2022-2023学年四川省泸州市龙马潭区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年四川省泸州市龙马潭区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，共36分）下列方程是关于x的一元二次方程的是(    )A. ax2+bx+c=0 B. 1x2+1x=2C. x2+2x=y2-1 D. 3(x+1)2=2(x+1)函数y=3(x-1)2+2的图象的顶点坐标是(    )A. (1,-4) B. (-1,2) C. (1,2) D. (0,3)如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为(    )A. 1 B. 2 C. -1 D. -2函数y=1x-1的自变量x的取值范围是(    )A. x<1 B. x>1 C. x≤1 D. x≥1方程x2+6x=5的左边配成完全平方后所得方程为(    )A. (x+3)2=14 B. (x-3)2=14 C. (x+6)2=12 D. 以上答案均不对若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1⋅x2的值是(    )A. 4 B. 3 C. -4 D. -3一元二次方程x2+3x+5=0的根的情况是(    )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法判断(-1,y1)，(2,y2)与(3,y3)为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(    )A. y10时，y>0；②若a=-1，则b=3；③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，若x1<12，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为62.其中正确的有个(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、选择题（本题共4小题，共12分）方程x2=4x的解是______．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为______ ．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)，B(8,2).如图所示，则能使y1>y2成立的x的取值范围是______．关于x的二次函数y=ax2-4ax+b中，当1≤x≤4时，-3≤y≤5.则b-4a的值为______．三、解答题（本题共9小题，共72分）计算：(3)0+2-1+2×22-|-12|．用适当的方法解方程：3x2+2x-5=0．已知关于x的一元二次方程x2+x+2m=0有一个实根为-2，求m的值及方程的另一个实根．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？若抛物线的顶点坐标是A(-1,-3)，并且抛物线经过点B坐标为(1,-1).求出该抛物线的关系式．已知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求实数a的值．某商店销售一种水产品，其成本价为40元∕千克，若按50元∕千克销售，一个月可售出500千克，市场调查发现，销售价每涨1元，月销售量将减少10千克．(1)当销售单价定为55元时，月销售量为______千克；(2)设月销售量为y千克，销售单价为x元∕千克，则y与x的函数关系式为______；(不写自变量x的取值范围)(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长20米)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成(如图所示).若设花园的AB边长为x米，花园的面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6)，B(6,0)，C(-2,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值，面积最大值是多少？(3)已知抛物线的顶点为点D.点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，△ADM的周长最小？最小值是多少？答案和解析1.【答案】D 【解析】解：A.当a=0时，ax2+bx+c=0不是关于x的一元二次方程，故本选项不合题意；B.该方程是分式方程，故本选项不合题意；C.该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意；D.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．根据一元二次方程的定义判断即可．本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2.【答案】C 【解析】解：∵y=3(x-1)2+2，∴抛物线顶点为(1,2)．故选：C．根据顶点式直接求得顶点坐标．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中顶点坐标为(h,k)．3.【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．【解答】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，∴22-3×2+k=0，解得k=2．故选B．  4.【答案】B 【解析】解：要使函数有意义，则x-1>0，解得：x>1，故选：B．根据二次根式的意义和分式的意义可知：x-1>0，可求x的范围．主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．5.【答案】A 【解析】解：x2+6x=5，x2+6x+9=5+9，(x+3)2=14，故选A．根据配方法的一般步骤在等式的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，配成完全平方的形式即可．此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．6.【答案】B 【解析】解：∵一元二次方程x2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x1⋅x2=ca=3．故选：B．根据一元二次方程的根与系数的关系x1⋅x2=ca解答并作出选择．此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1⋅x2=ca中的a与c的意义．7.【答案】C 【解析】解：x2+3x+5=0，△=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0，即方程无实数根，故选C．求出b2-4ac的值，再判断即可．本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的根的判别式是b2-4ac，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac<0时，方程没有实数根．8.