把tanx的值代入即可．
详解：因为函数f（x）=sinx-cosx，所以f′（x）=cosx+sinx，
由f′（x）=2f（x），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx，即3cosx=sinx，
所以.
所以=.
故答案为A.
点睛：（1）本题主要考查求导和三角函数化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化计算能力.(2)解答本题的关键是=
.这里利用了“1”的变式，1=.