重庆市南岸区珊瑚初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份重庆市南岸区珊瑚初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共38页。试卷主要包含了﹣的倒数是，在比例尺为1，下列计算正确的是，如图，要拧开一个边长为a等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市南岸区珊瑚初级中学九年级（上）期中数学试卷
一.选择题。（共12小题，每题4分，共48分）
1．﹣的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣5 C． D．5
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地间的图上距离为25厘米，则两地间的实际距离用科学记数法表示为（　　）
A．1.25×105米 B．12.5×105米 C．1.25×106米 D．1.25×107米
4．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 B．a6÷a3+a2＝2a2
C．2a+3b＝5ab D．a2•a4＝a8
5．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（　　）

A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
6．如图所示，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形DBFE是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC
7．受疫情反弹的影响，某景区今年3月份游客人数比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，随着疫情逐步得到控制，预计5月份游客人数将比2月份翻一番（即是2月份的2倍），设5月份与4月份相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（　　）
A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
8．直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，则它的斜边为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．2
9．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑨个图中●的个数为（　　）

A．50 B．53 C．64 D．73
10．若整数a使得关于x的方程2﹣＝的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A．23 B．25 C．27 D．28
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PE+PF＝2；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤四边形OEPF的面积可以为3．⑥EF的最小值为2，其中正确的隹是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知：M＝x2+ax﹣3，N＝x+1（其中a为整数，且a≠0）；有下列结论，其中正确的结论个数有（　　）
①M•N中不含x2项，则a＝﹣1；
②若为整式，则a＝±2；
③若a是M+N＝0的一个根，则a2+；
④若关于x的方程M＝0的两个解分别是x1＝t2，x2＝2t﹣3，则实数a的最大值为4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题。（共4小题，每题4分，共16分）
13．计算：＝　 　．
14．已知两个相似三角形的周长比为2：3，若较大三角形的面积等于18cm2，则较小三角形面积等于 　 　．
15．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107，
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
仿照上述方法，探究的近似值为 　 　．

16．小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地．他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为 　 　元．
三、解答题。（共9小题，17-18题8分，19-25题10分，共86分）
17．（8分）计算：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）．
18．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E为AD边上一点，连接BE．
（1）用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹）
①在AB边上截取线段BF，使BF＝AE，连接CF，与BE交于点G；
②过点A作BE的垂线，垂足为H；
（2）在（1）所作图形中，求证：BF：FA＝BG：GH，请补全下面的证明过程．
证明：
∵　 　，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°．
由（1）知BF＝AE，在△ABE与△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴　 　．
∵∠1+∠2＝∠CBF＝90°，
∴∠BCF+∠2＝90°．
∵∠FGB是△BGC的一个外角，
∴　 　．
由（1）知AH⊥BE，
∴∠AHB＝∠FGB＝90°．
∴　 　．
∴BF：FA＝BG：GH．

19．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
20．（10分）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中AB＝AC，DE＝AE，点A为公共顶点，∠BAC＝∠AED＝90°．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N，点M不与点B重合，点N不与点C重合．
（1）求证：△BAN∽△CMA；
（2）已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出BN•CM的值；
②若BM＝CN，请求出MN的长．


21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
22．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
（1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
23．（10分）一个四位自然数m，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数m为“青年数”．“青年数”m的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P（m）；“青年数”m的千位数字与4的差记为Q（m），令F（m）＝．
例如：∵对7240，7﹣2＝5，4﹣0＝4，∴7240是“青年数”．
∵P（7240）＝2×（7+2）+4+0＝22，Q（7240）＝7﹣4＝3，
∴F（7240）＝＝．
又如：∵对5093，5﹣0＝5，但9﹣3≠4，∴5093不是“青年数”．
（1）请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的F（m）的值；
（2）若一个“青年数”m，当F（m）能被10整除时，求出所有满足条件的m．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA＝1，，直线交直线AB于点C．

（1）求直线AB的解析式及C点的坐标；
（2）如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE＝，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．



