2021-2022学年福建省龙岩市长汀县新桥中学、河田中学、龙宇中学三校高二（上）期中数学（无答案）

这是一份2021-2022学年福建省龙岩市长汀县新桥中学、河田中学、龙宇中学三校高二（上）期中数学（无答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年福建省龙岩市长汀县新桥中学、河田中学、龙宇中学三校高二（上）期中数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．4x+2y＝5 B．4x﹣2y＝5 C．x+2y＝5 D．x﹣2y＝5
2．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝（　　）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
3．（5分）方程x2+y2＝1（xy＜0）的曲线形状是（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　）

A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α2＜α3＜α1
5．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B． C．k≥2或 D．k≤2
6．（5分）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法不正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1∥l2，则a＝1或﹣3
C．若l1⊥l2，则a＝0或2
D．当a＞0时，l1始终不过第三象限
7．（5分）数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5、a8、a12是等比数列{bn}相邻的三项，若b2＝4，则bn＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度为，则圆M与圆N：x2+y2﹣6x﹣12y﹣4＝0的位置关系是（　　）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
二、多选题（每题5分，共20分。选错得0分，选不全得2分，全对得5分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0相互垂直
D．经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0
（多选）10．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（4，﹣3）
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
（多选）11．（5分）设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，则下列结论正确的是（　　）
A．d＜0 B．a9＝0
C．S11＞S7 D．S8、S9均为Sn的最大值
（多选）12．（5分）平行于直线x+2y+1＝0且与圆x2+y2＝4相切的直线的方程可能是（　　）
A．x+2y+5＝0 B．x+2y+20 C．2x﹣y+5＝0 D．x+2y﹣20
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）两圆x2+y2﹣2＝0，x2+y2﹣x﹣y＝0相交于M，N两点，则公共弦MN所在的直线的方程是　 　．（结果用一般式表示）
14．（5分）已知直线l1：x﹣2my+3＝0，直线l2的方向向量为（1，2），若l1⊥l2，则m的值为　 　．
15．（5分）设各项均不为0的数列{an}满足（n∈N+），数列{an}的前n项和为Sn，若a2•a4＝2a5，则S4＝　 　．
16．（5分）已知直线l：mx+y+m﹣1＝0（m∈R）过定点P，则点P的坐标是　 　，点P关于直线x+y﹣2＝0的对称点Q的坐标是　 　．
四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知直线l1：3x+y+2＝0与直线l2：x+2y﹣1＝0的交点为M，求经过点M且满足下列条件的直线l的方程：（方程结果用一般式表示）
（1）与直线2x+y+5＝0平行；
（2）与直线3x+2y﹣4＝0垂直．
18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线ax﹣y+5＝0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知数列{an}满足：an≠1，an+1＝2（n∈N*），数列{bn}中，bn，且b1，b2，b4成等比数列；
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）Sn是数列{bn}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn．
20．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝2x上，且与直线l：x+y+1＝0相切于点P（﹣1，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3＝15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
22．（12分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1+k＝0．
（1）求k的取值范围．
（2）若此圆与直线x+y﹣3＝0相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求k的值．

2021-2022学年福建省龙岩市长汀县新桥中学、河田中学、龙宇中学三校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题5分，共40分）
1．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．4x+2y＝5 B．4x﹣2y＝5 C．x+2y＝5 D．x﹣2y＝5
【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．
【解答】解：线段AB的中点为，kAB，
∴垂直平分线的斜率 k2，
∴线段AB的垂直平分线的方程是 y2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5＝0，
故选：B．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
2．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝（　　）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．
【解答】解：∵a4＝a1+6，a3＝a1+4，a1，a3，a4成等比数列，
∴a32＝a1•a4，
即（a1+4）2＝a1×（a1+6），
解得a1＝﹣8，
∴a2＝a1+2＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．
3．（5分）方程x2+y2＝1（xy＜0）的曲线形状是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】方程x2+y2＝1（xy＜0）表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分，即可得到结论．
