北师大数学初二上册-期末复习专题7-平行线的证明

这是一份北师大数学初二上册-期末复习专题7-平行线的证明
专题7--平行线的证明--精练
一．选择题（共21小题）
1．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3＝150°，∠1＝30°，则∠2的大小是（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
2．如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（　　）

A．130° B．70° C．110 D．100°
3．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得AC∥EF，则∠DOB等于（　　）

A．75° B．105° C．60° D．90°
4．下列命题错误的个数有（　　）
①实数与数轴上的点一一对应；
②无限小数就是无理数；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（　　）

A．2α B．2β C．α+β D．（α+β）
6．如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在BC上），则∠1的度数为（　　）

A．60° B．75° C．90° D．105°
7．下列命题正确的是（　　）
A．数轴上的每一个点都表示一个有理数
B．甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，则乙的成绩更稳定
C．三角形的一个外角大于任意一个内角
D．在平面直角坐标系中，点（4，﹣2）与点（4，2）关于x轴对称
8．下列命题：①两点之间，直线最短；②角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；③同旁内角互补，两直线平行；④的平方根是±9，其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列命题是假命题的是（　　）
A．无理数都是无限小数 B．﹣1的立方根是它本身
C．三角形内角和都是180° D．内错角相等
10．下列命题中为真命题的是（　　）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．是最简二次根式
C．数，，都是无理数
D．已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1
11．下列命题是假命题的是（　　）
A．平方根等于本身的实数只有0
B．两直线平行，内错角相等
C．点P（2，﹣5）到x轴的距离为5
D．数轴上没有点表示π这个无理数
12．下列命题是假命题的是（　　）
A．是最简二次根式
B．若点A（﹣2，a），B（3，b）在直线y＝﹣2x+1，则a＞b
C．数轴上的点与有理数一一对应
D．点A（2，5）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，5）
13．下列命题是真命题的是（　　）
A．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，0）在y轴上
B．在一次函数y＝﹣2x+3中，y随着x的增大而增大
C．同旁内角互补
D．若+＝0，则x+y＝﹣1
14．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）．规定运算：
①A⊕B＝（x1+x2，y1+y2）；
②A⊗B＝x1x2+y1y2；
③当x1＝x2，且y1＝y2时，A＝B．
有下列三个命题：
（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B＝（3，1），A⊗B＝0；
（2）若A⊕B＝B⊕C，则A＝C；
（3）对任意点A，B，C，均有（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）成立．
其中正确命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．如图，AB∥CD，BF交CD于点E，AE⊥BF，∠CEF＝34°，则∠A的度数是（　　）

A．34° B．66° C．56° D．46°

16．如图AB∥DF，AC⊥CE于点C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CED等于（　　）

A．20° B．50° C．70° D．110°
17．某零件按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
18．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　）

A．22° B．20° C．25° D．30°
20．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
21．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　）

A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
二．填空题（共7小题）
22．如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠B＝72°，CD是∠ACB的平分线，点E在AC上，且DE∥BC，则∠EDC的度数为 　 　．

23．如图，AC⊥BD于点C，E是AB上一点，CE⊥CF，DF∥AB，EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，若∠H＝50°，则∠ACF的度数为 　 　．

24．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB和CD．若CD∥BE，∠1＝62°，则∠2的度数为 　 　．

25．如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝　 　°．

26．如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为 　 　．

27．如图，D为△ABC边AC上一点，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，连接ED．若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠ADE的度数为 　 　．

28．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为　 　．

三．解答题（共13小题）
29．已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．

30．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：BE∥CF； （2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．

31．已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG； （2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．

32．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．

33．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．
（1）求证：DE∥BC； （2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．

34．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　°；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．

35．点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为 　 　．

36．请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　 　，∠2＝∠4，依据是 　 　．
②反射光线BC与EF平行，依据是 　 　．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　 　；∠3＝　 　．


