2020-2022年四川中考数学3年真题汇编 专题11 解答题之二次函数动点问题（学生卷+教师卷）

这是一份2020-2022年四川中考数学3年真题汇编 专题11 解答题之二次函数动点问题（学生卷+教师卷），文件包含专题11解答题之二次函数动点问题-三年2020-2022中考数学真题分项汇编四川专用解析版docx、专题11解答题之二次函数动点问题-三年2020-2022中考数学真题分项汇编四川专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。

专题11 解答题之二次函数动点问题
1．（2022·四川德阳·中考真题）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．

(1)如图①，求射线的解析式；
(2)在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；
(3)如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．
【答案】(1)，
(2)4
(3)
【解析】
【分析】
（1）先求出直线与坐标轴的交点M、E的坐标，根据G(5,-3)、F关于x轴对称求出F点坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴x=2，可确定M点在抛物线对称轴上，可确定抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，即可得到，①-②，得到，则问题得解；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），利用PT∥AM，则问题可解
(1)
∵直线与坐标轴交于点M、E，
∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，
∴M点坐标为(2,0)，E点坐标为(0,2)，
∵G(5,-3)，且点G、F关于x轴对称，
∴F(5,3)，
设射线MF的解析式为，，
∵M点坐标为(2,0)，F(5,3)，
∴ ，解得：，
∴射线MF的解析式为，，
(2)
根据题意可知射线ME的解析式为：，，
在（1）中已求得射线MF的解析式为，，
∵的对称轴为x=2，
又∵M点(2,0)，
∴M点刚好在的对称轴为x=2上，
∴抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，
∵，
∴此时交点的坐标为、，且、，
∵、在抛物线上，
∴，
由①-②，得：，
整理得：
∵、，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)
如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．

∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，
∴A（-1，0），B（5，0），
设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴
∵
∴有最大值，最大值为
【点睛】
本题考查了用待定系数法求解析式、抛物线与一元二次方程的根的知识、勾股定理、二次函数求最值等知识，本题的计算量较大，仔细化简所表示出和的代数式是解答本题的关键．
2．（2022·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
　　

(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；
(2)△PAB的周长最小值是2+2；
(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
(1)
解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴，
∴2a=b+1，c=-2；
(2)
解：当a=时，则b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，

△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2，AB=2，
∴△PAB的周长最小值是：2+2．
(3)
解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，

∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED=EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+，
当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
3．（2020·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图象过、、三点

（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）y=-x+；（3）（-，）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出直线OB的解析式为y=x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y=x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；
（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
（1）把、、代入
得
解得
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，∵，
∴其中点E的坐标为
设直线OB的解析式为y=kx
把代入得
解得k=
∴直线OB的解析式为y=x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,
把E代入得
解得m=
∴直线CD的解析式为y=-x+；
（3）联立
得到
解得x1=-,x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t,），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+）
∴PQ=（-t+）-（）=-
故当t=-时PQ有最大值
此时P的坐标为（-，）．

【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质．
4．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．
(1)
解：将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
(2)
解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为．


(3)
解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，


则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
【点睛】
本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
5．（2020·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
【答案】（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；（3）＋
【解析】
【分析】
（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式；
（2）首先假设存在点P，然后分点P在直线AB上方时和点P在直线AB下方时两种情况讨论，即可得解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，），则点F（m，m−2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝−（m−2）2＋4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN＋ON＝MN＋KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
（1）由题意，令，即
∴A的坐标为（4,0）
令，即
∴B的坐标为（0，-2）
将A、B、C三点坐标代入抛物线，得

解得
∴抛物线解析式为：；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2＋，1＋）或（2−，1−）；
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"，
∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE，
∴S△AP"B＝S△ABO，
∵EP"∥AB，且过点E（0，−4），
∴直线EP"解析式为y＝x−4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P"（2，−3），
综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，），则点F（m，m−2），
∴MF＝m−2−（）＝−（m−2）2＋2，
∴△MAB的面积＝×4×[−（m−2）2＋2]＝−（m−2）2＋4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，−3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN＋ON＝MN＋KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2＋3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝＋，
∴MN＋ON的最小值为＋．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．
6．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合条件的点M，M的坐标为，，，
【解析】
【分析】
（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线与点P，根据对称性可知P为所求的点；
（3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2-2m-3），利用∠MBN=∠APC列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．
【详解】
解：（1）把点，代入，
得到方程组：，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）作点关于轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交与点，由图形的对称性可知为所求的点，

设直线的解析式为，
由题意得：，
解得：，
直线的解析式为，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
；
（3）存在点，
过点作轴的垂线，由勾股定理得，
同理可求得，，

