2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市观成教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    以下数学表达式：；；；其中不等式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.    若，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    若三角形三个角的度数比为：：，则这个三角形一定是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

5.    如图，是上一点，交于点，，，，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.    点在轴上，则点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，是中的平分线，，交于点，，交于点，若，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，已知长方形纸片，点在边上，且，，将沿直线翻折，使点落在点，延长交于点处，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于(    )

A.
B.
C.
D. 无法计算

10. 已知等边中，在射线上有一点，连接，以为边向上作等边，连接和，下列结论：；
    当在线段或延长线上时，总有．
    下列说法正确的是(    )

A. 都对 B. 都错 C. 错，对 D. 对，错

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知命题：等边三角形的各个内角都等于这个命题的逆命题是______．
12. 在平面直角坐标系中，点在第______象限；点到轴的距离是______．
13. 满足不等式的最小整数是______．
14. 若，则，；
    一个角的补角大于这个角；
    两直线平行，同位角相等；
    有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
    点坐标为，将其先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点，坐标为．
    其中是真命题的有______．
15. 已知中有一个内角是，，边上的中垂线交直线于点，连结，则______．
16. 活动课上，小华将两张直角三角形纸片如图放置，已知，是的中点，与的面积之比为：，则的长度为______；的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，已知，，线段用尺规求作保留作图痕迹：
    ，使，，．
    作中线段的垂直平分线．

18. 本小题分
    解不等式组：
    解不等式：．
    解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．
     
19. 本小题分
    如图，，，依次在同一条直线上，，．
    求证：．
    若，，求的长．

20. 本小题分
    在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
    画出关于轴对称的，并写出点的坐标：______，______；
    求的面积；
    在轴上找一点保留作图痕迹，使的值最小，请直接写出点的坐标：______，______

21. 本小题分
    如图，为等腰直角三角形，，点是上一点，点是延长线上一点，连接．
    若求证：．
    若，是等腰三角形，求的长．

22. 本小题分
    随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：

若该公司三月份的利润为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？利润售价成本
如果该公司四月份投入成本不超过万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打折：方案二：购买元会员卡后，乙型口罩一律折，请帮学校设计出合适的购买方案．

23. 本小题分
    已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点．
    如图，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形；
    如图，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小：
    如图，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，、、选项中的图形都不是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：和是不等式，和不是不等式，
即不等式有个，
故选：．
根据不等式的定义逐个判断即可．
本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有，，，，．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，故本选项不符合题意；
B、，
，故本选项不符合题意；
C、，
，故本选项不符合题意；
D、，
，故本选项符合题意；
故选：．
由不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的基本性质，不等式的变形：两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：设其三个内角分别是、、，
根据三角形的内角和定理得：
，
解得．
则，，．
则该三角形是锐角三角形．
故选：．
设其三个内角分别是、、，根据三角形的内角和是，列方程即可求得三个内角的度数，然后根据角的度数判断三角形的形状．
此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形；有一个角是直角的三角形叫直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
的长度为，
故选：．
由，得，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，则．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
，
当时，，
点坐标为，
故选：．
根据轴上的点横坐标为可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握轴上的点横坐标为是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的平分线，，，
，
，
，
，
故选：．
先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将沿直线翻折，使点落在点，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故选：．
由将沿直线翻折，使点落在点，可得，，，，设，则，根据勾股定理可得，即可解得答案．
本题考查长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质，得出及勾股定理的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：在和中，
，，
在和中，
，，

．
故选：．
在及中可分别表示出及，在及中分别将及的表示形式代入表示出和，然后作差即可得出结果．
本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出和是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设交于．

，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
与的夹角为，
，
，
故错误，
，，
，故错误，
故选：．
利用≌，可以证明错误．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】三个角都是的三角形是等边三角形 

【解析】解：命题“等边三角形的每个内角都等于”的逆命题是“三个角都是的三角形是等边三角形”，
故答案为：三个角都是的三角形是等边三角形．
根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

12.【答案】二   

【解析】解：点，横坐标为负数，纵坐标为正数，
点在第二象限；点到轴的距离是．
故答案为：二，．
直接利用点的坐标特点、横纵坐标的意义得出答案．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标到坐标轴的距离、坐标轴上点的坐标特点及各个限内点的坐标符号特点．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得；，
解得：，
则最小的整数是．
故答案为：．
首先解不等式，求得解集，即可确定不等式的最小整数解．
本题主要考查了一元一次不等式的整数解，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：若，则，或，，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
一个角的补角不一定大于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，符合题意；
有两边及其夹对角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
点坐标为，将其先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点，坐标为，正确，是真命题，符合题意．
真命题有，
故答案为：．
利用实数的性质、补角的定义、平行线的性质、全等三角形的判定方法及点的坐标平移规律等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
 

15.【答案】或 

【解析】解：是底角，如图：
，，
，
边上的中垂线交直线于点，
，
，
；
的角是顶角，如图：
，，
，
边上的中垂线交直线于点，
，
，
．
故或．
故答案为：或．
分是底角和的角是顶角两种情况讨论，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解．
考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，注意分类思想的应用，难度不大．
 

16.【答案】   

【解析】解：点是直角斜边的中点，
，，
与的面积之比为：，
与的面积之比为：，
：：，
设，则，
，
，
，解得，
，，
，
，
而与的面积之比为：，
．
故答案为：；．
根据直角三角形斜边上的中线性质得到，利用三角形面积公式得到，则与的面积之比为：，所以：：，设，则，于是有，解得，接着利用勾股定理计算出，然后根据三角形面积公式计算出，从而得到．
本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，直线即为所求． 

【解析】先作线段，再以点为顶点作一个角等于，以点为顶点作一个角等于，两角的交于点，从而得出答案；
根据线段中垂线的尺规作图求解即可．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段及线段的中垂线的尺规作图．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得答案；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得；
，，得，即可根据勾股定理求得，则．
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：如图所示，即为所求，，

故答案为：，；
的面积；
如图所示，点即为所求，，
故答案为：，．
根据轴对称的性质，即可画出；
利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题．
本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
≌，
．

解：当时，，
．
当时，设，
，
，
，
综上所述，的长为或． 

【解析】根据证明≌，可得结论；
分两种情形：，，分别求解即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：，
答：生产甲型口罩万只，乙型口罩万只．
设生产甲型口罩万只，则生产乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：．
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩万只；
设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为元，选项方案二所需费用为元．
当时，；
当时，；
当时，．
答：当购买数量少于只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠． 

【解析】设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，结合该公司三月份生产两种口罩万只，且该公司三月份的利润为万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
设生产甲型口罩万只，则生产乙型口罩万只，根据该公司四月份投入成本不超过万元，列出一元一次不等式，解之即可解决问题；
设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为元，选项方案二所需费用为元，分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出：当购买数量少于只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；分三种情况，求出的取值范围或的值．
 

23.【答案】证明：如图，，，
，
沿折叠，点对应点为点，
，
，
，
是等边三角形；

解：，，
，
沿折叠，点对应点为点，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；

解：同得：，是等边三角形，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论；
由折叠的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形的外角性质得出，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；
同得出是等边三角形，，得出，由折叠的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出，由已知得出，求出，即可得出．
本题是几何变换综合题目，考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键．