37．（问题背景）∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

（问题思考）（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝　 　°．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝　 　．（用含α的代数式表示）
38．我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝　 　°，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．

39．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

40．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　 　．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．

41．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是　 　，∠CBD的度数是　 　；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？

专题7--平行线的证明--精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3＝150°，∠1＝30°，则∠2的大小是（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠1＝30°，再由三角形的外角性质可求∠4，利用邻补角的定义即可求∠2的度数．
【解答】解：如图，

∵AB∥CD，∠1＝30°，
∴∠A＝∠1＝30°，
∵∠3＝∠A+∠4，∠3＝150°，
∴∠4＝∠3﹣∠A＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
2．如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为（　　）

A．130° B．70° C．110 D．100°
【分析】先利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠EAC，再利用三角形的内角和定理求出∠AOF，最后利用邻补角求出∠EOF．
【解答】解：∵∠BCA＝40°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC
＝180°﹣40°﹣60°
＝80°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°．
∵BF是△ABC的高，
∴∠BFA＝90°．
∴∠AOF＝90°﹣∠EAC
＝90°﹣40°
＝50°．
∴∠EOF＝180°﹣∠AOF
＝180°﹣50°
＝130°．
故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．
3．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得AC∥EF，则∠DOB等于（　　）

A．75° B．105° C．60° D．90°
【分析】依据AC∥EF，即可得∠FBA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠DOB＝∠FBA+∠F，进而可求解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠A＝30°，
∴∠FBA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠DOB＝∠FBA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
4．下列命题错误的个数有（　　）
①实数与数轴上的点一一对应；
②无限小数就是无理数；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用实数的性质、无理数的定义、三角形的外角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①实数与数轴上的点一一对应，正确，不符合题意；
②无限不循环小数就是无理数，故原命题错误，符合题意；
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，不符合题意；
④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，符合题意．
错误的有2个，
故选：B．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、无理数的定义、三角形的外角的性质及平行线的性质，难度不大．
5．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（　　）

A．2α B．2β C．α+β D．（α+β）
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝α，∠BPE＝∠DBP＝β，然后相加即可得解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝α，
∴∠APE＝∠CAP＝α，
∵BD∥EF，∠DBP＝β，
∴∠BPE＝∠DBP＝β，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝α+β．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
6．如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在BC上），则∠1的度数为（　　）

