广东省深圳市翠园教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份广东省深圳市翠园教育集团2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了下列说法等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市翠园教育集团九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每题3分）
1．下列方程中①3x2+x＝20；②2x2﹣3x+4＝0；③x2﹣＝4；④x2＝1；⑤x2﹣3x+3＝0，一元二次方程有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．已知，＝＝且b+d≠0，下列各式正确的是（　　）
A．3c＝4d B． C． D．
3．下列说法：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（2）有一个内角为直角的平行四边形是矩形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
（5）四边形各边中点连线所得的图形是平行四边形；
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程（　　）
A．100（1+x）2＝500
B．100（1+x2）＝500
C．100（1+x）+100（1+x）2＝500
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝500
5．某校举行演讲比赛，小李、小吴与另外两位同学闯入决赛，则小李和小吴获得前两名的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣5x+6＝0 B．x2﹣5x﹣6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
7．在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
9．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　）

A．4 B．2 C．4 D．2
10．如图，△ABC的面积为40cm2，DE＝2AE，CD＝3BD，则四边形BDEF的面积等于（　　）

A．cm2 B．9cm2 C．cm2 D．8.5cm2
二.填空题（共5小题，每题3分）
11．如果2x＝3y，那么＝　 　．
12．如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，设AB＝1m，则线段AC＝　 　m．

13．已知关于x的方程+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　．
14．等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣10b＝6a﹣34，则这个三角形的周长为 　 　．
15．如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG绕点A旋转，给出下列结论：①4BE＝3DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝315；④当∠BAG＝60°时，4S△ABG＝3S△ADG．其中正确的结论 　 　．

三、解答题（共7小题，共55分）
16．（6分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝（1﹣x）2．
17．（7分）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40﹣70分钟以内完成”，C表示“70﹣90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）这次调查的总人数是 　 　人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 　 　°；C类扇形所占的百分比是 　 　．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
18．（7分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
（3）填空：点A2的坐标 　 　；△ABC与△A2B2C2的周长比是 　 　．

19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BMD的面积．

20．（7分）为促进新旧功能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？

21．（10分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

22．（10分）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．


2022-2023学年广东省深圳市翠园教育集团九年级（上）期中数学试卷
（参考答案与详解）
一.选择题（共10小题，每题3分）
1．下列方程中①3x2+x＝20；②2x2﹣3x+4＝0；③x2﹣＝4；④x2＝1；⑤x2﹣3x+3＝0，一元二次方程有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：一元二次方程有①3x2+x＝20，②2x2﹣3x+4＝0，④x2＝1，⑤x2﹣3x+3＝0，共4个，
故选：C．
2．已知，＝＝且b+d≠0，下列各式正确的是（　　）
A．3c＝4d B． C． D．
【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵＝，
∴4c＝3d，所以A选项不符合题意；
∵＝＝，且b+d≠0，
∴＝，所以B选项符合题意；
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，所以C选项不符合题意；
∵＝，
∴＝＝﹣，所以D选项不符合题意．
故选：B．
3．下列说法：
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（2）有一个内角为直角的平行四边形是矩形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
（5）四边形各边中点连线所得的图形是平行四边形；
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
（2）有一个内角为直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
（5）四边形各边中点连线所得的图形是平行四边形，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：B．
4．按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程（　　）
A．100（1+x）2＝500
B．100（1+x2）＝500
C．100（1+x）+100（1+x）2＝500
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝500
【分析】根据该企业4月份的利润及利润平均月增长率，可得出该企业5月份的利润是100（1+x）万元，6月份的利润是100（1+x）2万元，结合该企业第二季度的总利润达到500万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该企业4月份的利润是100万元，且利润平均月增长率为x，
∴该企业5月份的利润是100（1+x）万元，6月份的利润是100（1+x）2万元．
依题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝500．
故选：D．
5．某校举行演讲比赛，小李、小吴与另外两位同学闯入决赛，则小李和小吴获得前两名的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，以及小李和小吴获得前两名的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将另外两名同学分别记为甲、乙，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小李和小吴获得前两名的结果有2种，
∴小李和小吴获得前两名的概率为．
故选：D．
6．若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣5x+6＝0 B．x2﹣5x﹣6＝0 C．x2﹣6x+5＝0 D．x2﹣6x﹣5＝0
【分析】以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0，根据这个公式直接代入即可得到所求方程．
【解答】解：若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是x2﹣6x+5＝0，
故选：C．
7．在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】若△BAD∽△CBD，可得∠ADB＝∠BDC＝90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．
故选：C．
8．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
【解答】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
9．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　）

