北师大数学初二上册-期末复习专题2-实数

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专题2--实数
一．选择题（共19小题）
1．下列各式不成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝﹣3 D．（）2＝
2．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（　　）
A．1 B．4 C．3 D．2
3．下列各数是无理数的是（　　）
A． B．0.6 C． D．
4．在实数4.，，3.14，π，，2.101001000，中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣6 B．x≤﹣6 C．x＞﹣6 D．x＜﹣6
6．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．下列式子中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
8．一列数按如下规律排：…则第10个数是（　　）
A． B． C． D．
9．在实数0、﹣、、﹣2中，最小的是（　　）
A．0 $ B． C． D．﹣2
10．一个正方体的体积为63，则它的棱长a的取值范围是（　　）
A．3＜a＜4 B．4＜a＜5 C．7＜a＜8 D．8＜a＜9
11．0的平方根是（　　）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
12．若2+可以合并为一项，则n可以是（　　）
A．9 B．18 C．27 D．54
13．已知y＝+﹣3，则xy＝（　　）
A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15
14．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
15．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
16．定义新运算“※”的运算法则为：当a＞0，b＞0时，．例如：．那么2×（4※6）的值是（　　）
A．8 B．48 C． D．
17．下列判断正确的是（　　）
A．0.25的平方根是0.5 B．﹣7是﹣49的平方根
C．只有正数才有平方根 D．a2的平方根为±a
18．下列说法正确的是（　　）
A．1的平方根是1 B．4的算术平方根是2
C．±2是4的立方根 D．0无立方根
19．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b的立方根是2，则2a+b的平方根是（　　）
A． B． C．±3 D．
二．填空题（共6小题）
20．当x＝1+时，代数式x2﹣2x+2020的值是 　 　．
21．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简＝　 　．

22．已知一个正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，则a＝　 　．
23．若，，则x2﹣y2＝　 　．
24．已知a＝+1，b＝﹣1，则式子的值为 　 　．
25．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 　 　．
三．解答题（共35小题）
26．计算：
（1）+﹣（﹣1）0．
（2）设6﹣的整数部分为a，小数部分为b，求（2a+）b的值．

27．计算：（﹣1）2022+（﹣2）3×﹣×（﹣）．
28．计算：．
29．+（﹣3）﹣（）2．
30．化简：计算：×+（+1）×．
31．计算：．
32．计算：﹣+|﹣2|+．
33．计算：2（﹣）+6﹣（2﹣）（+2）．
34．计算：++|﹣3|﹣（2﹣）．
35．．
36．
37．计算：．
38．计算：
（1）3；
（2）（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）2．
39．计算：．
40．计算：．
41．计算：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0．
42．计算：．
43．计算：﹣22﹣（+8）÷﹣|﹣3|．
44．计算．
45．计算：．
46．计算：
（1）﹣+6×；
（2）（﹣×）÷．
47．计算：
（1）﹣+；
（2）（﹣1）2022+|﹣2|+2．
48．计算题
（1）；
（2）．
49．计算：
（1）（+）（﹣）﹣；
（2）|﹣|﹣（4﹣π）0﹣÷+（）﹣1．
50．计算：
（1）2；
（2）÷+|1﹣|﹣．
51．计算：
（1）2﹣+；
（2）（﹣）÷﹣2．
52．计算：
（1）+．
（2）﹣2×+|1﹣|．
53．计算：﹣（﹣1）2021﹣+|1﹣|．
54．已知2a+1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+5的算术平方根．

55．已知某正数m的两个不同的平方根是2a﹣3和a﹣12；b﹣1的立方根为﹣2；c是的整数部分．
（1）求这个正数m的值．
（2）求a﹣b+c的平方根．

56．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．

57．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）请你写出3+的有理化因式：　 　；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．

58．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
（1）请写出一个大小在2～3之间的无理数：　 　；
（2）请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点D；
（3）如图，点C表示2，EC＝CF，如果点E表示实数a，求点F表示的实数；
（4）根据（3）的条件，化简：．


59．在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
结论①：若实数a≥0时，＝a；结论②：对于任意实数a，＝|a|．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
（1）若m＜2，化简：+|m﹣3|．
（2）若＝4，|b|＝8，且ab＞0，求a+b的值．
（3）若+|1﹣m|有意义，化简A．