2022-2023学年重庆市南岸区珊瑚初级中学九年级（上）期中数学试卷（参考答案与详解）
一.选择题。（共12小题，每题4分，共48分）
1．﹣的倒数是（　　）
A．﹣ B．﹣5 C． D．5
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣的倒数是﹣5．
故选：B．
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．在比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地间的图上距离为25厘米，则两地间的实际距离用科学记数法表示为（　　）
A．1.25×105米 B．12.5×105米 C．1.25×106米 D．1.25×107米
【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
【解答】解：根据题意，0.25÷（1：5000000）
＝1250000
＝1.25×106（米）．
故选：C．
4．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 B．a6÷a3+a2＝2a2
C．2a+3b＝5ab D．a2•a4＝a8
【分析】利用积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故A符合题意；
B、a6÷a3+a2＝a3+a2，故B不符合题意；
C、2a与3b不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、a2•a4＝a6，故D不符合题意；
故选：A．
5．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（　　）

A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC＝，
∴AM＝6×＝3（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝AC，
∴AC＝2AM＝6（mm）．
解法2：连接OC、OD，过O作OM⊥CD于M，如图1所示：
则∠COD＝＝60°，
∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝6mm，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），
∴b＝2OM＝6（mm），
故选：B．


6．如图所示，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形DBFE是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC
【分析】当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，当BE⊥AC，可证AB＝BC，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；
【解答】解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE＝BC，EF＝AB，
∴DE＝EF，
∴四边形DBFE是菱形，故A正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，故B正确，不符合题意，
当BE⊥AC，可证AB＝BC，可得四边形DBFE是菱形，故C正确，不符合题意．
故选：D．
7．受疫情反弹的影响，某景区今年3月份游客人数比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，随着疫情逐步得到控制，预计5月份游客人数将比2月份翻一番（即是2月份的2倍），设5月份与4月份相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（　　）
A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
【分析】根据“5月份游客人数将比2月份翻一番（即是2月份的2倍）”列方程即可．
【解答】解：根据题意，得（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2，
故选：D．
8．直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，则它的斜边为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．2
【分析】根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形两直角边是方程x2﹣8x+14＝0的两根，
∴a+b＝8，ab＝14．
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣28＝36，
∴c＝6．
故选：C．
9．下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑨个图中●的个数为（　　）

A．50 B．53 C．64 D．73
【分析】根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1），据此可得．
【解答】解：因为图①中点的个数为4＝22﹣0，
图②中点的个数为8＝32﹣1，
图③中点的个数为13＝42﹣（1+2），
图④中点的个数为19＝52﹣（1+2+3），
……
所以图⑨中点的个数为102﹣（1+2+3+…+8）＝100﹣36＝64，
故选：C．
10．若整数a使得关于x的方程2﹣＝的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A．23 B．25 C．27 D．28
【分析】表示出分式方程的解，根据解为非负数确定出a的范围，表示出不等式组的解集，由解集中至少有3个整数解，确定出a的范围，进而求出a的具体范围，确定出整数a的值，求出之和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）﹣3＝﹣a，
整理得：2x﹣4﹣3＝﹣a，
解得：x＝，
∵分式方程的解为非负数，且a为整数，
∴≥0且≠2，即a≤7且a≠3，
不等式组整理得：，即﹣2＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥1，
综上，a的范围为1≤a≤7，即a＝1，2，4，5，6，7，
则满足条件的a之和为1+2+4+5+6+7＝25．
故选：B．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PE+PF＝2；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤四边形OEPF的面积可以为3．⑥EF的最小值为2，其中正确的隹是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】①根据ASA可证明△APE≌△AME；
②证明四边形OFPE是矩形，利用勾股定理计算BD的长，从而得OB的长，可得结论；
③利用勾股定理和矩形的对边相等可得结论；
③证明△BFN是等腰直角三角形和△OPF是直角三角形可作判断；
⑤根据矩形的面积＝长×宽列式，将S＝3代入解方程，方程无解可作判断．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵PM⊥AC，
∴∠AEM＝∠AEP＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME，故①正确；