A．4 B．2 C．4 D．2
【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF＝90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：连接AC、CF，如图：

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵BC＝8，CE＝4，
∴AC＝8，CF＝4，
由勾股定理得，AF＝＝4，
∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，
∴CH＝AF＝2，
故选：B．
10．如图，△ABC的面积为40cm2，DE＝2AE，CD＝3BD，则四边形BDEF的面积等于（　　）

A．cm2 B．9cm2 C．cm2 D．8.5cm2
【分析】连接DF，根据DE＝2AE，CD＝3BD，可知S△FDE＝2S△FAE，S△CDE＝2S△CAE，S△CDF＝3S△BDF，S△ACD＝3S△ABD，根据△ABC的面积等于40cm2即可得出S△ACD＝S△ABC＝30cm2，S△ABD＝S△ABC＝10cm2，S△CDE＝S△ACD＝20cm2，S△CAE＝S△ACD＝10cm2，根据面积列出方程解出△AEF的面积即可解答．
【解答】解：连接DF，
∵DE＝2AE，
∴S△FDE＝2S△FAE，S△CDE＝2S△CAE，
∵CD＝3BD，
∴S△CDF＝3S△BDF，S△ACD＝3S△ABD，
∵△ABC的面积等于40cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝30cm2，S△ABD＝S△ABC＝10cm2，
∴S△CDE＝S△ACD＝20cm2，S△CAE＝S△ACD＝10cm2，
设S△FAE＝x，S△FBD＝y，
则S△FDE＝2S△FAE＝2x，
∴，
解得，
∴四边形BDEF的面积为S△ABD﹣S△FAE＝10﹣＝（cm2）．
故选：A．

二.填空题（共5小题，每题3分）
11．如果2x＝3y，那么＝　8　．
【分析】根据已知可得x＝1.5y，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴x＝1.5y，
∴＝＝＝8，
故答案为：8．
12．如图，在线段AB上找到一个点C，且AC＜BC，满足AC：CB＝CB：AB，设AB＝1m，则线段AC＝　　m．

【分析】根据图示得出AC的长即可．
【解答】解：设AB＝1m，
∵AC：CB＝CB：AB，
∴AC：（1﹣AC）＝（1﹣AC）：1，
∴AC＝，
故答案为：．
13．已知关于x的方程+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，继而即可得出m的值．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣10b＝6a﹣34，则这个三角形的周长为 　11或13　．
【分析】已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出等腰三角形周长．
【解答】解：已知等式变形得：（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣5）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
解得：a＝3，b＝5，
当3是腰时，三边长为3，3，5，符合三角形三边关系，周长为3+3+5＝11；
当3是底边时，三边长为3，5，5，符合三角形三边关系，周长为3+7+7＝13．
则这个三角形的周长为11或13．
故答案为：11或13．
15．如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG绕点A旋转，给出下列结论：①4BE＝3DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝315；④当∠BAG＝60°时，4S△ABG＝3S△ADG．其中正确的结论 　②④　．

【分析】通过证明△ADG∽△ABE，由相似三角形的性质可求3BE＝DG，故①错误；由相似三角形的性质可得∠AEB＝∠AGD，由余角的性质可证BE⊥DG，故②正确；由勾股定理可求BG2+DE2＝325，故③错误；分别求出S△ABG，S△ADG，即可判断④，即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°，＝，＝，
∴∠DAG＝∠BAE，，
∴△ADG∽△ABE，
∴＝＝，
∴3BE＝DG，故①错误；
如图：设BE与DG交于点H，

∵△ADG∽△ABE，
∴∠AEB＝∠AGD，
又∵∠AOE＝∠GOH，
∴∠EAO＝∠GHO＝90°，
∴BE⊥DG，故②正确；
如图，连接BD，GE，DE，BG，

∵AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，
∴BD2＝AB2+AD2＝81+144＝225，GE2＝AE2+AG2＝100，
∵BE⊥DG，
∴BH2+DH2＝BD2，BH2+HG2＝BG2，HG2+HE2＝GE2，DH2+HE2＝DE2，
∴BD2+GE2＝BG2+DE2，
∴BG2+DE2＝325，故③错误；
如图，过点G作GN⊥AB于N，GP⊥直线AD于P，

