幂函数、零点与函数的应用--函数的零点 练习+解析

这是一份幂函数、零点与函数的应用--函数的零点 练习+解析，共28页。
典例分析

题型一：函数的零点
【例1】 若，则方程的根是( )
A． B．－ C．2 D．－2
【考点】函数的零点 【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】A

【例2】 若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】B


【例3】 已知函数，若在上存在，使，则实数m的取值范围是 .
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 ∵在上存在，使， 则，
∴ ，解得.
所以， 实数m的取值范围是.
点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式
【答案】

【例4】 函数的零点所在区间为（ ）
A. （1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3）
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】C

【例5】 函数的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5)
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 易知函数在定义域内是增函数.
∵，，.

∴ ，即函数的零点在区间(2,3). 所以选B.
【答案】B

【例6】 函数的零点必落在区间 （ ）
A. B. C. D.(1,2)
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2009年，泉州市，高考模拟
【解析】
【答案】 C

【例7】 函数的零点所在的区间为 （ ）
.A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】B

【例8】 若函数有两个零点，则实数a的取值范围是 .
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2009年，山东文，高考
【解析】 设函数且和函数,则函数
有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.
【答案】

【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）； （2）.
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）易知函数在定义域R上是减函数.
用计算器或计算机作出的对应值表或图象.

-3
-2
-1
0
1
2
3

34
13
4
1
-2
-11
-32

由列表或图象可知，，，即，说明函数在区间内有零点，且仅有一个. 所以函数的零点所在大致区间为.
（2）易知函数在定义域R上是增函数.
用图形计算器或计算机作出图象.
由图象可知，，，即，说明函数在区间内有零点，且仅有一个. 所以函数的零点所在大致区间为.
【答案】（1）（2）

【例10】 已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.

－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2

－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点

【例11】 画出函数的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 通过作出、的对应值表(如下).

-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5

-1.25
2
2.25
1
-0.25
0
3.25
所以图象为

由上表和上图可知，，，即，说明这个函数在区间内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，，所以1也是它的零点.由于函数在定义域和(1，)内是增函数，所以它共有3个零点.．
【答案】共有3个零点

【例12】 求函数的零点，并画出它的图象.
【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 因为
所以函数的零点为-1，1，2
3个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞).
在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：

-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5

-4.38
0
1.88
2
1.13
2
-0.63
0
2.63
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.

【答案】零点为-1，1，2



【例13】 函数的图象是在R上连续不断的曲线，且，则在区间上（ ）.
A. 没有零点 B. 有2个零点
C. 零点个数为偶数 D. 零点个数为k，
【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】D

【例14】 已知函数和在的图象如下所示：

给出下列四个命题：
①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根
③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根
其中正确的命题是　　　　　　　　．（将所有正确的命题序号填在横线上）.
【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模
【解析】
【答案】①③④

【例15】 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】2009年，福建文，高考
【解析】 的零点为,的零点为, 的零点为, 的零点为.现在我们来估算的零点，因为,,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
【答案】A



题型二：二次函数的零点与方程
函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实根的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观察函数图象的交点等等.
【例16】 函数的零点个数（ ）.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】
【答案】C

【例17】 函数的零点是 .
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】
【答案】2或3

【例18】 方程的两根都大于2，求实数a的取值范围
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 令，要使的两根都大于2，则应满足
解得
∴即.
【答案】


【例19】 若方程的根都为正数，求m的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 (1)当此方程为一次方程时，即时，方程的根为，满足题意
(2)当m≠1时，依题意有，解得0＜＜1
综上，m的取值范围是(0,1].
【答案】(0,1].

【例20】 若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由题意，k≠0，∴
解得或k＞3.
【答案】或k＞3


【例21】 关于的方程 的两个实根 、 满足 ，则实数m的取值范围 。
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 设，则，
即：，解得：．
【答案】

【例22】 已知关于x的方程的两个实根和，满足，求实数的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 本题根据根的判别式和韦达定理也可以求出，但比较麻烦，现在利用函数以及函数的图象来解，非常容易.
令
要使方程的两个实根满足
∵的开口向上，∴只需即可
即：×
即，解得，
即的取值范围为
【答案】

【例23】 已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
所以，即， ∴ ．
【答案】


【例24】 已知m∈R，函数恒有零点，求实数a的取值范围。
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 (1)当时，解得恒有解，此时；．
(2)当时，∵ ，即恒有解，
∴ 恒成立，
令
∵恒成立，
∴，解得,
综上所述知，当时，；
 当时，.
【答案】当时，；
 当时，

