沪科版8.4 因式分解优秀单元测试复习练习题

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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【沪科版】
专题8.12第8章整式乘法与因式分解单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•浦东新区期中）下列各式中，运算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．（﹣a）2•（﹣a）3＝a5
C．（a2）3＝a5 D．a3•a2＝a5
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方解决此题．
【解析】A．根据合并同类项法则，a3+a2≠a5，那么A不正确．
B．根据同底数幂的乘法，（﹣a）2•（﹣a）3＝（﹣a）5＝﹣a5，那么B不正确．
C．根据幂的乘方，（a2）3＝a6，那么C不正确．
D．根据同底数幂的乘法，a3•a2＝a5，那么D正确．
故选：D．
2．（2021•泰州）（﹣3）0等于（　　）
A．0 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），化简进而得出答案．
【解析】（﹣3）0＝1．
故选：B．
3．（2020秋•东坡区期末）已知3x＝2，3y＝3，则3x+y的值为（　　）
A．6 B．5 C．36 D．3
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算．
【解析】原式＝3x•3y
＝2×3
＝6，
故选：A．
4．（2021秋•石狮市期末）下列多项式能用“两数和（差）的平方公式”进行因式分解的是（　　）
A．x2+y2 B．x2﹣x+1 C．x2+2x﹣1 D．4x2﹣4x+1
【分析】由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得，4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，据此判断即可．
【解析】A．x2+y2不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
B．x2﹣x+1不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
C．x2+2x﹣1不能利用完全平方公式进行分解，故本选项不合题意；
D．4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（2019秋•海珠区校级月考）已知x2+mx+16是某一多项式的平方，则m的值是（　　）
A．±32 B．±16 C．±8 D．±4
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解析】∵x2+mx+16＝x2+mx+42，
∴mx＝±2x•4，
解得：m＝±8．
故选：C．
6．（2019春•西湖区校级月考）在展开多项式（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中，常数项为﹣30，则a等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据多项式乘以多项式法则，式子中的常数项为每个多项中常数项相乘的结果，即为﹣3×2a＝﹣6a，由此简便运算．
【解析】观察式子（x2+x﹣3）（x2﹣2x+2a）中常数项为﹣3×2a＝﹣6a，
∵常数项为﹣30，
∴﹣6a＝﹣30，
∴a＝5；
故选：C．
7．（2020春•潜山市期末）（2x+p）（x﹣2）的展开式中，不含x的一次项，则p值是（　　）
A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．4
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn计算，再根据乘积中不含x的一次项，得出它的系数为0，即可求出p的值．
【解析】根据题意得：
（2x+p）（x﹣2）＝2x2﹣4x+px﹣2p＝2x2+（﹣4+p）x﹣2p，
∵（2x+p）与（x﹣2）的乘积中不含x的一次项，
∴﹣4+p＝0，
∴p＝4；
故选：D．
8．（2020春•竞秀区期末）某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断该多项式是（　　）
A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．无法确定
【分析】根据整式的减法法则求出多项式，得到答案．
【解析】根据题意得：多项式为x2﹣x+1﹣（﹣3x2），
x2﹣x+1﹣（﹣3x2）
＝x2﹣x+1+3x2
＝4x2﹣x+1，
故选：A．
9．（2019秋•中牟县期中）如图①是一个边长为a+b的正方形，李明将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（　　）

A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】用代数式分别表示图①、图②的阴影部分面积即可得出答案．
【解析】如图①，S阴影＝S大正方形﹣S小正方形＝（a+b）2﹣（a2+b2），
图②菱形的对角线的长分别为2a，2b，因此S阴影＝S菱形＝×2a×2b＝2ab，
所以有（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，
故选：C．
10．（2013秋•合川区校级期末）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（　　）个
①ac﹣（b﹣c）c；
②（a﹣c）c+bc；
③（a﹣c）c+c2+（b﹣c）c；
④ab+bc﹣c2；
⑤ab﹣（a﹣c）（b﹣c）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】添加不同的辅助线，将得到不同的图形，面积公式也就不一样，考虑问题要全面．
【解析】L型钢材的面积可以用5中方法求：