∵∠BAP＝90°，
∴四边形APGN是矩形，
∴AN＝GP，NG＝AP，
∵∠BAG＝60°，
∴∠GAP＝30°，
∴GP＝AG＝4，AP＝PG＝4，
∴S△ABG＝×AB•NG＝×9×4＝18，S△ADG＝×AD•GP＝×12×4＝24，
∴4S△ABG＝3S△ADG．故④正确；
故答案为：②④．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．（6分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝（1﹣x）2．
【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到3x（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x﹣x+1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）3x（x﹣1）＝（1﹣x）2，
3x（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0，
（x﹣1）（3x﹣x+1）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣x+1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣．
17．（7分）“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40﹣70分钟以内完成”，C表示“70﹣90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）这次调查的总人数是 　40　人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 　108　°；C类扇形所占的百分比是 　45%　．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）用A类学生人数除以所占百分比可得这次调查的总人数；用B类学生人数除以总人数再乘以360°，即可得B类扇形的圆心角；先求出C类学生人数，进而可得C类扇形所占的百分比．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）这次调查的总人数为6÷15%＝40（人），
扇形统计图中，B类扇形的圆心角为＝108°，
C类的学生人数为40﹣6﹣12﹣4＝18（人），
∴C类扇形所占的百分比为×100%＝45%．
故答案为：40；108；45%．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
18．（7分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；
（3）填空：点A2的坐标 　（3，6）　；△ABC与△A2B2C2的周长比是 　1：2　．

【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长MA1到A2使MA2＝2MA1，延长MB1到B2使MB2＝2MB1，延长MC1到C2使MC2＝2MC1，从而得到△A2B2C2；
（3）先利用轴对称的性质得到△ABC≌△A1B1C1，再根据位似的性质得到△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，所以△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）点A2的坐标为（3，6），
∵△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1，
∴△ABC≌△A1B1C1，
∵△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为1：2，
∴△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2，
∴△ABC与△A2B2C2的周长的比为1：2．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BMD的面积．

【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠MDO＝∠BNO，根据线段垂直平分线性质得出BM＝DM，BO＝DO，根据全等三角形的判定定理得出△MDO≌△NBO，根据全等三角形的性质得出MD＝BN，再根据菱形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出∠A＝90°，根据勾股定理得出AB2+AM2＝BM2，求出AM，求出DM，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO＝∠BNO，
∵对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，
∴BM＝DM，BO＝DO，
在△MDO和△NBO中，
，
∴△MDO≌△NBO（ASA），
∴MD＝BN，
∵AD∥BC，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵BM＝DM，
∴四边形BMDN是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
由勾股定理得：AB2+AM2＝BM2，
∵AB＝4，AD＝8，
∴42+AM2＝（8﹣AM）2，
解得：AM＝3，
∴DM＝5，
∴△BMD的面积＝＝＝10．
20．（7分）为促进新旧功能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？

【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用月利润＝每台的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（28，60），（32，40）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y＝﹣5x+200．
（2）依题意得：（x﹣25）（﹣5x+200）＝70，
整理得：x2﹣65x+1014＝0，
解得：x1＝26，x2＝39（不符合题意，舍去）．
答：该设备的销售单价应是26万元/台．
21．（10分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

【分析】（1）由∠ACB＝45°，AB＝AC，得∠ABD＝∠ACB＝45°；∴∠BAC＝90°，由正方形ADEF，可得∠DAF＝90°，AD＝AF，∠DAF＝∠DAC+∠CAF；∠BAC＝∠BAD+∠DAC；∴∠CAF＝∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣x，易证△AQD∽△DCP，∴，∴，问题可求．②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，∴DQ＝4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得，∴，问题解决．
【解答】解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB＝AC，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°．
由正方形ADEF得AD＝AF，
∵∠DAF＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD．
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．
∴CF⊥BC．
∴CF⊥BD．
（2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作GA⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGD＝45°，
∴AC＝AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD．

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．
∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA＝45°，
∴AQ＝CQ＝4，
∴DQ＝4+x．
过A作AQ⊥BC，
∴∠Q＝∠FAD＝90°，
∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，
∴∠ADQ＝∠AFC′，
则△AQD∽△AC′F．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴．


22．（10分）问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．

【分析】问题背景
由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
尝试应用
连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出＝3，则可求出答案．
拓展创新
过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出，证明△BDM∽△CDA，得出，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴＝3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴＝3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝2＝6，
∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，
∴AD＝．