【解答】解：方程x2+y2＝1（xy＜0）表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分，故选C．
【点评】本题考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
4．（5分）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　）

A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α2＜α3＜α1
【分析】由题意，利用直线的倾斜角和斜率的定义，数形结合，可得结论．
【解答】解：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，
∵k1＜0，k2＞k3＞0，∴α1为钝角，α2，α3为锐角，且α2＞α3，
∴k1＜k3＜k2，且α1＞α2＞α3，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．
5．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）
A． B． C．k≥2或 D．k≤2
【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【解答】解：直线PA的斜率k2，直线PB的斜率k′，
结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k．
故选：C．

【点评】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．
6．（5分）已知直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，下列说法不正确的是（　　）
A．l2始终过定点
B．若l1∥l2，则a＝1或﹣3
C．若l1⊥l2，则a＝0或2
D．当a＞0时，l1始终不过第三象限
【分析】A选项可以通过代入法进行验证；B选项，由两直线平行的充要条件“l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0“，进行判定；C选项，由两直线垂直的充要条件“l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0“进行判定；D将直线的方程变形为斜截式，然后利用一次函数的性质进行判定．
【解答】A选项：将点代入直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，
可得，由此可得，直线l2恒过定点，故选项A正确；
B选项：由两直线平行的充要条件“l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0“，可知，
因为直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，
所以由上可得，若l1∥l2，则1•[﹣（2a﹣3）]﹣a•a＝0，
即a2+2a﹣3＝0⇒a＝﹣3，或a＝1，故选项B正确；
C选项：由两直线垂直的充要条件“l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0“，可知，
因为直线l1：x+ay﹣a＝0和直线l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1＝0，
所以由上可得，若l1⊥l2，则1•a+a•[﹣（2a﹣3）]＝0，
即2a2﹣4a＝0⇒a＝0，或a＝2，故选项C正确；
D选项：当a＝0时，直线l1：x＝0，即此时直线l1与y轴重合，始终不过第三象限，
当a≠0时，将直线l1：x+ay﹣a＝0变形可得，，则由一次函数的性质，
可得直线恒过点（0，1），则有当，即当a＞0时，直线l1恒过一、二、四象限，
综上可得，当a≥0时，l1始终不过第三象限，故选项D不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查两直线位置关系的判定，以及直线恒过定点的问题，属于基础题．
7．（5分）数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5、a8、a12是等比数列{bn}相邻的三项，若b2＝4，则bn＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据所给的三项是等差数列的三项，用第五项和公差表示出三项，再由这三项是等比数列的相邻的三项，写出等式，求出第五项和公差的关系，求出等比数列的公比，写出等比数列的通项．
【解答】解：∵{an}是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a12是等比数列{bn}的相邻三项．
∴（a5+3d）2＝a5（a5+7d），
∴a5＝9d，则q，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式与性质，是中档题．
8．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度为，则圆M与圆N：x2+y2﹣6x﹣12y﹣4＝0的位置关系是（　　）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
【分析】首先通过已知条件求得a，然后根据两个圆的位置关系确定正确选项．
【解答】解：圆M的圆心为M（0，a），半径为r1＝a，a＞0，
圆心M（0，a）到直线x+y＝0的距离为，
所以，
所以M（0，2），r1＝2．
圆N的圆心为N（3，6），半径r2＝7，
|MN|＝5＝r2﹣r1，
所以两个圆的位置关系是内切．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
二、多选题（每题5分，共20分。选错得0分，选不全得2分，全对得5分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为
C．直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0相互垂直
D．经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0
【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是4×4＝8，故A正确；
当x2＝x1 或y2＝y1 时，式子 无意义，故B不正确；
线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，故C正确；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查直线方程的应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，则下列说法中正确的是（　　）
A．圆M的圆心为（4，﹣3）
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
【分析】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项即可．
【解答】解：圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y＝0，