，，
，
，
，
，
设点，则，
解得或，
当时，，
，，
当，，
，，
存在符合条件的点，的坐标为，，，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作关于轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等．
7．（2022·四川达州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．


(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；
（3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解．
(1)
解：∵由二次函数，令，则，
，
过点，，
设二次函数的表达式为，
将点代入得，
，
解得，
，
(2)
二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为，
①如图，过点作关于的对称点，
，
，
，
，
②轴上取一点，使得，则，设，
则，
，
解得，
即，
设直线CD的解析式为，
，
解得，
直线CD的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，或，


(3)
的值是定值，
设，，
过点作轴于点，则，


，
，
，
，
，
即，
，，
，
，


．
即的值是定值
【点睛】
本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2021·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为．点B为抛物线上一动点，连接，过点B的直线与抛物线交于另一点C．


（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
（3）若点B的横坐标为t，，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当时，点C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）或；（2）点C的坐标为或；（3）；
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为，把点O(0，0)代入即可求解；
（2）求得B(0，0)或B(8，8)，分两种情况讨论，①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，利用待定系数法求得直线BC的解析式为，解方程组即可求解；②点B的坐标为(8，8)时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得M (，)，同①可求解；
（3）作出如图的辅助线，点B的坐标为(t，)，得到AH=，BH=，OH=MN，由AH=，BH=，OH=MN，△ABH△BMN得到M(0，)，求得BC的解析式为：，解方程组求得点C的横坐标为，即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线的顶点坐标为P(2，-1)，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过原点O，即经过点O(0，0)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）在中，令，
得：，
解得或，
∴B(0，0)或B(8，8)，
①当点B的坐标为(0，0)时，过点B作BC∥AP交抛物线于点C，
此时∠ABC=∠OAP，如图：


在中，令，
得：，
解得：或，
∴A(4，0)，
设直线AP的解析式为，
将A(4，0)，P(2，-1)代入得
，解得：，
∴直线AP的解析式为，
∵BC∥AP，
∴设直线BC的解析式为，
将B(0，0)代入得，
∴直线BC的解析式为，
由，
得：(此点为点O，舍去)或，
∴点C的坐标为(6，3)；
②点B的坐标为(8，8)时，过点P作PQ⊥轴于点Q，过点B作BH⊥轴于点H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，如图：


∵A(4，0)，P(2，-1)，
∴PQ=1，AQ=2，
在Rt△APQ中，，
∵A(4，0)，B (8，8)，
∴AH=4，BH=8，
在Rt△ABH中，，
∴∠OAP=∠ABH，
∵H关于AB的对称点为M，
∴∠ABM=∠ABH，
∴∠ABC=∠OAP，即C为满足条件的点，
设M (x，y)，
∵H关于AB的对称点为M，
∴AM=AH=4，BM=BH=8，
∴
两式相减得：，代入即可解得：
(此点为点H，舍去)或，
∴M (，)，
同理求得BM的解析式为：，
解得：(此点为点B，舍去)或，
∴点C的坐标为(-1，)；
综上，点C的坐标为(6，3)或(-1，)；
（3）设BC交y轴于点M，过点B作BH⊥轴于点H，过点M作MN⊥于点N，如图：


∵点B的横坐标为t，
∴点B的坐标为(t，)，又A(4，0)，
∴AH=，BH=，OH=MN，
∵∠ABC=90°，
∴∠MBN=90°-∠ABH=∠BAH，
且∠N=∠AHB=90°，
∴△ABH△BMN，
∴，即，
∴BN=，
∴HN=，
∴M(0，)，
同理求得BC的解析式为：，
由，得，
解得(点B的横坐标)，或，
∴点C的横坐标为，
当时，


，
∴当时，的最小值是12，此时；
∴当时，点C的横坐标的取值范围是．
【点睛】
本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．
9．（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数．

（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．
【详解】
解：（1）把代入，
得：，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为：；
（2）令y=0代入，
得：，
解得：或，
令x=0代入得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ=t，
∴△BPQ的面积==，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；

（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设，
∵对的任意实数x，都使得成立，
∴或，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点睛】
本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．
10．（2021·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标；
（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．

【答案】（1）；（2）点（6，-8）；（3）当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）在的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；
（3）先利用图形在内构造，求出，在中由，，求出OM长即可解答，
【详解】
解：（1）由抛物线经过点和点，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为：；
（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）
∵点和点．
∴，
∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将的面积分成2：1两部分，如解（2）图，