【答案】B 【解析】解：∵(-1,y1)，(2,y2)与(3,y3)为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点，∴把函数y=-x2-4x+5变形为：y=-(x+2)2+9，∴由函数图象可知当x=2时此函数有最大值为9，当x>-2时，y的值随x的增大而减小，∴y1>y2>y3，故选：B．把原函数解析式化简成顶点式，然后根据函数图象的性质即可比较大小．本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a>0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a<0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．9.【答案】D 【解析】解：抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x-4)2-1的步骤是：先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位．故选：D．直接利用二次函数图象平移规律进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．10.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出其对称轴是解题的关键．由当x=-3与x=-1时y值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线x=-2，此题得解．【解答】解：∵当x=-3与x=-1时，y值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x=-3-12=-2．故选：B．  11.【答案】B 【解析】解：∵一元二次方程x2+4x+2=0的两实数根x1，x2，∴x1+x2=-4，x1x2=2，∴(x12+2)(x22+2) =x12x22+2x12+2x22+4 =(x1x2)2+2(x12+x22)+4 =(x1x2)2+2(x1+x2)2-4x1x2+4 =22+2×(-4)2-4×2+4 =4+2×16-8+4 =4+32-8+4 =32．故选：B．由根与系数的关系可得：x1+x2=-4，x1x2=2，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．本题考查了根与系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1⋅x2=ca．12.【答案】C 【解析】解：①当x>0时，函数图象过一四象限，当00；当x>b时，y<0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=-22×(-1)=1，当a=-1时有-1+b2=1，解得b=3，故本选项正确；③∵x1+x2>2，∴x1+x22>1，又∵x1-1<1y2，故本选项正确；④如图，作D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，D'E'与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为(1,4)，则D'为(-1,4)；C点坐标为C(0,3)；则E为(2,3)，E'为(2,-3)；则DE=(2-1)2+(3-4)2=2；D'E'=(-1-2)2+(-3-4)2=58；∴四边形EDFG周长的最小值为2+58，故本选项错误．∴正确的有2个．故选：C．①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；③根据x1+x22>1，得到x1<1y2；④作D关于y轴的对称点D'，E关于x轴的对称点E'，连接D'E'，D'E'与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D'、E'的坐标即可解答．本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称--最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键．13.【答案】0或4 【解析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．解：原方程可化为：x2-4x=0，∴x(x-4)=0解得x=0或4；故方程的解为：0或4．本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．14.【答案】1+x+x(1+x)=121 【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后患流感的人数是：1+x，第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x(1+x)，而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程，1+x+x(1+x)=121．故答案是：1+x+x(1+x)=121．先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．15.【答案】x<-2或x>8 【解析】解：∵由函数图象可知，当x<-2或x>8时，一次函数的图象在二次函数的下方，∴能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8．故答案为：x<-2或x>8．直接根据函数的图象即可得出结论．本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．16.【答案】-3或5 【解析】解：∵抛物线y=ax2-4ax+b=a(x-2)2+b-4a，∴顶点(2,b-4a)，当a>0时，当1≤x≤4时，-3≤y≤5．函数有最小值，∴b-4a=-3，当a<0时，当1≤x≤4时，-3≤y≤5，函数有最大值，∴b-4a=5，故答案为：-3或5．求出顶点坐标，分两种情形分别求解即可．本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．17.【答案】解：(3)0+2-1+2×22-|-12| =1+12+1-12 =2． 【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，乘法，最后算加减即可．本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18.【答案】解：3x2+2x-5=0．(3x+5)(x-1)=0，3x+5=0或x-1=0，所以x1=-53，x2=1． 【解析】先利用因式分解法把方程转化为3x+5=0或x-1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．19.【答案】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，-2+t=-1，-2t=2m，解得t=1，m=-1，即m的值为-1，方程的另一个根为1． 【解析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，-2+t=-1，-2t=2m，然后分别解方程得到t与m的值．