A．60° B．75° C．90° D．105°
【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠1是△FBD的外角，
∴∠1＝30°+45°＝75°，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．下列命题正确的是（　　）
A．数轴上的每一个点都表示一个有理数
B．甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，则乙的成绩更稳定
C．三角形的一个外角大于任意一个内角
D．在平面直角坐标系中，点（4，﹣2）与点（4，2）关于x轴对称
【分析】根据数轴上的点与实数一一对应可对A选项进行判断；根据方差的意义可对B选项进行判断；根据三角形外角性质可对C选项进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征可对D选项进行判断．
【解答】解：A．数轴上的每一个点都表示一个实数，所以A选项不符合题意；
B．甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且S甲2＝0.9，S乙2＝1.2，则甲的成绩更稳定，所以B选项不符合题意；
C．三角形的一个外角大于与之不相邻的任意一个内角，所以C选项不符合题意；
D．在平面直角坐标系中，点（4，﹣2）与点（4，2）关于x轴对称，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8．下列命题：①两点之间，直线最短；②角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；③同旁内角互补，两直线平行；④的平方根是±9，其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用线段性质、角的对称性、平行线的判定及算术平方根的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两点之间，线段最短，故原命题错误，是假命题，①不符合题意；
②角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，②不符合题意；
③同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，③符合题意；
④的平方根是±3，故原命题错误，是假命题，④不符合题意，
正确的有1个，
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解线段性质、角的对称性、平行线的判定及算术平方根的知识，难度不大．
9．下列命题是假命题的是（　　）
A．无理数都是无限小数 B．﹣1的立方根是它本身
C．三角形内角和都是180° D．内错角相等
【分析】利用无理数的定义、立方根的定义、三角形的内角和及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、无理数都是无限小数，正确，是真命题，A选项不符合题意；
B、﹣1的立方根是它本身，正确，是真命题，B选项不符合题意；
C、三角形的内角和都是180°，正确，是真命题，C选项不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无理数的定义、立方根的定义、三角形的内角和及平行线的性质，难度不大．
10．下列命题中为真命题的是（　　）
A．三角形的一个外角等于两内角的和
B．是最简二次根式
C．数，，都是无理数
D．已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1
【分析】利用三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故原命题是假命题，不符合题意；
C、是有理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、已知点E（1，a）与点F（b，2）关于x轴对称，则a+b＝﹣1，正确，为真命题，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角的性质、最简二次根式的定义、无理数的定义及关于坐标轴对称的点的特点，难度不大．
11．下列命题是假命题的是（　　）
A．平方根等于本身的实数只有0
B．两直线平行，内错角相等
C．点P（2，﹣5）到x轴的距离为5
D．数轴上没有点表示π这个无理数
【分析】根据平方根、平行线的性质、点的坐标和无理数判断解答即可．
【解答】解：A、平方根等于本身的实数只有0，是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，是真命题．不符合题意；
C、点P（2，﹣5）到x轴的距离为5，是真命题，不符合题意；
D、数轴上的点与实数是一一对应的关系，所以数轴上有点表示π这个无理数，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．下列命题是假命题的是（　　）
A．是最简二次根式
B．若点A（﹣2，a），B（3，b）在直线y＝﹣2x+1，则a＞b
C．数轴上的点与有理数一一对应
D．点A（2，5）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，5）
【分析】根据最简二次根式的概念、一次函数的性质、实数与数轴、关于y轴对称的点的坐标特征判断．
【解答】解：A、是最简二次根式，本选项说法是真命题；
B、对于直线y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2＜3，
∴a＞b，本选项说法是真命题；
C、数轴上的点与实数一一对应，故本选项说法是假命题；
D、点A（2，5）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，5），本选项说法是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．下列命题是真命题的是（　　）
A．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，0）在y轴上
B．在一次函数y＝﹣2x+3中，y随着x的增大而增大
C．同旁内角互补
D．若+＝0，则x+y＝﹣1
【分析】根据点的坐标特征、一次函数的增减性、平行线的性质、非负数的性质判断即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣3，0）在x轴上，A是假命题；
在一次函数y＝﹣2x+3中，y随着x的增大而减小，B是假命题；
两直线平行，同旁内角互补，C是假命题；
若+＝0，
x﹣2＝0，y+3＝0，
解得，x＝2，y＝﹣3，
则x+y＝﹣1，D是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）．规定运算：
①A⊕B＝（x1+x2，y1+y2）；
②A⊗B＝x1x2+y1y2；
③当x1＝x2，且y1＝y2时，A＝B．
有下列三个命题：
（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B＝（3，1），A⊗B＝0；
（2）若A⊕B＝B⊕C，则A＝C；
（3）对任意点A，B，C，均有（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）成立．
其中正确命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据新的运算定义分别判断每个命题后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）A⊕B＝（1+2，2﹣1）＝（3，1），A⊗B＝1×2+2×（﹣1）＝0，
∴①正确；
（2）设C（x3，y3），A⊕B＝（x1+x2，y1+y2），B⊕C＝（x2+x3，y2+y3），
∵A⊕B＝B⊕C，
∴x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3，
∴x1＝x3，y1＝y3，
∴A＝C，
∴②正确．
（3）∵（A⊕B）⊕C＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3），
∴（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C），
∴③正确．
正确的有3个，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理，解题时注意：判断一件事情的语句，叫做命题．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
15．如图，AB∥CD，BF交CD于点E，AE⊥BF，∠CEF＝34°，则∠A的度数是（　　）