∵点为该抛物线上一点（不与点重合），
∴直线CP经过Q点，
设直线CP解析式为：，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：
，
∴，
即可设直线CP解析式为：，
联立函数解析式为：，
解得：，，
故P点坐标为（6，-8），
（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点，连接，过点作，垂足为H，

由轴对称性质可知：，，
∴，
∵，即，
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
点从点出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿轴正方向移动时，，则秒，
当沿轴CO方向移动时，，则秒，
综上所述：当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何综合，问题（1）关键是在三角形边上找到将的面积分成2：1两部分直线CP经过的点，问题（3）关键是通过对称构造，再通过解三角形求解OM长．
11．（2021·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．

【答案】（1）（2）①9；②或．
【解析】
【分析】
（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】
解：（1）令x=0，得

令得



，




（2）①设直线BC的解析式为：，代入，得



设









即DE+BF的最大值为9；
②点G是AC的中点，
在中，
即为等腰三角形，






若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，
则①

又




，
或
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又



整理得，
，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
12．（2020·四川巴中·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标，且．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求PM的长；
（3）当时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）或；（3）或或
【解析】
【分析】
（1）先求出点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）由全等三角形的性质可得PO＝PC，，可得点P在CO的垂直平分线上，即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用面积关系列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∵点B，点C，点A在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）连接OM，

∵M为BC中点，
∴，
∵，
∴，，
∴MP是OC的垂直平分线，
∴轴，
∴点P的纵坐标为1，
当时，代入，
解得：，
∴或，
∴或；
（3）∵，，
∴，
∵，，
∴直线BC解析式为，
当点P在BC上方时，如图2，过点P作轴，交BC于点E，

设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∴点；
当点P在BC下方时，如图3，过点P作轴，交BC于点E，

∴，
∴，
∴，
∴点或；
综上，点P的坐标为：或或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
13．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；

（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可．
【详解】
（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．
则DG//AK，
∴△AEK∽△DEF，
∴，
设直线BC的解析式为y=kx+n，
将、代入则有：，
解得，
∴直线的表达式为，
当x=-1时，，
即K（-1，），
∴．
∵．
∴
设点，则F点坐标为（m，），
∴．
∴，
当时，有最大值．

（3）∵，，．
∴AC=，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=25=52=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵过点作直线，直线的表达式为，
∴直线的表达式为．
设点的坐标为．
①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=t-4，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，t2=0（舍去），
此时点的坐标为．

②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，
∴∠M=∠PNB=90°，
∴∠BPN+∠PBN=90°，
∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，
∴∠QPM=∠PBN，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵NB=4-t，PN=，
∴，
∴QM=，PM=，
∴MN=+，，
∴点的坐标为．
将点的坐标为代入，得
，
解得：，<0（舍去），
此时点的坐标为．

【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．
14．（2022·四川乐山·中考真题）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．

(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
【答案】(1)；
(2)P（1+）或（1-）；
(3)
【解析】
【分析】
（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，），可表示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，），M（t，），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．
(1)
∵A（-1，0），
∴OA=1，
又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，
∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），
设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），
将C点坐标代入得：a=1，
∴y=（x+1）（x-2）=；
(2)
设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，

∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为：y=x-2，
∴当时，x=y+2=，
∴PE==，
∴S△PBC=PE·OC，
∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2），
∴点D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD=CD·OC，
∴PE·OC=CD·OC，
∴a2-2a=1，
解得a1=1+（舍去），a2=1-；
当x=1-时，y==a-1=-，
∴P（1-，-），
如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，

∴F（a，a-2），
∴PF=（）-（a-2）=，
∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，
∴=1，
解得a1=1+，a2=1-（舍去）；
当a=1+时，y==，
∴P（1+，），
综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；
(3)
如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，

由题意可知，P（t，），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（）=-，
又∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴+，
∴当t=1时，()最大=．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．
15．（2020·四川内江·中考真题）如图，抛物线经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）（3，2）或（1，3）；（3）存在，2或．
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与BC平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求DM的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况考虑：①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，则CD∥BF，由点B，F的坐标，利用待定系数法可求出直线BF，CD的解析式，联立直线CD及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标；②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，由△OCH∽△OBF求出H点坐标，利用待定系数法求出直线CN的解析式，联立直线BF及直线CN成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，利用对称的性质可求出点P的坐标，由点C、P的坐标，利用待定系数法可求出直线CP的解析式，将直线CP的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D的横坐标．依此即可得解．
【详解】
解答：解：（1）将A（−1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2＋bx＋c得：
，
解得：
故抛物线的解析式为．
（2）如图2，过点D作DM∥BC，交y轴于点M，设点M的坐标为（0，m），使得△BCM的面积为3，