【例25】 若函数在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求区间[a，b].
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是或其中之一，令，且，即可得关于a、b的方程组，解出a、b的值.
当a值由负值增大到正值时，区间[a，b]在x轴上自左向右移动，因此在求的最值时，须按区间[a，b]的位置分类求解.
图象顶点坐标为，，.
（1）当a0恒成立，
当时，不等式不成立．
∴，令，m∈[，3]，
则：，解得：．
∴的取值范围为．
【答案】

【例53】 已知函数若则与的大小关系为
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，
∵ ，与的中点在(－1，)之间，
∴ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴，答案为A．
【答案】

【例54】 若对于任意，函数的值恒大于零,　则的取值范围是 。
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 设，显然，
则，即，解得：．
【答案】

【例55】 设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 由知的图象有对称轴，方程的6个根在轴上对应的点关于直线对称，依次设为，故6个根的和为18，答案为D．
【答案】

【例56】 已知，（、、∈R），则有（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 提示一：依题设有
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0 ∴，答案为B．
提示二：去分母，移项，两边平方得：＋＝20．
∴，答案为B．
【答案】B

【例57】 已知函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是 ( )

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 由知故是周期为2的函数，在同一坐标系中作出与的图象，可以看出，交点个数为4．
【答案】B

【例58】 关于的方程，给出下列四个命题：
① 当时，方程恰有2个不同的实根；
② 当时，方程恰有5个不同的实根；
③ 当时，方程恰有4个不同的实根；
④ 当时，方程恰有8个不同的实根．
其中假命题的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 记，则方程变为，
时，，原方程有5个解；
时，，原方程有2个解；
时，，原方程有8个解；
时，，原方程有4个解；
时，关于t的方程无解，原方程有0个解．
【答案】A

【例59】 已知函数，
求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根．
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】
【答案】（1）设，
则
，
∵，∴，，，∴；
∵，且，∴，∴，
∴，即，∴函数在上为增函数；
（2）假设是方程的负数根，且，则，
即①
当时，，∴，∴，而由知，
∴①式不成立；
当时，，∴，∴，而，
∴①式不成立．
综上所述，方程没有负数根．

【例60】 方程，且在区间上有且仅有一个实根，求函数的单调区间.
【考点】函数的零点的应用 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 令，
（1）由，得，舍去；
（2）由，得，舍去；
（3）
综上：
对于函数，令，
则在R上为减函数，在上为增函数，在上为减函数.
∴当时，是减函数；当时，是增函数.
【答案】单调减区间单调增区间

【例61】 已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则( )
A．1 B． C． D．
【考点】函数的零点的应用 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 由题意，等差数列的首项为，四项的和为4，设公差为d，则
解得：，故该数列的四项为：．
【答案】C

【例62】 解不等式
【考点】函数的零点的应用 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 此不等式当然两边平方可用，但是利用图象来处理也是非常简便的，令，，分别画出两个函数的图形很容易找到答案.
令，，
函数的图象比较容易画出，而的函数图象是通过平移缩放等等变化得来的，可以不同考虑怎样平移缩放，因为函数与函数的图象相似，只要找函数的几个特殊点，就可以准确无误的画出来.如下图：

由上图可以看出，原不等式的解集为.
【答案】

【例63】 已知函数 (
（1）求证：在(0,+∞)上是增函数；
（2）若在(0,+∞)上恒成立，求的取值范围；
（3）若在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求的取值范围
【考点】函数的零点的应用 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）任取

∵，∴，，
∴，即，故在(0,+∞)上是增函数
（2）∵在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
∴ 在（0，+∞）上恒成立，
令，当且仅当即x=时取等号
要使在(0,+∞)上恒成立，则
故的取值范围是［,+∞)．
（3）由（1）在定义域上是增函数
∴，即，
故方程有两个不相等的正根m，n，注意到，
故只需要(,由于，则 ．
【答案】（1）任取

∵，∴，，
∴，即，故在(0,+∞)上是增函数
（2）［,+∞)（3）

【例64】 已知函数（为常数）且方程有两个实根为。
（1）求函数的解析式；
（2）设，解关于的不等式：。
【考点】函数的零点的应用 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）即,由题意：
整理，得：，解得：，∴；
（2）即：，∴
∴，
①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为
【答案】（1）
（2）①当时，不等式的解集为；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为

【例65】 对于函数，若存在∈R,使成立，则称为的不动点 已知函数
（1）当时，求的不动点；
（2）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
【考点】函数的零点的应用 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 （1）当时，
由题意可知，得
故当当时，的不动点 ．
（2）∵恒有两个不动点，
∴，
即恒有两相异实根
∴恒成立
于是解得
故当b∈R，恒有两个相异的不动点时，
【答案】（1）．（2）