A．34° B．66° C．56° D．46°
【分析】由垂直的定义与∠AEF＝90°，即可求得∠AEC的度数，又由直线AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵AE⊥BF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CEF＝90°﹣34°＝56°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC＝56°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与垂直的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
16．如图，AB∥DF，AC⊥CE于点C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CED等于（　　）

A．20° B．50° C．70° D．110°
【分析】由AC⊥CE与∠A＝20°，即可求得∠ABC的度数，又由AB∥DF，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠CED的度数．
【解答】解：∵AC⊥CE，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠ABC＝70°，
∵AB∥DF，
∴∠CED＝∠ABC＝70°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质与垂直的定义．应用两直线平行，同位角相等是解题关键．
17．某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】延长DC交AB于E，根据三角形外角的性质可求得∠CEB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：延长DC交AB于E，

∵∠BCD＝∠B+∠CEB，∠BCD＝110°，∠B＝20°，
∴∠CEB＝110°﹣20°＝90°，
∵∠CEB＝∠A+∠D，∠D＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠DEC，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN＝∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN＝180°，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，
∴∠2＝∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．
综上所述正确的有：①③④，共3个．
故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
19．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　）

A．22° B．20° C．25° D．30°
【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2＝∠EFG＝70°，再根据∠AFE＝90°，即可得出∠AFG＝90°﹣70°＝20°，进而得到∠1＝∠AFG＝20°．
【解答】解：如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，

∴∠2＝∠EFG＝70°，
又∵∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝90°﹣70°＝20°，
∴∠1＝∠AFG＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．
20．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，
∵a∥b，∠DCB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
故选：B．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
21．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　）

A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360°
【分析】延长AE交直线CD于F，根据平行线的性质得出∠α+∠AFD＝180°，根据三角形外角性质得出∠AFD＝∠β﹣∠γ，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，

∵AB∥CD，
∴∠α+∠AFD＝180°，
∵∠AFD＝∠β﹣∠γ，
∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质和平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
二．填空题（共7小题）
22．如图，在△ABC中，∠A＝66°，∠B＝72°，CD是∠ACB的平分线，点E在AC上，且DE∥BC，则∠EDC的度数为 　21°　．

【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB的度数，根据角平分线的定义可得∠BCD的度数，根据平行线的性质可得∠EDC＝∠BCD，即可求出∠EDC的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝66°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°﹣66°﹣72°＝42°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝21°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝21°，
故答案为：21°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
23．如图，AC⊥BD于点C，E是AB上一点，CE⊥CF，DF∥AB，EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，若∠H＝50°，则∠ACF的度数为 　80°　．

【分析】延长EC，交DH于K，根据三角形外角的性质，平行线的性质即可得到90°+∠ACE＝45°+∠ACE+50°，从而求得∠ACE的度数，进而即可求得∠ACF＝90°﹣∠ACE＝80°．
【解答】解：延长EC，交DH于K，如图：

∵∠EKD＝∠HEC+∠H，∠ECD＝∠EKD+∠HDC，
∴∠ECD＝∠HEC+∠HDC+∠H，
∵DF∥AB，
∴∠B＝∠BDG，
∵EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，∠H＝50°，
∴∠HEC＝∠BEC，∠HDC＝∠B，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE，
∴∠HEC＝∠A+∠ACE，
∴∠ECD＝∠A+∠ACE+∠B+∠H，
∵AC⊥BD，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ECD＝45°+∠ACE+50°，
∵AC⊥BD，
∴∠ECD＝90°+∠ACE，
∴90°+∠ACE＝45°+∠ACE+50°，
∴∠ACE＝10°，
∵CE⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∴∠ACF＝∠ECF﹣∠ACE＝90°﹣10°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，垂线的定义，角的平分线的定义以及三角形外角的性质等知识．
24．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB和CD．若CD∥BE，∠1＝62°，则∠2的度数为 　68°　．