②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴OB＝BD＝＝2，
∵∠AOB＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OF＝PE，
∵∠FBP＝45°，∠BFP＝90°，
∴△BFP是等腰直角三角形，
∴BF＝PF，
∴PE+PF＝OF+BF＝OB＝2，故②正确；
③在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
由PE＝OF，
∴PE2+PF2＝PO2，故③正确；
④∵∠CBF＝45°，∠BFN＝90°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
而△OPF是直角三角形，
∴△POF与△BNF不相似；故④错误；
⑤∵四边形OFPE是矩形，
∴四边形OEPF的面积＝PE•PF，
设PE＝x，则PF＝2﹣x，
若四边形OEPF的面积为3，则x（2﹣x）＝3，
x2﹣2x+3＝0，
Δ＝﹣4×1×3＝8﹣12＝﹣4＜0，
此方程无实数解，
∴四边形OEPF的面积不可以为3，故⑤错误；
⑥当OP⊥AB时，OP最小＝2，当EF＝OP时，EF最小，
EF的最小值为2，故⑥正确．
其中正确的是①②③⑥．
故选：C．
12．已知：M＝x2+ax﹣3，N＝x+1（其中a为整数，且a≠0）；有下列结论，其中正确的结论个数有（　　）
①M•N中不含x2项，则a＝﹣1；
②若为整式，则a＝±2；
③若a是M+N＝0的一个根，则a2+；
④若关于x的方程M＝0的两个解分别是x1＝t2，x2＝2t﹣3，则实数a的最大值为4．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】求得MN＝x3+（a+1）x2+（a﹣3）x﹣3，根据题意a+1＝0，求得a＝﹣1，即可判断①正确；由为整式，可知M能够分解出（x+1）这个因式，从而求得a＝﹣2，即可判断②错误；由题意求得2a2+a﹣2＝0，变形为a2＝，代入a2+，通过计算分式的加法，从而求得a2+＝，即可判断③错误；关于x的方程M＝0的两个解分别是x1＝t2，x2＝2t﹣3，则方程为（x﹣t2）（x﹣2t+3）＝0，整理得到a＝﹣t2﹣2t+3，配方即可得出a的最大值．
【解答】解：①M•N＝（x2+ax﹣3）（x+1）
＝x3+ax2﹣3x+x2+ax﹣3
＝x3+（a+1）x2+（a﹣3）x﹣3，
∵不含x2项，
∴a+1＝0，
∴a＝﹣1，故①符合题意；
②∵为整式，
∴M＝x2+ax﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝﹣2，故②不符合题意；
③若a是M+N＝0的一个根，
则a是x2+ax﹣3+x+1＝0的一个根，
∴a是x2+（a+1）x﹣2＝0的一个根，
∴a2+（a+1）a﹣2＝0，
∴2a2+a﹣2＝0，
∴a2＝，
∴a2+
＝+
＝
＝+2
＝+2
＝+2
＝，故③不合题意；
∵关于x的方程M＝0的两个解分别是x1＝t2，x2＝2t﹣3，
则方程为（x﹣t2）（x﹣2t+3）＝0，
整理得x2﹣2tx+3x﹣t2x+2t3﹣3t2＝0，
∴a＝﹣t2﹣2t+3，
∴a＝﹣t2﹣2t+3
＝﹣（t+1）2+4，
故a有最大值为4．故④符合题意．
故选：B．
二.填空题。（共4小题，每题4分，共16分）
13．计算：＝　1　．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝2﹣2+3+（﹣2）
＝1，
故答案为：1．
14．已知两个相似三角形的周长比为2：3，若较大三角形的面积等于18cm2，则较小三角形面积等于 　8cm2　．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，
∴两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，
又较大三角形的面积等于18cm2，
∴较小三角形的面积为8cm2，
故答案为：8cm2．
15．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107，
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
仿照上述方法，探究的近似值为 　8.75　．

【分析】根据题目提供的方法进行计算即可．
【解答】解：∵82＝64，92＝81而64＜76＜81，
∴＜＜，即8＜＜9，
∴设＝8+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形＝82+2×8•x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8•x+x2＝76，
当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，
∴≈8.75，
故答案为：8.75．

