数学选择性必修 第三册5.2.1 等差数列说课课件ppt

第2课时　等差数列的性质

知识点1　等差中项

如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝．

在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．

A为x与y的等差中项是A＝的充要条件．

1．数列{an}满足an＋1＝(n∈N＋)，则数列{an}是等差数列吗？为什么？

[提示]　这个数列一定是等差数列，理由如下：

由an＋1＝(an＋an＋2)(n∈N＋)，可知an＋1－an＝an＋2－an＋1对任意的正整数n都成立，所以a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝…＝an＋1－an＝an＋2－an＋1＝…，这就是说，数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，所以这个数列是等差数列．

由此我们可得到一个重要的结论：{an}为等差数列⇔an＋1＝，n∈N＋．这是判断一个数列为等差数列的另一个方法．

1.17＋，13－的等差中项为________．

15　[设A为其等差中项，则A＝＝＝15．]

知识点2　等差数列的性质

{an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq．

①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as．

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．

2．在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？

[提示]　令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．

拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．

(2)若{an}是公差为d的等差数列，则

①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；

②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；

③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．

(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．

2．(1)在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝(　　)

A．－1　　　　B．9　　　　C．1　　　　D．6

B　[由题意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故选B．]

(2)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　)

A．12  B．16  C．20  D．24

B　[在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16．]

类型1　等差中项及其应用

【例1】　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；

(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．

[解]　(1)∵－1，a，b，c，7成等差数列，

∴b是－1与7的等差中项．

∴b＝＝3．

又a是－1与3的等差中项，

∴a＝＝1．

又c是3与7的等差中项，

∴c＝＝5．

∴该数列为－1，1，3，5，7．

(2)由x1＝3，得2p＋q＝3， ①

又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，

得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1， ②

将②代入①，得p＝1．

所以p＝q＝1．

三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)．

[跟进训练]

1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

A　[因为a＋b＝＋

＝＝＝2，

所以a，b的等差中项为．]

类型2　等差数列性质的应用

【例2】　在公差为d的等差数列{an}中．

(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；

(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d．

[思路点拨]　本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．

[解]　法一：(1)化成a1和d的方程如下：

(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，

即4(a1＋12d)＝48．

∴4a13＝48．

∴a13＝12．

(2)化成a1和d的方程如下：

解得或

∴d＝3或－3．

法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13．

得4a13＝48，∴a13＝12．

(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得

2(a2＋a5)＝34，

即a2＋a5＝17．

解得或

∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3．

1．利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法．

2．巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程．

3．通项公式的变形形式an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，它又可变形为d＝，应注意把握，并学会应用．

[跟进训练]

2．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．

35　[法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35．

法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，

∴数列{an＋bn}也构成等差数列，

∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，

∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35．]

类型3　等差数列的设法与求解

1．对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：

(1)设这三个数分别为a，b，c．

(2)设该数列的首项为a，公差为d，则这三个数分别为a，a＋d，a＋2d．

(3)设该数列的中间项为b，公差为d，则这三个数分别为b－d，b，b＋d．

那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？

[提示]　方法(3)可能更便捷一些．

2．如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？

[提示]　可以设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d．

【例3】　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．

[解]　法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得

解得或

∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2．

法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得

化简，得

解得或

∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2．

法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得

化简，得

解得

∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2．

1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．

2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．

3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．

[跟进训练]

3．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．

[解]　设这三个数依次为a－d，a，a＋d，

则

解得

∴这三个数为4，3，2．

1．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝(　　)

A．36　　　B．37　　　C．38　　　D．39

C　[a3＋a5＝a2＋a6＝5＋33＝38．]

2．已知等差数列{an}，则使数列{bn}一定为等差数列的是(　　)

A．bn＝－an B．bn＝a

C．bn＝ D．bn＝

A　[∵数列{an}是等差数列，

∴an＋1－an＝d(常数)．

对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，正确；对于B不一定正确，如an＝n，则bn＝a＝n2，显然不是等差数列；对于C，D：及不一定有意义，故选A．]

3．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z＝________．

39　[∵5，x，y，z，21成等差数列，∴y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26，∴x＋y＋z＝39．]

4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．

15　[在等差数列{an}中，由于a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝(a7＋a9)－a4＝16－1＝15．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．等差数列的常用性质有哪些？

[提示]　(1)在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为an＝am＋(n－m)d．

(2)等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．

(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．

2．求解等差数列问题的基本思路是什么？

[提示]　等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．