【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠BCD＝∠EBF＝2∠1＝124°，进而得出∠CDA＝56°，再由折叠的性质得∠2＝68°．
【解答】解：如图，延长CB到点F，

由折叠可得，∠EBF＝2∠1＝124°，
∵CD∥BE，
∴∠BCD＝∠EBF＝124°，
∵纸带对边互相平行，
∴BC∥AD，
∴∠CDA＝180°﹣124°＝56°，
由折叠可得，∠2＝180°﹣2∠CDA＝68°，
故答案为：68°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
25．如图，BD和CD是△ABC的角平分线，∠BDC＝118°，则∠BAC＝　56　°．

【分析】根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝118°，
∴∠A＝56°．
故答案为：56．
【点评】本题考查的是三角形的内角和，掌握三角形的内角和，运用整体思想求解是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为 　59°　．

【分析】利用三角形的内角和以及外角和性质即可进行解答即可．
【解答】解：∵∠C＝62°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣62°＝118°，
∴∠DAB+∠EBA＝360°﹣∠BAC﹣∠ABC＝242°，
∵AG、BG分别平分∠DAB，∠EAB，
∴∠BAG+∠ABG＝（∠DAB+∠ABE）＝×242°＝121°，
∴∠G＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝180°﹣121°＝59°，
故答案为：59°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
27．如图，D为△ABC边AC上一点，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，连接ED．若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠ADE的度数为 　25°　．

【分析】由三角形的内角和定理可求得∠CAB的度数，再由题意可得∠AED＝∠ADE，结合三角形的外角性质可得∠AED+∠ADE＝∠CAB，从而可求解．
【解答】解：∵∠B＝60°，∠C＝70°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∵以点A为圆心，AD为半径画弧，交BA的延长线于点E，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠AED+∠ADE＝∠CAB，
∴∠ADE+∠ADE＝50°，
解得：∠ADE＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
28．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为　64°　．

【分析】作FH⊥FE交AC用H．想办法证明∠DEF＝∠DHF＝58°＝∠FEB即可解决问题；
【解答】解：作FH⊥FE交AC用H．

∵∠AFC＝∠EFH＝90°，
∴∠AFH＝∠CFE＝13°，
∵∠A＝∠FCE＝45°，FA＝FC，
∴△FAH≌△FCE，
∴FH＝FE，
∵∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝13°+32°＝45°，
∴∠DFH＝∠DFE＝45°，∵DF＝DF，
∴△DFE≌△DFH，
∴∠DEF＝∠DHF＝∠A+∠AFH＝58°，
∵∠FEB＝∠CFE+∠FCE＝58°，
∴∠DEC＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
故答案为64°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三．解答题（共13小题）
29．已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．

【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C＝∠2，从而证得AB∥CD．
【解答】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
又已知∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．
30．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．

【分析】（1）求出∠1＝∠BFG，根据平行线的判定得出AC∥DG，求出∠EBF＝∠BFC，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：方法一：∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，
∴∠1＝∠BFG，
∴AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴∠EBF＝∠ABF，BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
方法二：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ABF，∠2＝∠BFG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的平分线是BE，∠BFG的平分线是FC，
∴∠EBF＝∠ABF，BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；

（2）解：∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
31．已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）利用平行线的性质和判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC
∴∠2＝∠DAC
∵∠l+∠2＝180°
∴∠1+∠DAC＝180°
∴AD∥GF
（2）∵ED∥AC
∴∠EDB＝∠C＝40°
∵ED平分∠ADB
∴∠2＝∠EDB＝40°
∴∠ADB＝80°
∵AD∥FG
∴∠BFG＝∠ADB＝80°
【点评】此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．
32．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．

【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明∠1＝∠3即可．
（2）根据∠1+∠4＝90°，想办法求出∠4即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4＝∠ABD＝40°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．