16．小李和小张一起承包36亩的土地作为果园基地．他们将36亩土地分成一号、二号、三号区域，三个区域的土地面积均为整数亩，分别用于种植苹果树、桃树、梨树其中的一种（每块区域可任意选择三种果树的一种，同一块区域只能种同一种果树）．小李和小张提出两种种植方案，小李的方案为：在一号区域种苹果、二号区域种桃树、三号区域种梨树；小张的方案为：在一号区域种苹果、在二号区域种梨树、在三号区域种桃树，每种树苗按亩计价，且单价为整数，苹果树苗每亩100元，桃树苗比梨树苗贵，且每亩差价不大于14元，不小于8元，苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，小李方案中，桃树和梨树共花费1590元，小张的方案比小李的方案少花30元．应如何安排三个区域种植树苗的类型，可以使花费最少，最少花费为 　2910　元．
【分析】由苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，知一号区域面积为15亩，设二号区域x亩，则三号区域（21﹣x）亩，设桃树每亩a元，梨树每亩b元，则，可得：（a﹣b）（2x﹣21）＝30，又8≤a﹣b≤14，a、b、x都是整数，故a﹣b＝10，2x﹣21＝3，从而可得x＝12，b＝70，a＝80，即可得最少花费为2910元．
【解答】解：∵苹果树苗占整个种植树苗的十二分之五，
∴一号区域面积为36×＝15（亩），
∴二号、三号区域共36﹣15＝21（亩），
设二号区域x亩，则三号区域（21﹣x）亩，设桃树每亩a元，梨树每亩b元，
根据题意可得：，
①﹣②得：（a﹣b）（2x﹣21）＝30，
∵8≤a﹣b≤14，a、b、x都是整数，
∴a﹣b、2x﹣21是30的因数，
∴a﹣b＝10，2x﹣21＝3，
∴x＝12，a＝b+10，
把x＝12代入①得12a+9b＝1590，
∴12（b+10）+9b＝1590，
解得b＝70，
∴a＝80，
∴二号区域12亩，则三号区域9亩，桃树每亩80元，梨树每亩70元，
∴面积最大的一号区域15亩种植每亩70元的梨树，面积最小的三号区域9亩种植每亩100元的苹果树，可以使花费最少，
最少花费为15×70+9×100+12×80＝2910（元），
故答案为：2910．
三、解答题。（共9小题，17-18题8分，19-25题10分，共86分）
17．（8分）计算：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根据分式的除法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算，即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）原式＝﹣•
＝﹣1
＝
＝．
18．（8分）如图，已知正方形ABCD，点E为AD边上一点，连接BE．
（1）用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹）
①在AB边上截取线段BF，使BF＝AE，连接CF，与BE交于点G；
②过点A作BE的垂线，垂足为H；
（2）在（1）所作图形中，求证：BF：FA＝BG：GH，请补全下面的证明过程．
证明：
∵　正方形ABCD为正方形　，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°．
由（1）知BF＝AE，在△ABE与△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴　∠1＝∠BCF　．
∵∠1+∠2＝∠CBF＝90°，
∴∠BCF+∠2＝90°．
∵∠FGB是△BGC的一个外角，
∴　∠FGB＝∠2+∠BCF＝90　．
由（1）知AH⊥BE，
∴∠AHB＝∠FGB＝90°．
∴　FG∥AH　．
∴BF：FA＝BG：GH．

【分析】（1）①在BA上截取BF＝AE；②过A点作BE的垂线得到AH；
（2）先利用正方形的性质得到AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，再证明△ABE≌△BCF得到∠1＝∠BCF，接着证明∠FGB＝90°，所以AH∥CF，根据利用平行线分线段成比例定理得到结论．
【解答】（1）解：如图，CF、AH为所作；

（2）证明：∵正方形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
由（1）知BF＝AE，在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠1＝∠BCF，
∵∠1+∠2＝∠CBF＝90°，
∴∠BCF+∠2＝90°，
∵∠FGB是△BGC的一个外角，
∴∠FGB＝∠2+∠BCF＝90°，
由（1）知AH⊥BE，
∴∠AHB＝∠FGB＝90°，
∴FG∥AH，
∴BF：FA＝BG：GH，
故答案为：正方形ABCD为正方形，∠1＝∠BCF，∠FGB＝∠2+∠BCF＝90°，FG∥AH，
19．（10分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝　1　，b＝　4　，c＝　92.5　，d＝　95　；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【分析】（1）利用唱票的形式得到a、b的值，根据中位数的定义确定c的值，根据众数的定义确定d的值；
（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c＝＝92.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，92.5，95；
（2）200×＝80，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率＝＝．
20．（10分）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中AB＝AC，DE＝AE，点A为公共顶点，∠BAC＝∠AED＝90°．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N，点M不与点B重合，点N不与点C重合．
（1）求证：△BAN∽△CMA；
（2）已知等腰直角三角形的斜边长为4．
①请求出BN•CM的值；
②若BM＝CN，请求出MN的长．