60．请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．

专题2--实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．下列各式不成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝﹣3 D．（）2＝
【分析】根据二次根式的乘除运算、二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、＝×，故A不符合题意．
B、＝，故B不符合题意．
C、原式＝3，故C符合题意．
D、原式＝，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算、二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（　　）
A．1 B．4 C．3 D．2
【分析】通过估算4﹣在哪两个整数之间，从而确定整数部分a＝2，然后用4﹣减去整数部分，得到小数部分b＝2﹣，然后把a和b代入求得数值．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
则﹣2＜﹣＜﹣1，
∴2＜4﹣＜3，
∴4﹣的整数部分a＝2，小数部分b＝4﹣﹣2＝2﹣，
把a＝2，b＝2﹣代入，
（a+）b＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，正确估算无理数在哪两个整数之间是解题的关键．
3．下列各数是无理数的是（　　）
A． B．0.6 C． D．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．0.6是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．＝2，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含有π的，③一些有规律的数，如0.010010001...（两个1之间依次多一个0）等．
4．在实数4.，，3.14，π，，2.101001000，中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：＝﹣2，
无理数有π，，共有2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣6 B．x≤﹣6 C．x＞﹣6 D．x＜﹣6
【分析】根据二次根式（a≥0），可得x+6≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：根据题意得：
x+6≥0，
解得x≥﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
6．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得3x﹣4＞0，
解得，
故选：B．
【点评】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0解题的关键．
7．下列式子中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义：化简后被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝3，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
8．有一列数按如下规律排列：…则第10个数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将这列数据改写成：﹣，，﹣，，﹣，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可．
【解答】解：…可写出：
﹣，，﹣，，﹣，…，
∴第10个数为，
故选：D．
【点评】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．
9．在实数0、﹣、、﹣2中，最小的是（　　）
A．0 $ B． C． D．﹣2
【分析】根据“负数＜0＜正数”，比较﹣2与﹣可得结论．
【解答】解：﹣2＝﹣，
∵﹣2＜﹣＜0＜，
∴四个数中最小的数是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了实数大小比较，掌握实数大小比较的方法是解决本题的关键．
10．一个正方体的体积为63，则它的棱长a的取值范围是（　　）
A．3＜a＜4 B．4＜a＜5 C．7＜a＜8 D．8＜a＜9
【分析】根据立方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵一个正方体的体积为63，
∴其棱长为a＝，
∵＜＜，即3＜＜4，
∴3＜a＜4，
故选：A．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解立方根的定义是正确估算的前提．
11．0的平方根是（　　）
A．0 B．1 C．±1 D．﹣1
【分析】根据平方根的定义解决此题．
【解答】解：∵02＝0，
∴0的平方根是0．
故选：A．
【点评】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
12．若2+可以合并为一项，则n可以是（　　）
A．9 B．18 C．27 D．54
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答．
【解答】解：A、＝3，2与不能合并，故A不符合题意；
B、＝3，2与不能合并，故B不符合题意；
C、＝3，2与可以合并为一项，故C符合题意；
D、＝3，2与不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式，准确熟练地把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
13．已知y＝+﹣3，则xy＝（　　）
A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x﹣5＝0，进而得出y的值，求出答案即可．
【解答】解：∵y＝+﹣3，
∴，
∴x﹣5＝0，
解得：x＝5，
∴y＝﹣3，
故xy＝5×（﹣3）＝﹣15．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
14．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9＝18，
则大正方形的边长为：，
∵＜＜，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．
15．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【分析】先估算的值，即可判断．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
∴2＜﹣1＜3，
∴数轴上表示实数﹣1的点可能是点Q，
故选：B．
【点评】本题考查了实数，实数与数轴，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的值是解题的关键．
16．定义新运算“※”的运算法则为：当a＞0，b＞0时，．例如：．那么2×（4※6）的值是（　　）
A．8 B．48 C． D．
【分析】直接利用已知运算公式计算，进而得出答案．
【解答】解：2×（4※6）
＝2×
＝2×4
＝8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确运用公式是解题关键．
17．下列判断正确的是（　　）
A．0.25的平方根是0.5 B．﹣7是﹣49的平方根
C．只有正数才有平方根 D．a2的平方根为±a
【分析】直接利用平方根的定义进而分析得出答案．
【解答】解：A、0.25的平方根是±0.5，故此选项错误；
B、﹣7是49的平方根，故此选项错误；
C、正数和0都有平方根，故此选项错误；
D、a2的平方根为±a，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
18．下列说法正确的是（　　）
A．1的平方根是1 B．4的算术平方根是2
C．±2是4的立方根 D．0无立方根
【分析】根据平方根与算术平方根和立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、因为±1的平方是1，所以1的平方根是±1，故本选项错误；
B、因为2的平方是4，所以4的算术平方根是2，故本选项正确；
C、±2是4的平方根，不是立方根，故本选项错误；
D、0的立方是0，0是0的立方根，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根与算术平方根和立方根的概念，是基础题，熟记概念是解题的关键．
19．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b的立方根是2，则2a+b的平方根是（　　）
A． B． C．±3 D．
【分析】利用算术平方根，平方根和立方根的性质可求解．
【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，a＝5，
∵3a+b的立方根是2，
∴3a+b＝8，
∴b＝﹣7，
∴2a+b＝10﹣7＝3，
∴2a+b的平方根是±．
故选：D．
【点评】本题运用了算术平方根，平方根和立方根的性质，关键计算要准确．
二．填空题（共6小题）
20．当x＝1+时，代数式x2﹣2x+2020的值是 　2022　．
【分析】把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当x＝1+时，
x2﹣2x+2020
＝（x﹣1）2+2019
＝（1+）2+2019
＝（）2+2019
＝3+2019
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
21．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简＝　2﹣a　．

