2023湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中数学试题含解析

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2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高一数学试卷命题教师：赵茜考试时间：2022年11月7日上午8：00—10：00    试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.3. 填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷  选择题（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合的真子集有（    ）A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求集合并确定元素的个数，进而求其真子集的个数，即得结果.【详解】由题设，即集合中有3个元素，所以的真子集有个.故选：C2. 设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再由并集的定义即可得出答案.【详解】，所以.故选：B.3. 若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】将命题“”是假命题，转化为命题“”是真命题，利用判别式法求解.【详解】因为命题“”是假命题，所以命题“”是真命题，所以，解得，所以实数a的取值范围是故选：D4. 已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意：：，：，：或；：或，由于是的充分条件，所以，所以.故选：B5. 已知正数、满足，求的最小值是（    ）A.  B. 9 C.  D. 4【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案.【详解】因为，均为正数，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.6. 已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件结合分段函数单调性列出不等式组，求解即可得a的取值范围.【详解】因函数是R上的增函数，则，解得，所以a的取值范围是：.故选：B7. 已知二次函数的图象与轴交于点与，其中，方程的两根为，则下列判断正确的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】将方程的两根为的问题，转化为转化为的图象与有两个交点的问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意可知方程的两根为，即的两根为，则可转化为图象与有两个交点问题，两交点横坐标为，当时，不妨设的图象如图示：函数与抛物线的交点如图示，则；当时，不妨设图象如图示：函数与抛物线的交点如图示，则；综合上述，可知，故选：C8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，如果关于的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（    ）A. 5 B. －4 C. 4 D. －5【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象，结合题意可得出关于的方程的两根，再利用韦达定理即可得解.【详解】解：函数是定义域为的偶函数，当时，，作出函数的图象，如图所示，因为关于的方程恰有7个不同的实数根，所以或，所以，所以.故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知集合，，若，则实数a的可能取值（    ）A. 0 B. 3 C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】由集合间的关系，按照、讨论，运算即可得解.【详解】∵集合，，，当时，，满足题意；当时，，要使，则需要满足或，解得或，a的值为0或或.故选：ACD.10. 若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（    ）A. “影子函数”可以是奇函数B. “影子函数”的值域可以是C. 函数是“影子函数”D. 若，都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”【答案】AC【解析】【分析】根据新定义举例判断．【详解】，在其定义域内，对任意的，存在，使得成立，是“影子函数”，它也是奇函数；A正确；若“影子函数”值域是R，则当满足时，不存在，使得，B错误；，对任意的，，是唯一的，C正确；若，，，不是“影子函数”，如，，或时，都有，不唯一，D错误．故选：AC．11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（    ）A. 函数为偶函数B. 函数的值域是C. 若且为有理数，则对任意的恒成立D. 在图象上不存在不同的三个点，，，使得为等边三角形.【答案】ABC【解析】【分析】由函数的奇偶性，值域的概念，周期性，对选项逐一判断【详解】对于A，由得，故为偶函数，故A正确，对于B，的值域是，故B正确，对于C，当且为有理数时，若为有理数，则为有理数，若为无理数，则为无理数，故，故C正确，对于D，取得为等边三角形，故D错误，故选：ABC12. 已知函数的最小值为0，（为自然常数，），则下列结论正确的是（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】AD【解析】【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断.【详解】由函数的最小值为0， 当时，，即，故当时，的值域为的子集，即对于AC，当时，为上的减函数，又，则，即，故A正确，C错误；当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，对于B，当时，对勾函数在上单调递增，则函数在上单调递减，由A知，，故B错误；对于D，当时，对勾函数在上单调递减，则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确；故选：AD第Ⅱ卷  非选择题（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若集合，，则_________（用列举法表示），集合与集合的关系为：A____B（填入适当的符号）.