【分析】（1）利用三角形外角的性质可证∠BAN＝∠AMC，又由∠B＝∠C＝45°，可证明结论；
（2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由△BAN∽△CMA，得，则BN•CM＝8；
②由BM＝CN，得BN＝CM，由（1）知BN•CM＝8，得BN＝CM＝2，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°，
∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°，
∴∠BAN＝∠AMC，
∴△BAN∽△CMA；

（2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为4，
∴AB＝AC＝2，
∵△BAN∽△CMA，
∴，
∴＝，
∴BN•CM＝8，
故BN•CM的值为8；

（2）∵BM＝CN，
∴BN＝CM，
∵BN•CM＝8，
∴BN＝CM＝2，
∴MN＝BN+CM﹣BC＝4﹣4，
故MN的长为4﹣4．
21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6+1＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
22．（10分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元，进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
（1）今年2月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比第一周增加了个，“雪容融”的销量比第一周增加了m个，最终商家获利6600元，求m．
【分析】（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，根据一个冰墩墩的进价比一个“雪容融”的进价多40元且进货20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
（2）依题意得：（150﹣120）（120+m）+（100﹣m﹣80）（150+m）＝6600，
整理得：m2﹣10m＝0，
解得：m1＝10，m2＝0（不符合题意，舍去）．
答：m的值为10．
23．（10分）一个四位自然数m，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数m为“青年数”．“青年数”m的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P（m）；“青年数”m的千位数字与4的差记为Q（m），令F（m）＝．
例如：∵对7240，7﹣2＝5，4﹣0＝4，∴7240是“青年数”．
∵P（7240）＝2×（7+2）+4+0＝22，Q（7240）＝7﹣4＝3，
∴F（7240）＝＝．
又如：∵对5093，5﹣0＝5，但9﹣3≠4，∴5093不是“青年数”．
（1）请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的F（m）的值；
（2）若一个“青年数”m，当F（m）能被10整除时，求出所有满足条件的m．
【分析】（1）根据题中的定义进行判断；
（2）根据题意列方程，再根据10倍，20倍，30倍进行讨论，求出满足条件的整数解．
【解答】解：（1）7240不是“青年数”，9462是“青年数”，
理由：∵对5093，5﹣0＝5，9﹣3＝6≠4，
∴7240不是“青年数”；
∵对9462，9﹣4＝5，6﹣2＝4，
∴9462是“青年数”，
∵P（9462）＝2×（9+4）+6+2＝34，Q（9462）＝9﹣4＝5，
∴F（9462）＝＝；
（2）设“青年数”m的千位数是a，十位数是b，则m的百位数是a﹣5，个位数是b﹣4，（5≤a≤9，4≤b≤9），
则P（m）＝2（a+a﹣5）+b+b﹣4＝4a+3b﹣14，
Q（m）＝a﹣4，
∵F（m）能被10整除，
当P（m）＝10Q（m），有4a+3b﹣14＝10（a﹣4），
解得：a＝6，b＝5，或者a＝7，b＝8，
∴m＝6151或m＝7284；
当P（m）＝20Q（m），有4a+3b﹣14＝20（a﹣4），
解得：a＝5，b＝7，
∴m＝5073；
∴所有满足条件的m值为：6151或7284或5073．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA＝1，，直线交直线AB于点C．

（1）求直线AB的解析式及C点的坐标；
（2）如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB和OC的解析式，即可求得点C的坐标；
（2）先求出△OBC的面积，证明点P在点C的上方，设点P的坐标为（m，m），其中m＞0，由，求得m，得到点P的坐标，作四边形PP1MQ是平行四边形，则PQ＝P1M，证得PQ+QM+MA的最小值为P2A+MQ，由勾股定理求出答案即可；
（3）分两种情况：DF是正方形的边和DF为对角线，分别进行求解即可．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标是（0，1），
∵，
∴OB＝，
∴点B的坐标为（，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把点A 和点B的坐标代入可得，，
解得，
∴直线AB的解析式为，
联立直线和直线AB的解析式得，，
解得，
∴点C的坐标是（，）；