【分析】由公式＝|a|化简即可．
【解答】解：由图可知，a＜2，
∴
＝|a﹣2|
＝2﹣a，
故答案为：2﹣a．
【点评】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握公式＝|a|．
22．已知一个正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，则a＝　3　．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
（3a﹣14）+（a+2）＝0，
解得a＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了实数平方根知识的应用能力，关键是能准确理解并运用相关知识．
23．若，，则x2﹣y2＝　4　．
【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝[+1+（﹣1）][+1﹣（﹣1）]
＝2×2
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
24．已知a＝+1，b＝﹣1，则式子的值为 　1　．
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握因式分解是解题的关键．
25．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 　3　．
【分析】利用同类二次根式定义：两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的，判断即可．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，＝3，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
三．解答题（共35小题）
26．计算：
（1）+﹣（﹣1）0．
（2）设6﹣的整数部分为a，小数部分为b，求（2a+）b的值．
【分析】（1）根据二次根式的除法，化简二次根式，零指数幂即可得出答案；
（2）估算无理数的大小，求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：（1）原式＝+3﹣1
＝2+3﹣1
＝1+3；
（2）∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴2＜6﹣＜3，
∴a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，
∴原式＝（4+）×（4﹣）
＝16﹣10
＝6．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，零指数幂，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
27．计算：（﹣1）2022+（﹣2）3×﹣×（﹣）．
【分析】首先计算乘方、开平方、开立方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（﹣1）2022+（﹣2）3×﹣×（﹣）
＝1+（﹣8）×﹣（﹣3）×（﹣）
＝1+（﹣1）﹣1
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
28．计算：．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣3+﹣1
＝﹣2+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
29．+（﹣3）﹣（）2．
【分析】先化简，然后合并同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：+（﹣3）﹣（）2
＝3+3﹣3﹣5
＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
30．化简：计算：×+（+1）×．
【分析】先算乘法，再算加减．
【解答】解：原式＝2+3+
＝3+3．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
31．计算：．
【分析】原式利用算术平方根定义，乘方的意义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣1+2
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
32．计算：﹣+|﹣2|+．
【分析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝5﹣+2﹣﹣2
＝5﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
33．计算：2（﹣）+6﹣（2﹣）（+2）．
【分析】先利用乘法运算，再利用平方差公式计算，然后化简即可．
【解答】解：原式＝2﹣2+2﹣（4﹣3）
＝2﹣2+2﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
34．计算：++|﹣3|﹣（2﹣）．
【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2+3﹣﹣2+
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
35．．
【分析】先算被开方数，再化简二次根式，最后加减．
【解答】解：原式＝﹣1+3﹣×4
＝﹣1+3﹣×4
＝﹣1+3﹣6
＝﹣4．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
36．
【分析】根据乘方的运算、立方根的性质、二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣3﹣2×3
＝﹣4﹣6
＝﹣10．
【点评】本题考查乘方的运算、立方根的性质、二次根式的性质，本题属于基础题型．
37．计算：．
【分析】先化简，再算加减即可．
【解答】解：
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
38．计算：
（1）3；
（2）（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）2．
【分析】（1）先化简，再算加减即可；
（2）利用平方差公式，完全平方公式进行运算，再算加减即可．
【解答】解：（1）3
＝3
＝；
（2）（1﹣2）（1+2）﹣（﹣1）2
＝1﹣12﹣（3﹣2+1）
＝1﹣12﹣3+2﹣1
＝2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
39．计算：．
【分析】先算乘方，化为最简二次根式，算除法，最后合并同类二次根式．
【解答】解：原式＝（+）﹣×8
＝+﹣2
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
40．计算：．
【分析】原式利用二次根式乘除法则计算，合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝×﹣2×﹣12×+3
＝3﹣6﹣6+3
＝﹣6．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
41．计算：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：5﹣1÷5﹣3+（﹣1）2022﹣（）﹣1+（3.14﹣π）0
＝52+1﹣2+1
＝25．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
42．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝××（2﹣）﹣2+
＝2﹣﹣2+
＝0．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，立方根的定义是解题的关键．
43．计算：﹣22﹣（+8）÷﹣|﹣3|．
【分析】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：﹣22﹣（+8）÷﹣|﹣3|
＝﹣4﹣（﹣2+8）÷6﹣（3﹣）
＝﹣4﹣6÷6﹣3+
＝﹣4﹣1﹣3+
＝﹣8+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
44．计算．
【分析】先进行二次根式的化简运算，绝对值运算，平方差运算，最后进行加减运算即可．
【解答】解：
＝3﹣（3﹣）+12﹣4
＝3+12﹣4
＝4+5．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
45．计算：．
【分析】先化简，再进行乘法与除法运算，最后进行加减运算即可．
【解答】解：
＝﹣4×+3
＝4
＝2+3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
46．计算：
（1）﹣+6×；
（2）（﹣×）÷．
【分析】（1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣4+2
＝3﹣4；
（2）原式＝2﹣
＝﹣
＝5﹣3
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
47．计算：
（1）﹣+；
（2）（﹣1）2022+|﹣2|+2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣+
＝8﹣3+（﹣3）
＝8﹣3﹣3
＝2；
（2）（﹣1）2022+|﹣2|+2
＝1+2﹣+2
＝3+．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
48．计算题
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；
（2）按照运算顺序，先算乘除，后算加减，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝3+（﹣2）
＝1；
（2）
＝9﹣2﹣（2+3）
＝7﹣5
＝2．
【点评】本题考查了平方差公式，二次根式混合运算，按照运算顺序进行计算是解题的关键．
49．计算：
（1）（+）（﹣）﹣；
（2）|﹣|﹣（4﹣π）0﹣÷+（）﹣1．
【分析】（1）利用平方差公式计算乘法，化简二次根式，然后再算加减；
（2）化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后先算除法，再算加减．
【解答】解：（1）原式＝
＝3﹣2﹣5
＝﹣4；
（2）原式＝
＝3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0），掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
50．计算：
（1）2；
（2）÷+|1﹣|﹣．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先利用二次根式的除法法则和绝对值的意义计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+2﹣
＝4+2﹣2
＝4；
（2）原式＝+﹣1﹣（﹣）
＝4+﹣1﹣2+
＝1+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
51．计算：
（1）2﹣+；
（2）（﹣）÷﹣2．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的除法运算法则化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝6﹣4+
＝3；