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】由集合及集合中元素与的关系知是由集合的子集构成的集合，应用列举法写出集合，即可得到答案【详解】因为，，所以集合中的元素是集合的子集：，所以集合，因为集合是集合的一个元素，所以，故答案为：；14. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性及奇偶性可得，根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】解：由题意可得，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：.15. 若函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当时，，当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，因为函数的值域为，所以，解得，综上所述实数的取值范围是.故答案为：.16. 设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.【答案】[1,13]【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f(x)对称轴为，∵f(x)值域为，∴且，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案为：[1,13].四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集为，，.（1）若，求；（2）若，是否存在实数使得是的_________，存在求实数的取值范围，不存在请说明理由.请在_________处从“①充分不必要条件”、“②必要不充分条件”中选择一个再作答.【答案】（1）    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合分式不等式解法运算求解；（2）若选择①：分析可得包含关系，根据真子集的概念列式运算；若选择②：分析可得包含关系，根据真子集的概念列式运算.【小问1详解】当时，，因为需满足，解得，所以.所以.【小问2详解】若选择①充分不必要条件，则是B真子集，因为，故，不等式无解，即不存在实数使得是的充分不必要条件.若选择②必要不充分条件，则是A的真子集，所以，解得，所以实数的取值范围为.18. 已知，命题p：，恒成立；命题q：存，使得.（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）命题为真命题时，转化为，求的取值范围；（2）当命题为真命题时，即，再求当两个命题一真一假时，的取值范围的交集.【详解】（1）∵，∴，解得，故实数的取值范围是             （2）当q为真命题时，则，解得                          ∵p，q有且只有一个真命题当真假时，，解得： 当假真时，，解得： 综上可知，或                   故所求实数的取值范围是或.19. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．【答案】（1）    （2），的最小值为【解析】【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．【小问1详解】若，则，则，为偶函数，则，故.【小问2详解】当时，，开口向上，对称轴，当时，，函数最小值为；当时，，函数最小值大于.故，.20. 已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：；（3）具有性质，当时，求集合.【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析    （2）证明见解析    （3）.【解析】【分析】（1）由性质定义判断，（2）由性质定义证明，（3）由（2）得，再由性质定义求解，【小问1详解】集合具有性质，集合不具有性质理由如下：对集合，由于 所以集合具有性质；对集合，由于，故集合不具有性质.【小问2详解】由于，则 ，故，，故得证.【小问3详解】由于，故，又，故，又，故，.因此集合.21. 已知函数，，.（1）若，方程有解，求实数的取值范围；（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；（3）设，记为函数在上的最大值，求的最小值.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域；（2）转化为在上，，分类讨论求的最大值，然后可得参数范围；（3）根据绝对值的意义求得的表达式，然后由的单调笥得最小值．【小问1详解】，因为函数的图象的对称轴是直线，所以在上为减函数.                                       故的取值范围为.【小问2详解】∵对任意的，总存在，使得，∴在上，，                                       ∵函数图象的对称轴是直线，又∴当时，函数有最大值为，①当时，，不符合题意，舍去.②当时，在上的值域，∴，得，             ∴；③当时，在上的值域为，只需，∴.综上，的取值范围为.【小问3详解】函数为的对称轴为，当或时，在上单调递增，则；当时，，解，得，故当，.综上，∴在上单调递减，在上单调递增，∴时取最小值为.22. 定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点，已知函数.（1）当，时，求函数的不动点；（2）若函数有两个不动点，且图像上两个点、横坐标恰是函数的两个不动点，且、的中点在函数的图像上，求的最小值.（参考公式：，的中点坐标为）【答案】（1）不动点为3和；    （2）【解析】【分析】（1）根据不动点定义令，则有，解出即可；（2）令，化简得到，利用韦达定理和中点公式得到，最终得到的最小值，再代回检验即可.【小问1详解】，令，则得或，所以函数的不动点为3和；【小问2详解】令，则.①则方程①有两个不等实根，，且，满足，，可设，（）.因为的中点在函数上，所以，∴，∴.所以当，即时，，此时满足，成立.【点睛】本题考查函数新定义，不动点理论在函数与数列中具有重要的意义，对于这类具有丰富数学内涵的新定义问题，一定要充分理解其定义，根据其定义解题，本题还涉及韦达定理，中点公式（题目末尾给出，要注意既然给出此公式一定会运用），题目关键是的两种表达，这样得到关于的方程，再用表示，再求出此函数的最值即可，最后不忘回头检验此时是否大于0.