（2）∵OB＝，OA＝1，
∴AB＝＝2，
∴AB＝2OA，
∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，
∵直线OC：y＝x交直线AB于点C．
∴∠COB＝60°，
∴∠OCB＝90°，
∵，
∴点P在点C的上方，
∵P为直线OC上一动点且在第一象限内，
设点P的坐标为（m，m），其中m＞0，
∴点P到x轴的距离为m，
∵，
∴，
解得m＝，
∴m＝3，
∴点P的坐标是（，3），
如图，过点P向左作PP1∥x轴，且PP1＝，则P1的坐标为（，3），再作点P1关于x轴的对称点P2，则P2的坐标为（，﹣3），则连接AP2交x轴于点M，在x轴上截取，连接PQ，

由作图过程知四边形PP1MQ是平行四边形，则PQ＝P1M，
∴PQ+QM+MA的最小值为P1M+QM+MA＝P2M+QM+MA＝P2A+MQ，
作AA1⊥P1P2于点A1，则A1的坐标为（，1），则AA1＝，A1P2＝4，
∴PQ+QM+MA的最小值为P2A+MQ＝
＝
＝．
即PQ+QM+MA最小值为；

（3）存在，理由如下：
第一种情况，DF是正方形的边，由勾股定理得AB＝，
由点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0），由于平移规律相同，可得点A（0，1）平移到点D（﹣，），点B（，0）平移到点F（，﹣），
如图，以AB为边作正方形ABH2H1，过点H2作H2B1⊥x于点B1，

∵∠ABO+∠H2BB1＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠H2BB1＝∠OAB，
∵AB＝BH2，∠AOB＝∠BB1H2＝90°，
∴△ABO≌△BH2B1（AAS），
∴BB1＝AO＝1，H2B1＝BO＝，
∴OB1＝+1，
∴点H2的坐标为（+1，），
同理可得点H1的坐标为（1，+1），
点C的坐标是（，），点C沿OC移动到点O（0，0），
由于平移规律相同，可知点H1（1，+1），点H2（+1，），平移后的坐标即点H的坐标分别为（1﹣，+），（+1，﹣）；
②DF为对角线时，如图，

由题意可得DF＝AB＝2，
在Rt△DHF中，DH2+HF2＝DF2＝4，
∴DH2＝HF2＝2，
∴，
由点D（﹣，），F（，﹣），可知点K的坐标为（，﹣），
设HN的表达式为y＝k1x+b1，
∵HN⊥DF，OC⊥DF，
∴HN∥OC，
∴k1＝，
把点K的坐标代入y＝x+b1得，
﹣＝×+b1，
解得b1＝﹣1，
∴HN的表达式为y＝x﹣1，
设点H的坐标为（h，h﹣1），
由两点间距离公式得，DH＝，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴h﹣1＝，
∴点H的坐标为（，），
综上所述，点H的坐标是（1﹣，+）或（+1，﹣）或（，）．
25．（10分）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE＝，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．


【分析】（1）①根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
②根据全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质解答即可；
（2）连接CF，通过相似三角形的判定定理和方程思想解答即可．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∵AE＝，
∴DE＝，
∴AG＝5×，
∴AG＝．
②证明：∵AD∥BC，
∴∠EFN＝∠CMN，
∵∠ENF＝∠CNM，EN＝NC，
∴△ENF≌△CNM（AAS），
∴EF＝CM，
∵AE＝，AE＝DF，
∴DF＝，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝3，
∴CM＝3，
∵BC＝6，
∴BM＝3，
∴BM＝MC，
∴AB＝AC，
∴AM⊥BC．
（2）连接CF，
∵AB＝AC，AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC（SAS），
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠EHG＝∠EFG+∠CEF，
∴∠EHG＝∠EFG+∠CFE＝∠CFG，
∴EH∥CF，
∴＝，
∵HF＝2GH，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2AE，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵AD＝6，
∴x+2x＝6，
∴x＝2，
即AE＝2，
∴DF＝2，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝2．