北师大版第三章 整式及其加减3.5 探索与表达规律当堂检测题

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5　探索与表达规律 必备知识·基础练 (打“√”或“×”)背景：有一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．判断下列结论．(1)原数与对应新数的差不可能为零．(　×　)(2)原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．(　×　)(3)当原数与对应新数的差等于24时，原数等于40.(　×　)(4)当原数取50时，原数与对应新数的差最大．(　√　)知识点1　表格中的规律1．将正整数1至2020按一定规律排列如表：1234567891011121314151617181920212223242526272829303132……       平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是(　A　)A．2013    B．2016    C．2018    D．2020【解析】设带阴影的方框中间这个数为a，那么左右两个数分别为a－1、a＋1，三个数的和：(a－1)＋a＋(a＋1)＝3a.即带阴影的方框三个数之和等于带阴影的方框中间这个数的3倍，由于都是整数，所以三个数的和要能被3整除，选项中只有2 013和2016能被3整除，当和是2 013时，三个数分别是670，671，672，当和是2 016时，三个数分别是671，672，673，观察表格，每一行末尾都是8的倍数，而672＝84×8，即672是所在行的最后一个数，而673是下一行的数，所以排除2 016，只能选2 013.知识点2　数字中的规律2．将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按如图所示进行排列，则－2 021应排在(　D　)A．A位置     B．B位置C．D位置     D．E位置【解析】由题图可知，每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，因为(2 021－1)÷5＝2 020÷5＝404，所以－2 021应排在E位置．3．(2021·青岛期中)如图各“品”字形自左至右按序按规律摆放，每个“品”字形的三个数之间均具有相同的规律，如图，当“品”字形中最上面的数是11时，a的值为(　B　)A．23    B．75    C．77    D．139【解析】由题图中的数据可得，最上面的数字是一些连续的奇数，左下角的数字是2的n次方，其中n的值与对应的第几个品字的数值一样，右下角的数字等于上面的数据加左下角的数字，故当“品”字形中最上面的数是11时，b＝26＝64，a＝11＋64＝75.4．(生活情境题)这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第五行的数是(　C　)A．109    B．91    C．78    D．73【解析】因为第一行为0，第二行为0＋6＝6，第三行为0＋6＋15＝21，第四行为0＋6＋15＋24＝45，第五行为0＋6＋15＋24＋33＝78.5．数字游戏中，有如下一组数：，，，，，…第六个数是____．【解析】因为一组数为：，，，，，…，所以第n个数为：，所以当n＝6时，这个数为：＝.6．(2021·镇江期中)观察下列等式：＝1－，＝－，＝－，…，已知n是正整数，若将拆成两个分子为1的正的真分数之和，则＝‘____＋____．【解析】因为＝1－，＝－，＝－，…，所以＝－，所以＝＋.知识点3　图形中的规律7．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 …这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是(　D　)A．49＝18＋31      B．100＝25＋75 C．169＝45＋124    D．121＝55＋66【解析】根据规律：正方形数可以用代数式表示为：(n＋1)2，两个三角形数分别表示为n(n＋1)和(n＋1)(n＋2)，只有D，121＝55＋66符合．8．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案①需要4根小棒，图案②需要10根小棒……按此规律摆下去第8个图案需要小棒__46__根．【解析】如题图可知，后一幅图总是比前一幅图多两个菱形，且多6根小棒，图①需要小棒：6×1－2＝4(根)，图②需要小棒：6×2－2＝10(根)，…则第n个图案需要小棒：(6n－2)根，所以当n＝8时，6×8－2＝46(根).9．观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…从第一个球起到第2 021个球止，共有实心球__607__个．【解析】由题图可知，每10个球中有三个实心球，2 021÷10＝202…1故第1个球起到第2 021个球止，共有实心球：202×3＋1＝606＋1＝607(个). 关键能力·综合练 10．有一列数A1，A2，A3，A4，A5，…，An，其中A1＝5×2＋1，A2＝5×3＋2，A3＝5×4＋3，A4＝5×5＋4，A5＝5×6＋5，…，当An＝2 009时，n的值等于(　A　)A．334    B．401    C．2 009    D．2 010【解析】由题意得，An＝5×(n＋1)＋n＝6n＋5，令An＝2 009，即6n＋5＝2 009，解得n＝334.11．