CM=3×2÷4＝1.5，
则m＝2＋1.5＝，
M（0，）
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝− x＋2，
∴DM的解析式为y＝− x＋，
联立抛物线解析式，
解得，．
∴点D的坐标为（3，2）或（1，3）．
（3）分两种情况考虑：
①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，−2），连接BF，如图3所示．

∵OC＝OF，OB⊥CF，
∴∠ABC＝∠ABF，
∴∠CBF＝2∠ABC．
∵∠DCB＝2∠ABC，
∴∠DCB＝∠CBF，
∴CD∥BF．
∵点B（4，0），F（0，−2），
∴直线BF的解析式为y＝x−2，
∴直线CD的解析式为y＝x＋2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去），，
∴点D的坐标为（2，3）；
②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H．作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，如图4所示．

∵∠OCH＝90°−∠OHC，∠OBF＝90°−∠BHN，
∠OHC＝∠BHN，
∴∠OCH＝∠OBF．
在△OCH与△OBF中
，
∴△OCH∽△OBF，
∴，即，
∴OH＝1，H（1，0）．
设直线CN的解析式为y＝kx＋n（k≠0），
∵C（0，2），H（1，0），
∴，解得，
∴直线CN的解析式为y＝−2x＋2．
连接直线BF及直线CN成方程组得：
，
解得：，
∴点N的坐标为（）．
∵点B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝− x＋2．
∵NP⊥BC，且点N（），
∴直线NP的解析式为y＝2x−．
联立直线BC及直线NP成方程组得：
，
解得：，
∴点Q的坐标为（）．
∵点N（），点N，P关于BC对称，
∴点P的坐标为（）．
∵点C（0，2），P（），
∴直线CP的解析式为y＝x＋2．
将y＝x＋2代入整理，得：11x2−29x＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴点D的横坐标为．
综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式和待定系数法求出点D的坐标；（3）分∠DCE＝2∠ABC及∠CDE＝2∠ABC两种情况求出点D的横坐标．
16．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．

（1）求的值及秒时点的坐标；
（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；
（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1），；（2）；（3），
【解析】
【分析】
（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，消去得，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，
∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为，
则，
解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，
由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．

如图②，将代入，得，
解得，或（舍），
将代入，得，
解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．

（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得


，
当时，长度的最小值为．
此时，，解得，
所以，点的坐标是．

【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．（2020·四川自贡·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当 取最大值时．
   
①.求的最小值；                  
②.如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值．

【答案】(1)；
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法，把A,B两点代入解析式即可求出．
（2）①利用配方法求出M点，求出直线AM的解析式，从而可以得出经过点E且与直线AM平行的直线 解析式，再根据当直线与抛物线只有一个交点时，EF取最大值，利用根的判别式可求出E点和D点的坐标，再根据当P,B,D三点共线时，PD+PC有最小值，利用勾股定理即可求出．
②过点作直线，使，过点作于点，交轴于点，则点为所求点，则为最小，即可求解．
(1)
解：将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得，
解之得，
∴二次函数的解析式为；
(2)
①将二次函数配方得，
∴M（-1,4）
设直线AM的解析式为，将代入直线可得，
解得，
∴直线AM的解析式为，
过E作直线，平行于直线AM，且解析式为，
∵E在直线AM上方的抛物线上，
∴；
当直线与AM距离最大时，EF取得最大值，
∴当与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值，
将直线的解析式代入抛物线得，
由题意可得，△=，经计算得，将代入二次方程可得，
，
∴，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得，
∴，
又∵⊥轴，
∴，将代入直线AM，
∴，
∵，
∴B、C两点关于轴对称，
∴，
∴，当P、B、D三点不共线时，
当P、B、D三点共线时，，
∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，
在Rt△BHD中，DH=2，BH=3，∴BD=，
∴的最小值为；
②过点作直线，使，过点作于点，交轴于点，则点为所求点，
为最小值，
则直线的表达式为：，
，故设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
而直线的表达式为：，
故点，
由直线的表达式知，与轴负半轴的夹角（设为）的正切值为，则，
则，而，
则为最小值．

【点睛】
本题主要考查了二次函数综合应用，利用待定系数求解析式，根的判别式求点的坐标，利用三点共线求最值的问题
18．（2020·四川乐山·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．

【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】
【分析】
（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；
（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】
解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，
∴，
又∵，
∴，
即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，
∴        解得   
即直线的解析式为 ，
设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积
∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，

∴，
过点作于，则在中，
，
∴，
再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，即，
∴的最小值为．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．