广东省佛山市第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题及答案

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命题人：李维 审题人：雷沅江
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了50根棉花的纤维长度（单位：），其频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计事件“棉花的纤维长度大于”的概率为（ ）
A．0.30 B．0.48 C．0.52 D．0.70
2．如图，在正方体中，点M，N分别是面对角线与的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
4．己知和，若，则与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．着两条直线和的交点在第四象限，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
7．在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点F，则下列结论中错误的是
A．存在点E，使得平面 B．存在点E，使得平面
C．对于任意的点E，平面平面 D．对于任意的点E，四棱锥的体积均不变
8．已知在正方体的棱长为2，点E，F分别是直线与上的点，则线段EF长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．己知事件A，B相互独立，且，则（ ）
A．事件A，B对立 B．事件A，B互斥 C． D．
10．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本．经计算得到男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为．下列说法中正确的是（ ）
A．男生样本量为30 B．每个女生入样的概率均为
C．所有样本的均值为 D．所有样本的方差为
11．已知三边所在直线分别为，则A．AB边上的高所在直线方程为 B．AB边上的高为
C．的面积为 D．是直角三角形
12．在长方体中，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，EF与平面所成角的大小相等，则（ ）
A．平面 B．三棱锥的体积为4
C．存在点F，使得 D．线段的长度的取值范围为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计事件M发生的概率为__________．
14．已知空间向量和，则在上的投影向量为__________（用坐标表示）
15．直线关于直线的对称直线的方程为__________．
16．在四而体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球表面积为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在棱长为1的正方体方体中：
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离．
18．（12分）某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．
心理测评评价标准
（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；
（2）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；
（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分）
19．（12分）如图，如图，在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，．
（1）证明：平面平面ABC；
（2）若，点M在棱PC上，且平面的大小为，求．
20．（12分）在平行六面体中，，，．
（1）求异面直线AC与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面ABCD所成角．
21．（12分）等腰三角形ABC的两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边BC上．
（1）求；
（2）求直线BC的方程．
22．（12分）如图，已知直线，点A的坐标为．设过点A的直线l的斜率为k，且直线l与（，，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设，求面积的最小值；
（3）是否存在实数a，使得的值与k无关？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
佛山一中2022~2023学年度上学期高二级期中考试
数学参考答案与评分标准
第一部 分选择题、填空题答案与解析
1．【解析】“棉花的纤维长度大于”的概率为．故选C．
2．【解析】
3．【解析】因为
所以选项A、C、D中的向量共面，不能作为空间的基底，对于选项B，假设共面，则存在，使得，，无解，不共面，可以作为空间的一组基底，故选B．
4．【解析】选B．
5．【解析】由，解得，故选A．
6．【解析】因为预计第二天的新订单超过1600份的概率是0.05，所以第二天的新订单不超过1600份的概率是0.95．因为超市每天能完成1200份订单的配货，且积压了500份订单未配货，所以第二天需要志愿者配货的订单不超过（份）的概率为0.95，所以为了使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者（名）．故选B．
7．【解析】因为与不垂直，所以“平面”不可能成立，故选B．
8．【解析】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x抽，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设
，则，故
当且仅当时取等号．故的最小值为，选A．
9．【解析】，故A，B错误，C正确；
，故D正确．
10．【解析】男生样本整为，故选项A正确；每个学生入样的概率均为，故选项B能误；记男生样本为，均值为，方差为；女生样本为，均值为，方差为；所有样本均值为，方差为，则
，
．
故选项C正确，选项D错误．
11．【解析】由得；由得；由得；
AB边上的高所在直线方程为，即，A正确；AB边上的高为，
B正确；故，的面积为，C正确：是的任意两边均不垂直，D错误．
12．【解析】因为平面平面，平面，所以平面，故A正确；因为，故B错误；连接，作交AD于G，连接FG，则，因为平面，所以为与平面所成的角，因为平面，所以为EF与平面所成的角，因为，EF与平面所成角的大小相等，所以，则又因为，所以，则点F在的中垂线上，即点F在线段HI上运动，如图：
当点F与点K重合时，，故C正确；因为，E为棱BC上靠近C的三等分点，所以，则，因为，所以，当点F在点I或点H处时，线段的长度取到最大值，最大值为，当点F在，点K处，线段的长度取到最小值，最小值为，所以线段的长度的取值范围为，故D正确．故本题选ACD．
13．【解析】事件A包含红色小球和黄色小球，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6组，故所求概平为．
14．【解析】因为，所以，则在上的投影向量为．
15．【解析】设为所求直线上一点，则它关于l的对称点在直线上，即，整理得，故所求的对称直线方程为．
16．【解析】四面体ABCD的外接球半径为，表面积为．
第二部分 解答题答案与评分标准
17．证明：
（I）在正方体中，且，
故四边形是平行四边形， 1分
所以． 2分
又平面，平面， 3分
所以平面． 4分
（2）以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则， 5分
． 6分
设是平面的一个法向量，则 7分
今，则． 8分
因此，直线到平面的距离为 10分
18．解：
（1）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的而积之和为1，所以
，解得． 2分
（2）由（1）知：，所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人． 4分
设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等纵转为B”．因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以 6分
所以． 7分
故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为． 8分
（3）由频率分布直方图可估计市民心理健康调查评分的平均值为
． 10分
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动． 12分
19．解：
（1）设AC中点为O，连接PO，BO．在等边三角形APC中，有． 1分
在直角三角形ABC中，有．又，所以，
进而有，即． 3分
又，平面ABC，平而ABC，所以平面ABC． 4分
又平面PAC，所以平面平而ABC． 5分
（2）不坊设．在直角三角形ABC中，．在底面ABC内作，则由（1）可知OD，OC，OP两两垂直．以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
6分
． 7分
设，则．
设平面MAB的法向量为，则 8分
令，则 10分
又是平面ABC的一个法向量，所以
， 11分
解得，即． 12分
20．解：
（1）设，则 1分
． 2分
． 3分
． 4分
5分
故异面直线AC与所成角的余弦值为． 6分
（2）作平面ABCD，垂足为H，则直线与平面ABCD所成角为． 7分
由平面向量基本定理，存在唯一确定的实数x，y，使得． 8分
由于，故 9分
所以 10分
因此，， 11分
进而可得直线与平面ABCD所成角为 12分
21．解：
（I）设直线AB，AC的倾斜角分别为，则． 2分
依题意，， 3分
故， 5分
求得． 6分
（2）依题意，直线BC的倾针角为，斜率为． 7分
由于 8分
， 9分
故， 10分
解得，或（舍去） 11分
因此，直线BC的方程为解得，即， 12分
22．解：
（1）由题意知直线l的方程为，令，得，由得，
. 1分
由得（时，此方程组无解，不符合题意），由得或． 2分
综上，k的取值范围是. 3分
（2）（1）得，其中，
则，N到OM的距离为． 4分
5分
令，则，
， 7分
当且仅当，即时等号成立． 8分
的最小值是． 9分
（3）假设存在满足题意的a，由（1）知，
． 10分
此式与k的值无关，，解得． 11分
∴当时，的值与k无关． 12分110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
调查评分
心理等级
E
D
C
B
A
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
B
A
B
B
A
CD
AC
ABC
ACD
题号
13
14
15
16
答案