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729….通过观察，用你所发现的规律确定32 009的个位数字是(　B　)A．1    B．3    C．7    D．9【解析】通过观察31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729上述的几个式子，易知1次方末位数字是3，2次方末位数字是9，3次方末位数字是7，4次方末位数字是1，5次方末位数字是3，个位数字的变化是以3，9，7，1为周期，即周期为4，又因为的余数为1，故个位数字为3.12．已知an＝(－1)n＋1，当n＝1时，a1＝0；当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝0，…；则a1＋a2＋…a2 019的值为(　A　)A．2 018    B．2 019    C．1 009    D．1 010【解析】因为当n＝1时，a1＝0，当n＝2时，a2＝2，当n＝3时，a3＝0，当n＝4时，a2＝2，…所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝0＋2＋0＋2＋…＋0＝2×1 009＝2 018.13．(2021·重庆期末)如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第8个五边形数是(　C　)A．90    B．91    C．92    D．93【解析】因为5－1＝4，12－5＝7，22－12＝10，所以相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，所以第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19＝70，第8个五边形数是70＋22＝92.14．(2021·定安期中)观察排列规律，填入适当的数：－，，－，，－…第10个数是____．【解析】根据题意，分子是从小到大的自然数，分母比分子大1；奇数个是负数，偶数个是正数；第10个数是.15．如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是__y＝2n＋n__．【解析】因为观察可知：各三角形中左边第一个数的数字规律为：1，2，…，n，右边第二个数的数字规律为：2，22，…，2n，下边第三个数的数字规律为：1＋2，2＋22，…，n＋2n，所以最后一个三角形中y与n之间的关系式是y＝2n＋n.16.如图，现有一个边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的中点，顺次连接得到一个新的等边三角形，记为第2个等边三角形，取第2个等边三角形各边中点，顺次连接又得到一个新的等边三角形，记为第3个等边三角形，…，按此方式依次操作，则第n个等边三角形的边长为____．【解析】如图，因为D，E分别是AB和AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE＝BC＝a，即第1个等边三角形的边长是a，第2个等边三角形的边长是，同理得第3个等边三角形的边长是×a＝，第4个等边三角形的边长是，…所以第n个等边三角形的边长是.17．(素养提升题)(2021·北京期中)德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做法如下：取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；…一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．如图是最初几个阶段，(1)当达到第5个阶段时，余下的线段条数为__32__；(2)当达到第n个阶段时(n为正整数)，余下的线段的长度之和为__()n__．(用含n的式子表示)【解析】(1)根据题意知：第1阶段时，余下的线段的条数为2，第2阶段时，余下的线段的条数为4＝22，第3阶段时，余下的线段的条数为8＝23…以此类推，第5阶段时，余下的线段的条数为25＝32；(2)根据题意知：第1阶段时，余下的线段的长度之和为，第2阶段时，余下的线段的长度之和为×＝()2，第3阶段时，余下的线段的长度之和为××＝()3，…以此类推，当达到第n个阶段时(n为正整数)，余下的线段的长度之和为()n.易错点：规律计算错误【案例】(2021·扬州期中)对于有理数a，b，n，d.若|a－n|＋|b－n|＝d.则称a和b关于n的“关联数”为d.例如，|3－1|＋|4－1|＝5，则3和4关于1的“关联数”为5.(1)－3和6关于1的“关联数”为________；(2)若a和2关于1的“关联数”为5，求a的值；(3)若a0和a1关于1的“关联数”为1，则a0＋a1的最大值为________．【解析】(1)因为|－3－1|＋|6－1|＝4＋5＝9，所以－3和6关于1的“关联数”为9，答案：9(2)因为a和2关于1的“关联数”为5，所以|a－1|＋|2－1|＝5，所以|a－1|＝4，所以a－1＝±4，所以a＝5或－3；(3)根据题意得，|a0－1|＋|a1－1|＝1，分为四种情况：当a0≥1，a1≥1时，有a0－1＋a1－1＝1，则a0＋a1＝3；当a0≥1，a1＜1时，有a0－1＋1－a1＝1，则a0－a1＝1，得a0＋a1＝1＋2a1＜3；当a0＜1，a1≥1时，有1－a0＋a1－1＝1，则a1－a0＝1，得a0＋a1＝1＋2a0＜3；当a0＜1，a1＜1时，有1－a0＋1－a1＝1，则a0＋a1＝1＜3；由上可知，a0＋a1的最大值为3.答案：3关闭Word文档返回原板块