则（x﹣4）2+（y+3）2＝25．
圆的圆心坐标（4，﹣3），半径为5．
显然选项C不正确．ABD均正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查圆的方程的应用，基本知识的考查．
（多选）11．（5分）设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，则下列结论正确的是（　　）
A．d＜0 B．a9＝0
C．S11＞S7 D．S8、S9均为Sn的最大值
【分析】由题意可得数列的前8项为负数，第9项为0，从第10项开始为正数，各个选项验证可得答案．
【解答】解：由题意和等差数列的性质可得等差数列{an}单调递减，
且数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，
故A、B正确，选项D也正确，
∵S8＝S9，
∴8a1+28d＝9a1+36d，
∴a1+8d＝0，
选项C，S11﹣S7＝11a1+55d﹣7a1﹣21d＝2d＜0，∴S11＜S7，故C错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的单调性，属基础题．
（多选）12．（5分）平行于直线x+2y+1＝0且与圆x2+y2＝4相切的直线的方程可能是（　　）
A．x+2y+5＝0 B．x+2y+20 C．2x﹣y+5＝0 D．x+2y﹣20
【分析】根据题意，设要求直线x+2y+m＝0，分析圆的圆心与半径，由直线与圆相切的性质可得d2，解可得m的值，将m的值代入即可得直线的方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求直线x+2y+m＝0，
圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
则有d2，解可得：m＝±2，
即要求直线的方程为x+2y±20；
故选：BD．
【点评】本题考查直线与圆相切的性质，涉及直线平行的性质，属于基础题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）两圆x2+y2﹣2＝0，x2+y2﹣x﹣y＝0相交于M，N两点，则公共弦MN所在的直线的方程是　x+y﹣2＝0　．（结果用一般式表示）
【分析】因为两圆相交，故公共弦方程直接用两圆的方程相减即可．
【解答】解：∵两圆x2+y2﹣2＝0，x2+y2﹣x﹣y＝0相交于M，N两点，
∴公共弦所在直线方程为x2+y2﹣2﹣（x2+y2﹣x﹣y），即x+y﹣2＝0，
故答案为：x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查了圆的公共弦的方程的求法，考查分析解决问题的能力和计算能力，本题属于基础题．
14．（5分）已知直线l1：x﹣2my+3＝0，直线l2的方向向量为（1，2），若l1⊥l2，则m的值为　﹣1　．
【分析】由直线l2的方向向量求出其斜率，由直线l1的方程求出l1的斜率，由斜率之积等于﹣1求出m的值．
【解答】解：由直线l2的方向向量为（1，2），知直线l2的斜率为2，
若l1⊥l2，则l1：x﹣2my+3＝0的斜率存在，且等于，即，所以，m＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．
15．（5分）设各项均不为0的数列{an}满足（n∈N+），数列{an}的前n项和为Sn，若a2•a4＝2a5，则S4＝　6（）　．
【分析】由已知结合等比数列的定义可求公比，然后结合等比数列的通项公式及求和公式可求．
【解答】解：因为各项均不为0的数列{an}满足（n∈N+），
数列{an}为等比数列，公比q，
若a2•a4＝2a5，则2a1•q4，
所以a1＝2，
S46（）．
故答案为：6（）．
【点评】本题主要考查了等比数列的定义，性质及求和公式，属于基础题．
16．（5分）已知直线l：mx+y+m﹣1＝0（m∈R）过定点P，则点P的坐标是　（﹣1，1）　，点P关于直线x+y﹣2＝0的对称点Q的坐标是　（1，3）　．
【分析】先把直线l的方程分离参数，再令参数的系数等于零，求出xy的值，可得它经过的定点坐标．设出对称点坐标，根据垂直、以及中点在轴上，求出对称点坐标．
【解答】解：直线l：mx+y+m﹣1＝0（m∈R），即 m（x+1）+y﹣1＝0，令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝1，
可得它经过定点P（﹣1，1）．
设点P关于直线x+y﹣2＝0的对称点Q的坐标是（m，n），
则，求得，可得Q（1，3），
故答案为：（﹣1，1）；（1，3）．
【点评】本题主要考查直线经过定点问题，求一个点关于直线的对称点，属于中档题．
四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知直线l1：3x+y+2＝0与直线l2：x+2y﹣1＝0的交点为M，求经过点M且满足下列条件的直线l的方程：（方程结果用一般式表示）
（1）与直线2x+y+5＝0平行；
（2）与直线3x+2y﹣4＝0垂直．
【分析】（1）联立方程组，求出M（﹣1，1），设与直线2x+y+5＝0平行的直线为2x+y+c＝0，把M（﹣1，1）代入能求出结果．
（2）设与直线3x+2y﹣4＝0垂直的直线方程为2x﹣3y+c＝0，把M（﹣1，1）代入能求出结果．
【解答】解：（1）直线l1：3x+y+2＝0与直线l2：x+2y﹣1＝0的交点为M，
联立方程组，得x＝﹣1，y＝1，∴M（﹣1，1），
设与直线2x+y+5＝0平行的直线为2x+y+c＝0，
把M（﹣1，1）代入得c＝1，
∴与直线2x+y+5＝0平行的直线为2x+y+1＝0，
（2）设与直线3x+2y﹣4＝0垂直的直线方程为2x﹣3y+c＝0，
把M（﹣1，1）代入得c＝5，
∴与直线3x+2y﹣4＝0垂直的直线方程为2x﹣3y+5＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线ax﹣y+5＝0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意圆心在x轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心M的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d与半径r相等，列出关于m的不等式，求出不等式的解即可得到m的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；
（2）假设符合条件的实数a存在，由a不为0，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由直线ax﹣y+5＝0的斜率表示出直线l方程的斜率，再由P的坐标和表示出的斜率表示出直线l的方程，根据直线l垂直平分弦AB，得到圆心M必然在直线l上，所以把M的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入确定出直线l的方程，经过检验发现直线ax﹣y+5＝0与圆有两个交点，故存在．
【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，
所以，即|4m﹣29|＝25．
即4m﹣29＝25或4m﹣29＝﹣25，
解得m或m＝1，
因为m为整数，故m＝1，
故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2＝25；
（2）设符合条件的实数a存在，
∵a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2﹣4a＝0，解得．