（2）原式＝（2﹣2）÷﹣2×
＝2÷﹣2÷﹣
＝﹣2﹣
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
52．计算：
（1）+．
（2）﹣2×+|1﹣|．
【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
【解答】解：（1）+
＝+
＝+
＝+
＝0；
（2）﹣2×+|1﹣|
＝﹣2﹣2×+﹣1
＝﹣2﹣+﹣1
＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，准确熟练地进行化简计算是解题的关键．
53．计算：﹣（﹣1）2021﹣+|1﹣|．
【分析】原式利用算术平方根定义，乘方的意义，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3﹣（﹣1）﹣3+﹣1
＝3+1﹣3+﹣1
＝1+﹣1
＝．
【点评】此题考查了实数的运算，算术平方根、立方根，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
54．已知2a+1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+5的算术平方根．
【分析】根据平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入代数式求值，再求算术平方根即可．
【解答】解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵3a+2b+4的立方根是﹣2，
∴3a+2b+4＝﹣8，
∴12+2b+4＝﹣8，
解得b＝﹣12，
当a＝4，b＝﹣12时，
4a﹣5b+5
＝16+60+5
＝81，
∴4a﹣5b+5的算术平方根为9．
【点评】本题考查了平方根和立方根，算术平方根，根据平方根和立方根的定义求出a，b的值是解题的关键．
55．已知某正数m的两个不同的平方根是2a﹣3和a﹣12；b﹣1的立方根为﹣2；c是的整数部分．
（1）求这个正数m的值．
（2）求a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）先根据题意求出a的值，根据平方根的定义可得m的值；
（2）先根据立方根的定义可得b的值，根据无理数的估算可得c的值，计算a﹣b+c的值，从而可得其平方根．
【解答】解：（1）∵某正数m的两个不同的平方根是2a﹣3和a﹣12，
∴2a﹣3+a﹣12＝0，
∴a＝5，
∴2a﹣3＝10﹣3＝7，
∴m＝72＝49；
（2）∵b﹣1的立方根为﹣2，
∴b﹣1＝（﹣2）3＝﹣8，
∴b＝﹣7，
∵c是的整数部分，且3＜＜4，
∴c＝3，
∴a﹣b+c＝5﹣（﹣7）+3＝15，
∴a﹣b+c的平方根是±．
【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数大小，掌握其定义是关键．
56．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）将a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；
（3）根据平方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
【点评】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键，
57．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）请你写出3+的有理化因式：　3﹣　；
（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据＝，将a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+）（3﹣）＝9﹣11＝﹣2，
∴3﹣是3+的有理化因式，
故答案为：3﹣；
（2）
＝
＝
＝1+；
（3）∵a＝＝﹣﹣2，b＝＝2﹣，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝4．
【点评】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
58．在学习了《实数》一章内容以后我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的．如图，我们想在数轴上找到与无理数对应的点，可以以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示．
（1）请写出一个大小在2～3之间的无理数：　（答案不唯一）　；
（2）请参考上面的方法，在数轴上找出表示无理数的点D；
（3）如图，点C表示2，EC＝CF，如果点E表示实数a，求点F表示的实数；
（4）根据（3）的条件，化简：．

