北师大数学初二上册-期末复习专题4-一次函数的图像与性质

一次函数的图象与性质

一、函数

1．函数的定义

（1）一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量．

（2）如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．

  *判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应．

2. 定义域（x的取值范围）

定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（x的取值范围）．

【例】函数y=的自变量x的取值范围是（  ）

A．x≥0且x≠2     B．x≥0      C．x≠2     D．x＞2

【答案】A．

【解析】由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x﹣2≠0，即x≥0且x≠2．故答案选A．

二、一次函数和正比例函数

1．一次函数

    一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数．

2．正比例函数

一般地,形如y=kx(k是常数且k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫比例系数．

注意：当b=0时, y=kx+b即为y=kx,所以说正比例函数是特殊的一次函数．

三、一次函数的图像和性质

 口诀：正撇负捺（k），正上负下（b）

【例】关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　）

A．图象过点（1，﹣1） B．图象经过一、二、三象限 

C．y随x的增大而增大 D．当x＞时，y＜0

【解答】解：A、当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，﹣1），故错误；

B、∵﹣2＜0，3＞0，

∴图象过一、二、四象限，故错误；

C、∵﹣2＜0，

∴y随x的增大而减小，故错误；

D、画出草图．

∵当x＞时，图象在x轴下方，

∴y＜0，故正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查了一次函数的性质以及一次函数与方程、不等式的关系．常采用数形结合的方法求解．

【例】对任意非零数m，直线y＝mx+2﹣5m，都经过一定点，则定点坐标为（　　）

A．（0，2） B．（1，2） C．（5，2） D．（2，﹣2）

【解答】解：∵y＝mx+2﹣5m＝m（x﹣5）+2，

∴当x＝5时，y＝2．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．

【例】一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：分两种情况：

（1）当a＞0时，一次函数y＝ax﹣a经过第一、三、四象限，选项A符合；

（2）当a＜0时，一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，无选项符合．

故选：A．

【点评】本题考查了一次函数的性质，根据图象能正确判断一次项系数以及常数项的符号；根据符号判断判断图经过的象限．

2．直线，：当时时，直线y1∥y2；

四、一次函数图形的平移

    方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可．

例如：直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）．

【例】将直线y＝﹣2x+3向下平移5个单位，得到直线　      　．

【解答】解：原直线的k＝﹣2，b＝3．向下平移5个单位长度得到了新直线，

那么新直线的k＝﹣2，b＝3﹣5＝﹣2．

∴新直线的解析式为y＝﹣2x﹣2．

故答案为：y＝﹣2x﹣2．

【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．

五、确定一次函数的表达式

1．确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件．

2．借助函数的图象确定函数的表达式

   先观察直线是否过原点，若过原点，则为正比例函数，可设其表达式为（）；若不过原点，则为一次函数，可设其表达式为（）．再观察函数的图象上有没有明确几个点的坐标，对于正比例函数，只要一个点（非原点）的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标．最后将各点坐标分别带入（）或（）中，求出其中的，，即可确定其表达式．

3、正比例函数和一次函数图像的画法

 （1）正比例函数（）的图像画法：一般过（0，0），（1，k）两点作直线．

 （2）一次函数（）的图像画法: 一般过（0，b），（，0）两点作直线．

【例】一次函数y＝（k+2）x+k2﹣4的图象经过原点，则k的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．3

【解答】解：把（0，0）代入y＝（k+2）x+k2﹣4得k2﹣4＝0，解得k＝±2，

而k+2≠0，

所以k＝2．

故选：A．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，于是解决此类问题时把已知点的坐标代入解析式求解．注意一次项系数不为零．

六、一次函数与一元一次方程的关系

   1．一次函数与一元一次方程

     一次函数（）与x轴交点横坐标为，即为一元一次方程的根；

 注意：

    一元一次方程的解就是一次函数图像与轴交点横坐标的值；反之一次函数图像与轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的解．

四七一次函数图象的位置关系

1．直线与图象的位置关系

     （1）当时，将图象向x轴上方移b个单位，就得到的图象．

     （2）当时，将图象向x轴下方平移个单位，就得到了的图象．

2．直线与的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：  

     （1）当时，与相交，交点是（0，b）；

     （2）当且时，与平行；

     （3）当且时，与重合．

3．直线（）与坐标轴的交点．

     （1）直线与x轴、y轴的交点都是（0，0）；

     （2）直线与x轴交点坐标为（，0）与 y轴交点坐标为（0，b）．

   （3）直线与坐标轴围成的三角形面积=

【例】如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别相交于E，F．点E的坐标为（﹣6，0），点P是直线EF上的一点．

（1）求k的值；

（2）若△POE的面积为6，求点P的坐标．

【解答】解：（1）把E的坐标为（﹣6，0）代入直线y＝kx+3得，

﹣6k+3＝0，解得：k＝，

答：k的值为．

（2）设P（x，y），

∵S△POE＝OE•|y|＝×6×|y|＝6，

∴|y|＝2，即y＝2，或y＝﹣2，

当y＝2时，即2＝x+3，解得：x＝﹣2，∴P（﹣2，2）

当y＝﹣2时，即﹣2＝x+3，解得：x＝﹣10，∴P（﹣10，﹣2）

答：点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣10，﹣2）

【点评】考查一次函数的图象和性质，将点的坐标代入求函数的关系式是常用的方法，分两种情况分别求出点P的坐标是分类讨论思想的体现．

3．一次函数的运用：行程问题、经济问题等。

【例】小明和小强进行百米赛跑，小明比小强跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢，如图所示，现在小明让小强先跑　　米，直线　　表示小明的路程与时间的关系，大约　　秒时，小明追上了小强，小强在这次赛跑中的速度是　　．

【解答】解：由图象可知，小明让小强先跑10米，

l2表示小明的路程与时间的关系，

大约20秒时，小明追上了小强，

小强在这次赛跑中的速度是（70﹣10）÷20＝3米/秒；

依次填：10，l2，20，3米/秒．

【点评】本题考查了学生观察图象的能力，需要先根据题意进行判断，再结合图象进行计算．

【例】甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．

（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；

（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．

【解答】解；（1）甲商场写出y关于x的函数解析式y1＝0.85x，

乙商场写出y关于x的函数解析式y2＝200+（x﹣200）×0.75＝0.75x+50  （x＞200），

y2＝x  （0≤x≤200）；

（2）由y1＞y2，得0.85x＞0.75x+50，

x＞500，

当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；

由y1＝y2得0.85x＝0.75x+50，

x＝500时，到两家商场去购物花费一样；

由y1＜y2，得0.85x＜0.75x+500，

x＜500，

当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；

综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x＝500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．

【点评】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．