陕西省西安交通大学附属中学2022-2023学年高一数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

西安交通大学附中2022~2023学年第一学期

高一第一次月考数学试题

一､单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合则（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 命题，，则是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A.  B.

C.  D.

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 已知集合，定义，则集合的所有真子集的个数为（　　）

A. 32 B. 31 C. 30 D. 以上都不正确

6. 若不等式解集为，则函数的图象可以为（    ）

A.  B.

C  D.

7. 若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B. 或

C. 或 D.

8. 关于x不等式的解集不可能是（　　）

A.  B.

C.  D.

二､多项选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题络出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9.  (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 下列命题正确的是

A.  B. ，使得

C. 是的充要条件 D. ，则

11. 使得成 立的充分非必要条件有（    ）

A.  B.

C.  D. 或

12. 已知，若方程的两个根是，则的值可以是（    ）

A. 1 B.

C.  D.

三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 设，集合，则___________．

14. 已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.

15. 已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．

16. 已知实数，满足，若，则的最小值是_______．

四､解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分）

17. 求下列不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

18. 在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若______，求实数的取值范围．

19. 若关于不等式的解集为A，不等式的解集为B．

（1）求集合A；

（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

20. 已知关于的不等式.

（Ⅰ）若不等式的解集为，求，的值；

（Ⅱ）求不等式的解集.

21. 迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.

（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；

（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.

22 已知函数.

（1）当时，求解关于的不等式；

（2）若方程有两个正实数根，求的最小值.

交大附中2022~2023学年第一学期

高一第一次月考数学试题

一､单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.

【详解】由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.

2. 命题，，则是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】

根据命题的否定形式直接得解.

【详解】命题的否定形式即条件不变，结论变相反，

：，或 解得

故选：B

【点睛】本题考查命题的否定形式，属于基础题.

3. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案

【详解】阴影部分表示的集合为，

故选

【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先求解不等式和，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由得，

由，得，即，

；反之，不成立.

 “”是“”的必要不充分条件.

故选：B

5. 已知集合，定义，则集合的所有真子集的个数为（　　）

A. 32 B. 31 C. 30 D. 以上都不正确

【答案】B

【解析】

【详解】本题考查的是集合子集个数问题．由条件可知，所以集合的所有真子集的个数为，应选B．

6. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.

【详解】由题可得和是方程的两个根，且，

，解得，

则，

则函数图象开口向下，与轴交于.

故选：C.

7. 若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B. 或

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解.

【详解】因为，

由基本不等得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8

由题可知， 即 ，解得，

故选：A

8. 关于x的不等式的解集不可能是（　　）

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先化简不等式，然后根据的取值进行分类讨论，由此求解出不可能的解集.

【详解】因为，所以，

当时，，不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

当时，，

若，，解集为；

若，，解集；

若，，解集为；

所以解集不可能是，

故选：A.

二､多项选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题络出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9.  (多选)已知命题:，，则命题成立的一个充分条件可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分性的定义、子集的性质进行求解即可.

【详解】由命题:，成立，得，解得.

故命题成立的一个充分条件是的子集，因此选项A、B、D符合，

故选：ABD.

10. 下列命题正确的是

A.  B. ，使得

C. 是的充要条件 D. ，则

【答案】AD

【解析】

【分析】对A．当时，可判断真假，对B.  当时，，可判断真假，对C.  当时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.

【详解】A．当时，不等式成立，所以A正确.
B.  当时，，不等式不成立，所以B不正确.
C.  当时，成立，此时，推不出.所以C不正确.
D.  由，因为，则,所以D正确.
故选：A D.
本题考查命题真假的判断，充要条件的判断，作差法比较大小，属于中档题.

11. 使得成 立的充分非必要条件有（    ）

A.  B.

C.  D. 或

【答案】ABC

【解析】

【分析】

解不等式，利用集合的包含关系可得出合适的选项.

【详解】由可得，如下图所示：

所以，不等式的解集为或，

A、B、C选项中的集合均为集合或的真子集，

因此，使得成 立的充分非必要条件有A、B、C选项.

故选：ABC.

【点睛】本题考查充分不必要条件的确定，同时也考查了分式不等式与高次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.