本题考查了根与系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根的关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca．20.【答案】解：(1)设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×(1+x)2=12100，解得x1=0.1，x2=-2.1(不合题意，舍去)；答：捐款增长率为10%．(2)12100×(1+10%)=13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款． 【解析】(1)解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×(1+每次增长的百分率)2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；(2)第三天收到捐款钱数×(1+每次增长的百分率)=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×(1+每次增长的百分率)2=第三天收到捐款钱数．21.【答案】解：设抛物线解析式y=a(x+1)2-3(a≠0)．把点B(1,-1)代入，得a(1+1)2-3=-1，解得a=12．故该抛物线解析式为：y=12(x+1)2-3． 【解析】设抛物线解析式为顶点式y=a(x+1)2-3(a≠0)，把点B(1,-1)代入，即利用待定系数法求出抛物线的解析式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22.【答案】(1)证明：Δ=(a+3)2-4(a+1)=a2+6a+9-4a-4=a2+2a+5=(a+1)2+4，∵(a+1)2≥0，∴(a+1)2+4>0，即Δ>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：根据题意得x1+x2=-(a+3)，x1x2=a+1，∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2-2x1x2=10，∴(a+3)2-2(a+1)=10，整理得a2+4a-3=0，解得a1=-2+7，a2=-2-7，即a的值为-2+7或-2-7． 【解析】(1)先计算判别式，再进行配方得到Δ=(a+1)2+4，然后根据非负数的性质得到Δ>0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=-(a+3)，x1x2=a+1，再利用完全平方公式由x12+x22=10得(x1+x2)2-2x1x2=10，则(a+3)2-2(a+1)=10，然后解关于a的方程即可．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．23.【答案】450  y=-10x+1000 【解析】解：(1)当x=55时月销售量：500-10×(55-50)=450(kg)，故答案为：450；(2)由题意得：y=500-10(x-50)=-10x+1000，故答案为：y=-10x+1000；(3)设利润为w元，由题意可知，w=(x-40)[500-10(x-50)] =-10x2+1400x-40000；∵-10<0，∴当x=-b2a=70时，w最大=4ac-b24a=9000(元)．即当售价定为70元时会获最大利润，最大利润为9000元．(1)根据“销售价每涨1元，月销售量将减少10千克”可得出结论；(2)根据“销售价每涨1元，月销售量将减少10千克”可得出结论；(3)利用已知表示出每千克的利润以及销量进而表示出总利润即可，再利用公式法求出答案．本题考查二次函数的性质、配方法等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)由题意可知AB为x米，则BC=(40-2x)米，∴y=(40-2x)x=-2x2+40x；∵墙长20米，且边长大于0，∴0<40-2x≤20，解得10≤x<20，∴自变量x的取值范围为：10≤x<20；(2)能达到，由题意知，当y=50时，-2x2+40x=50，解得：x1=10+53，x2=10-53<10(不合题意，舍去)，∴当x=10+53时，花园面积能达到50平方米；(3)y=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，∵-2<10，10≤x<20，∴当x=10时，y最大，最大值为200，答：当x是10米时，矩形场地面积y最大，最大面积是200平方米． 【解析】(1)由矩形的面积公式列出函数解析式此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意利用墙长20米判定是否符合题意．25.【答案】解：(1)∵抛物线过点B(6,0)，C(-2,0)，∴设抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)= a(x-6)( x+2)( a≠0)，将点A(0,6)代入y= a(x-6)( x+2)，得-12 a=6，解得a=-12，∴抛物线的解析式为y=-12(x-6)( x+2)=-12x2+2 x+6；(2)设直线AB的解析式为y= kx+ b(k≠0)，将点A(0,6)，B(6,0)代入y= kx+ b(k≠0)，得6=b0=6k+b，∴k=-1b=6，则直线AB的解析式为y=- x+6；如图1，过点P作PN// y轴，交AB于点N， 设P点坐标为(t，-12 t 2+2 t+6)(0< t<6)，则N(t，- t+6)，∴PN=yP-yN=-12 t 2+2 t+6-(-t+6)=-12 t 2+2 t+6+ t-6=-12 t 2+3 t．∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅(xB-xA)=12×(-12t 2+3t)×6=-32( t-3)2+272，∴当t=3，-12 t 2+2 t+6=-92+6+6=152，即点P位于(3,152)时，△ PAB的面积有最大值，最大值是272；(3)由(1)知抛物线的解析式为y=-12(x-6)( x+2)=-12x2+2 x+6，则抛物线的顶点D的坐标为(2,8)，点A(0,6)，如图2，作点A关于x轴的对称点A'(0,-6)，连接DA'交x轴于点M，则A'M=AM，此时，△ADM的周长最小， 理由：△ADM的周长=AD+AM+DM=(2-0)2+(6-8)2+A'M+DM=22+A'D为最小，则△ADM的周长最小值=22+A'D=22+(2-0)2+(8+6)2=122，由点D、A'的坐标知，直线DA'的表达式为y=7x-6，令y=0，即y=7x-6=0，解得x=67，即点M(67,0)． 【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)利用S△PAB=S△PAN+S△PBN，即可求解；(3)作点A关于x轴的对称点A'(0,-6)，连接DA'交x轴于点M，此时，△ADM的周长最小，进而求解．本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质和三角形周长最小值的求法，是本题解题的关键．x…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…