【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．

【分析】（1）由题意可得∠DFE+∠2＝180°，从而得∠DFE＝∠3，由平行线的判定条件可得BD∥EF，则有∠1＝∠ADE，从而得∠ADE＝∠B，即可判断DE∥BC；
（2）由（1）可知∠ADE＝∠B，再由角平分线的定义得∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，再由∠3+∠ADC＝180°，即可求∠ADC的度数，即可得∠2的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DFE+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，
∴∠DFE＝∠3，
∴BD∥EF，
∴∠1＝∠ADE，
∵∠1＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）解：由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，
∴∠2＝∠ADC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，
∵∠3+∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，
∴3∠B+2∠B＝180°，
解得：∠B＝36°，
∴∠ADC＝72°，
∴∠2＝72°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
34．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　135　°；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　45　°；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．


【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②由①的思路可得结论．
【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
35．点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为 　60°　．


【分析】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．
【解答】证明：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG．
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB．
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠EFG．
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG．
∴BD∥EF．
（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，

∵BD∥EF，
∴GH∥EF．
∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，
∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，
则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．
∴∠PDM＝180°﹣α．
∵DN平分∠PDM，
∴．
∴∠EDN＝∠PDN−∠PDE＝90°﹣﹣（180°﹣4α）＝﹣90°．
∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°﹣﹣α＝90°﹣．
∵DG⊥ON，
∴∠DNG＝90°．
∴∠DNG＝90°−（90°−）＝．
∵DE∥BF，
∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．
∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，
∴180°−4α−＝﹣90°，
解得：α＝30°．
∴∠B＝180°﹣4α＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的意义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键．
36．请解答下列各题：
（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　，∠2＝∠4，依据是 　等量代换　．
②反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　．
（2）解决问题：
如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　84°　；∠3＝　90°　．

【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得；
（2）根据入射角等于反射角得出∠1＝∠4，∠5＝∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可．
【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换；
②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行；
故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．
（2）如图，

∵∠1＝42°，
∴∠4＝∠1＝42°，
∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝84°，
∴∠5＝∠7＝，
∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°．
故答案为：84°，90°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
37．（问题背景）
∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

（问题思考）
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　135°　．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝　45　°．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（问题拓展）
（3）在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝　　．（用含α的代数式表示）
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②由①的思路可得结论；
（3）在②的基础上，将90°换成α即可．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAO+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝70°，
∴∠ABO＝20°，∠ABN＝160°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN＝×160°＝80°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝35°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣80°﹣35°﹣20°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2x，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+x，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+x﹣x＝45°；
（3）设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝α，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝+x，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝+x﹣x＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
38．我们定义：
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝　18　°，△AOB　是　（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．

【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；
（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；
应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，
∵∠MON＝4∠ABO，
∴△AOB为“完美三角形”，
故答案为：18；是；
（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，
∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，
∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，
∴△AOC是“完美三角形”；
应用拓展：
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“完美三角形”，
∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝30°或∠B＝80°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
39．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD＝180°°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK；再由邻补角的定义、角平分线的定义推得∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK；然后由图形中角与角的和差关系求得∠HPQ＝45°即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°．
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；

（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP＝（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；

（3）∠HPQ的大小不会发生变化，理由如下：
∵∠PHK＝∠HPK
∴∠PKG＝2∠HPK
∵GH⊥EG
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK
∵PQ平分∠EPK
∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°
∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用．
40．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为　∠A+∠B＝∠C+∠D　．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
∴2∠P＝∠B+∠D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，及角的计算，灵活运用等式的性质进行角的计算是解题的关键．
41．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）∠ABN的度数是　116°　，∠CBD的度数是　58°　；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？

【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1，由AM∥BN得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN得∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论；
（3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，∠A＝64°，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°；
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°，
故答案为：116°，58°；
（2）不变，
∠APB：∠ADB＝2：1，
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，
则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）∠ABN＝116°，∠CBD＝58°，
∴∠ABC+∠DBN＝58°，
∴∠ABC＝29°，
故答案为：29°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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