【分析】（1）估算无理数的大小，写出一个答案即可；
（2）利用题中给出的方法画图，确定等腰直角三角形的直角边为3，则斜边＝，再从数轴上画出来即可解决问题；
（3）根据EC＝FC＝2﹣a，可得点F所表示的数；
（4）根据绝对值的意义化简可得答案．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）如图所示，点D即为所求；

（3）∵点C表示2，EC＝CF，如果点E表示实数a，
∴EC＝FC＝2﹣a，
∴点F表示的实数为2+2﹣a＝4﹣a；
（4）由（3）知：0＜a＜2，

＝2﹣a+5+a
＝7．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理，在数轴上表示无理数，绝对值的意义，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
59．在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
结论①：若实数a≥0时，＝a；结论②：对于任意实数a，＝|a|．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
（1）若m＜2，化简：+|m﹣3|．
（2）若＝4，|b|＝8，且ab＞0，求a+b的值．
（3）若+|1﹣m|有意义，化简A．
【分析】（1）根据＝|a|化简，再根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值，合并同类项即可得出答案；
（2）求出a，b的值，根据ab＞0得到a，b同号，分两种情况分别计算即可；
（3）根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，根据若实数a≥0时，＝a化简即可得出答案．
【解答】解：（1）∵m＜2，
∴m﹣2＜0，m﹣3＜0，
∴原式＝|m﹣2|+3﹣m
＝2﹣m+3﹣m
＝5﹣2m；
（2）∵＝4，|b|＝8，
∴|a|＝4，b＝±8，
∴a＝±4，
∵ab＞0，
∴a，b同号，
∴当a＝4，b＝8时，a+b＝4+8＝12；
当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4+（﹣8）＝﹣12；
综上所述，a+b的值为±12；
（3）根据题意得：m﹣2≥0，
∴m≥2，
∴1﹣m＜0，
∴A＝m﹣2+m﹣1
＝2m﹣3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，体现了分类讨论的数学思想，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
60．请阅读下列材料：
问题：已知x＝+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x＝，
∴x2＝（）2＝，
则x3＝x•x2＝×＝﹣2，
∴x3+x2+1＝﹣2++1＝．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
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