12. 已知，若方程的两个根是，则的值可以是（    ）

A 1 B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据基本不等式及韦达定理可解得结果.

【详解】由的两个实根是，，即，，

∴，

又，

∴，即，当且仅当时等号成立.

∴，可能值为C、D.

故选：CD.

三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 设，集合，则___________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．

【详解】根据题意，集合，

又，

，即，

故，，

则，

故答案为：

14. 已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.

【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)

【解析】

【分析】

选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.

【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.

①，③，

则，

所以.

故答案为：①③推出⑤

【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.

15. 已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.

【详解】因为对于一切实数恒成立，

所以，且，所以；

再由，使成立，

可得，所以，

所以，

因为，即，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故答案：

16. 已知实数，满足，若，则的最小值是_______．

【答案】16

【解析】

【分析】先由基本不等式放缩，然后再用基本不等式得最小值．

【详解】因为，所以，

，当且仅当，即时取等号，

所以，当且仅当，即时等号成立，此时．

故答案为：16．

四､解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分）

17. 求下列不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）   

（4）

【解析】

【分析】结合一元二次方程和二次函数以及一元二次不等式之间的关系，即可求得答案.

【小问1详解】

即，解得，

故不等式解集为；

【小问2详解】

即，

即 ，解得 ，

故不等式解集为；

【小问3详解】

即，

而，所以的解集为，

故的解集为；

【小问4详解】

因为恒成立，

故的解集为.

18. 在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若______，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）根据并集得定义求解即可；

（2）选①，由，得，列出不等式组，从而可得出答案.

选②，由“”是“”的充分不必要条件，得集合为集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

选③，根据列出不等式，解之即可得解.

【小问1详解】

解：当时，，，

所以；

【小问2详解】

解：若选择①，，则，

因为，所以，又，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择②，“”是“”的充分不必要条件，

则集合为集合的真子集，

因为，所以，

又，

所以，且，

解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择③，，

又因为，，

所以或，解得：或，

所以实数的取值范围是．

19. 若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B．

（1）求集合A；

（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用十字相乘法将原不等式化为，利用一元二次函数的性质即可求出集合；

（2）先利用分式不等式的解法求出集合，根据条件判断出，再列不等式组求出的范围.

【详解】（1）原不等式可化为：，解得，

所以集合；

（2）不等式可化为：，

等价于，解得，

所以集合，

因为是的必要不充分条件，所以，

故，解得.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法、必要不充分条件的应用和真子集的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于基础题.

20. 已知关于的不等式.

（Ⅰ）若不等式解集为，求，的值；

（Ⅱ）求不等式的解集.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；

【解析】

【分析】（Ⅰ）的两根为或，且，根据根与系数的关系即可求出，的值；

（Ⅱ）原不等式化为，即可求出不等式的解集．

【详解】解：（Ⅰ）不等式的解集为或，

的两根为或，且，

，，

解得，；

（Ⅱ）

，

即，

，，

或

原不等式解集为

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及方程的根与不等式的解集之间的关系，属于中档题

21. 迎进博，要设计的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000，四周空白的宽度为10，栏与栏之间的中缝空白的宽度按为5.

（1）试用栏目高与宽（）表示整个矩形广告面积；

（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.

【答案】（1）；（2）当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.

【解析】

【分析】（1）由题意知，所以，表示出广告的面积；

（2）由（1）可得，利用基本不等式可得出广告面积的最小值．

【详解】（1）由栏目高与宽（），可知，

广告的高为，宽为(其中)

广告的面积

（2）由，所以

当且仅当，即时取等号，此时.

故当广告矩形栏目的高为，宽为时，可使广告的面积最小为.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22. 已知函数.

（1）当时，求解关于的不等式；

（2）若方程有两个正实数根，求的最小值.

【答案】（1）；   

（2）6

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；

（2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案.

【小问1详解】

当时, 不等式即为，解得或，

故不等式解集为 ；

【小问2详解】

方程有两个正实数根，

即有两个正实数根，

故，解得；

所以，

令，则，

故，

当且仅当即时取得等号，

故的最小值为6.