①如第一个图，L的面积＝左边竖着的矩形的面积+下面横着的矩形的面积＝ac+（b﹣c）c；
②如第二个图，L的面积＝上边竖着的矩形的面积+下面横着的矩形的面积＝（a﹣c）c+bc；
③如第三个图，L的面积＝两个直角梯形的面积和＝（a+a﹣c）c+（b+b﹣c）c＝（2a﹣c）c+（2b﹣c）c＝（a﹣c）c+c2+（b﹣c）c；
④如第四个图，L的面积＝竖着的大矩形的面积+横着的大矩形的面积﹣重叠部分的正方形的面积＝ac+bc﹣c2．
⑤如第五个图，L的面积＝大矩形的面积﹣由辅助线构成的小矩形的面积＝ab﹣（a﹣c）（b﹣c）．
因此①②③⑤是正确的．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•朝阳区期末）ax＝5，ay＝3，则ax﹣y＝　　．
【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可．
【解析】∵ax＝5，ay＝3，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝5÷3＝．
故答案为：
12．（2019秋•仁寿县期末）﹣12019+22020×（）2021＝　　．
【分析】根据幂的定义以及积的乘方运算法则化简计算即可．
【解析】﹣12019+22020×（）2021
＝﹣1+22020×（）2020×
＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：
13．（2021春•沙坪坝区校级期中）若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a﹣b的值为　1　．
【分析】根据因式分解的结果确定出a的值即可．
【解析】根据题意得：x2+ax+b＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，
则a＝﹣1，b＝﹣2，
所以a﹣b＝﹣1﹣（﹣2）＝﹣1+2＝1，
故答案为：1．
14．（2020秋•梁平区期末）一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，用代数式表示它的长为　4x﹣1　．
【分析】直接利用长方形面积求法以及整式的除法运算法则计算得出答案．
【解析】∵一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，
∴它的长为：（12x2﹣3x）÷3x＝4x﹣1．
故答案为：4x﹣1．
15．（2021春•安徽月考）已知x+y＝﹣6，x﹣y＝2．则：
（1）x2﹣y2＝　﹣12　．
（2）x2﹣3xy+y2＝　﹣4　．
【分析】（1）原式利用平方差公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
（2）先利用已知条件变形求出xy，再利用完全平方公式变形，代入计算即可求出值．
【解析】（1）∵x+y＝﹣6，x﹣y＝2，
∴原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣6×2＝﹣12，
（2）∵x+y＝﹣6，x﹣y＝2，
∴（x+y）2＝36，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝36，x2﹣2xy+y2＝4，
∴4xy＝32，
∴xy＝8，
∴x2﹣3xy+y2＝（x﹣y）2﹣xy＝4﹣8＝﹣4．
故答案为：﹣12，﹣4．
16．（2020春•单县期末）若m2﹣n2＝5，则（m+n）2•（m﹣n）2的值是　25　．
【分析】已知等式左边利用平方差公式分解，原式变形后代入计算即可求出值．
【解析】∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝5，
∴原式＝[（m+n）（m﹣n）]2＝52＝25．
故答案为：25．
17．（2020春•永定区校级期末）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是　﹣3　．
【分析】直接利用多项式乘法结合已知进而得出a，b的值，进而得出答案．
【解析】∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），
∴（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，则a＝6，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），
∴（x+l）（x+9）＝x2+10x+9，则b＝9，
故a﹣b＝6﹣9＝﹣3．
故答案为：﹣3．
18．（2019春•市北区期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b，如果a+b＝14，ab＝60，那么阴影部分的面积是　8　．

【分析】根据两正方形的面积减去两三角形的面积表示出阴影部分面积，化简得到最简结果，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
【解析】根据题意得：
S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab﹣b2
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]．
当a+b＝14，ab＝60时，
S阴影＝×（196﹣180）＝8．
故答案为：8．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•凤翔县期末）分解因式：
（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；
（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．
【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解析】（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣1）
＝（x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；
（2）原式＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1
＝（x﹣y﹣1）2．
20．（2020春•鼓楼区期末）计算：
（1）（﹣a）5•a2+a•（﹣a6）；
（2）（y﹣2x）（x+2y）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可．
【解析】（1）原式＝﹣a5•a2﹣a⋅a6
＝﹣a7﹣a7
＝﹣2a7；

（2）原式＝xy+2 y2﹣2x2﹣4xy
＝2y2﹣2x2﹣3xy．
21．（2021春•门头沟区期末）先化简，再求值：
已知x﹣y＝1，求（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）的值．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x﹣y＝1代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】（x+y）（x﹣y）+（y﹣1）2﹣x（x﹣2）
＝x2﹣y2+y2﹣2y+1﹣x2+2x
＝2x﹣2y+1，
当x﹣y＝1时，原式＝2（x﹣y）+1＝2×1+1＝3．
22．（2020秋•铜梁区校级期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）分别判断36和54这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2n和2n﹣2（其中n取正整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）小于101的所有神秘数共有　13　个．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）根据“神秘数”是4的奇数倍，得出结果便可．
【解析】（1）36是神秘数，54不是神秘数．
理由如下：∵36＝102﹣82＝100﹣64，
∴36是神秘数，
∵54不是两个连接奇数的平方差，
∴54不是神秘数；
（2）是．
理由如下：∵（2n）2﹣（2n﹣2）2＝2×（4n﹣2）＝4（2n﹣1），
∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；
（3）由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，
而小于101的4的奇数倍有4，12，20，28，36，44，52，60，68，76，84，92，100共13个，
故答案为13．
23．（2020春•三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．

（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1　（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2　，
图2　（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2　，
图3　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．
【解析】（1）图1、；
图2、；
图3、．
（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，
大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，
则
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，
∴x﹣y＝±7．
24．（2021春•瑶海区校级期中）小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
（1）通过计算小正方形面积，可推出（x+y）2，xy，（x﹣y）2三者的等量关系式为：　（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2　．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a+b＝4，ab＝时，（a﹣b）2＝　14　．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣50）（40﹣2x）＝16时，求（4x﹣90）2的值．

【分析】（1）直接利用小正方形面积得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形求出答案；
（3）利用多项式乘法将已知变形，进而求出答案．
【解析】（1）根据小正方形的面积可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
故答案为：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy；
（2），
故答案为：14．
（3）设A＝2x﹣50，B＝40﹣2x 则A﹣B＝4x﹣90，A+B＝﹣10，A×B＝16．
所以（4x﹣90）2＝（A﹣B）2
＝（A+B）2﹣4AB
＝（﹣10）2﹣4×16
＝100﹣64
＝36．