经检验时，直线ax﹣y+5＝0与圆有两个交点，
故存在实数，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质．要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．根据直线l垂直平分弦AB得到圆心M必然在直线l上是解本题第二问的关键．
19．（12分）已知数列{an}满足：an≠1，an+1＝2（n∈N*），数列{bn}中，bn，且b1，b2，b4成等比数列；
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）Sn是数列{bn}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn．
【分析】（1）将递推式两边减1，取倒数，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）由等比数列的中项性质，以及等差数列的求和公式，可得2（），再由裂项相消求和，化简可得所求和．
【解答】解：（1）证明：an≠1，an+1＝2（n∈N*），
可得an+1﹣1＝1，
1，
即有bn+1＝1+bn，
可得{bn}是公差为1的等差数列；
（2）b1，b2，b4成等比数列，可得b22＝b1b4，
可得（b1+1）2＝b1（b1+3），解得b1＝1，
即Sn＝nn（n﹣1），
可得2（），
则前n项和Tn＝2（1）
＝2（1）．
【点评】本题考查等差数列的定义和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知圆C的圆心在直线y＝2x上，且与直线l：x+y+1＝0相切于点P（﹣1，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．
【分析】（I）根据题意，可得圆心C（a，b）满足b＝a+1且b＝2a，解出a＝1且b＝2．直线l与圆相切，由点到直线的距离公式算出半径r，从而可得圆C的方程；
（II）设M（x，y）、B（x0，y0），由中点坐标公式算出x0＝2x﹣1且y0＝2y，代入圆C方程化简即可得到M的轨迹，表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（a，b）半径为r，则有b＝2a，…（1分）
又∵C落在过P且垂直于l的直线y＝x+1上，…（3分）
∴b＝a+1，解得a＝1，b＝2，从而r（5分）
∴圆C方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8…（6分）
（Ⅱ）设M（x，y），B（x0，y0），则有，，…（8分）
解得x0＝2x﹣1，y0＝2y，代入圆C方程得：（2x﹣2）2+（2y﹣2）2＝8，…（10分）
化简得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2…（11分）
表示以（1，1）为圆心，为半径的圆．…（12分）
【点评】本题给出圆C满足的条件，求圆的方程并依此求动点M的轨迹方程．着重考查了轨迹方程的求法、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3＝15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．
【分析】本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式an+1＝2Sn+1构造出an＝2Sn﹣1+1两者作差得出an+1＝3an，此处是的难点，数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d，即可，
（II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用．
【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，an+1＝2Sn+1（n∈N*），
∴an＝2Sn﹣1+1（n∈N*，n＞1），
∴an+1﹣an＝2（Sn﹣Sn﹣1），
∴an+1﹣an＝2an，
∴an+1＝3an（n∈N*，n＞1）（2分）
而a2＝2a1+1＝3＝3a1，
∴an+1＝3an（n∈N*）
∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴an＝3n﹣1（n∈N*）（4分）
∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，
在等差数列{bn}中，
∵b1+b2+b3＝15，
∴b2＝5．
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，
∴（1+5﹣d）（9+5+d）＝64（6分）
解得d＝﹣10，或d＝2，
∵bn＞0（n∈N*），
∴舍去d＝﹣10，取d＝2，
∴b1＝3，
∴bn＝2n+1（n∈N*），（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Tn＝3×1+5×3+7×32++（2n﹣1）3n﹣2+（2n+1）3n﹣1①
3Tn＝3×3+5×32+7×33++（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n②（10分）
①﹣②得﹣2Tn＝3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣（2n+1）3n（12分）
＝3+2（3+32+33++3n﹣1）﹣（2n+1）3n
，
∴Tn＝n•3n（14分）
【点评】本题技巧性较强，是数列中的一道难度较高的题，对答题者基础知识与基本技能要求较高，是用来提高学生数列素养的一道好题
22．（12分）已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1+k＝0．
（1）求k的取值范围．
（2）若此圆与直线x+y﹣3＝0相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求k的值．
【分析】（1）由方程x2+y2﹣2x﹣4y+1+k＝0配方为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4﹣k．由于此方程表示圆，可得4﹣k＞0，解出即可；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．与圆的方程联立可得根与系数关系，再利OM⊥ON得y1y2+x1x2＝0，即可解出k．
【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x﹣4y+1+k＝0，
可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4﹣k，
∵此方程表示圆，
∴4﹣k＞0，即k＜4．…（4分）
（2），
消去x得2（y﹣2）2＝4﹣k，解得：y＝2±，
则k＜4，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，由OM⊥ON得y1y2+x1x2＝0，
即y1y2+（3﹣y1）（3﹣y2）＝0，
∴4+k+9﹣12＝0，
解之得：k＝﹣1，符合题意．…（12分）
【点评】本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
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