高三数学总复习必刷题系列之拔高训练 计数原理（有答案）

第十章  概率与统计 

10.1  计数原理

一、单选题(共14题)

1．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为、、、、（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（    ）

A．20 B．15

C．10 D．5

2．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（    ）

A．21种 B．231种 C．238种 D．252种

3．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（    ）

A．216 B．480 C．504 D．624

4．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为

A． B． C． D．

5．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ）

A．48 B．54 C．60 D．72

6．已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

7．郴州市某校高一（10）班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一（10）班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线（    ）

A．24 B．18 C．16 D．10

8．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ）

A．100 B．120 C．300 D．600

9．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（    ）

A． B． C． D．

10．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则n为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

11．在的展开式中，令的系数为800，则含项的系数为（    ）

A．30 B．960 C．300 D．360

12．已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（    ）

A． B． C． D．

13．已知的展开式的所有项系数之和为81，则展开式中含的项的系数为（    ）

A．56 B．60 C．68 D．72

14．已知的展开式中，系数为56，则实数的值为

A．6或-1 B．-1或4 C．6或5 D．4或5

二、多选题(共4题)

15．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）

A．所有可能的方法有种

B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种

D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

16．将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ）

A．共有18种安排方法

B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法

C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法

D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法

17．关于的展开式，下列结论正确的是（    ）

A．所有项的二项式系数和为32

B．所有项的系数和为0

C．常数项为

D．系数最大的项为第3项

18．若 ，则下列判断正确的有（       ）

A．

B．

C．

D．

三、填空题(共6题)

19．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）

20．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______.

21．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种．

22．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.

23．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则在的展开式中系数为______．

24．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为，常数项为，则______，含项的系数为______．

答案

一、单选题(共14题)

1．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为、、、、（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（    ）

A．20 B．15

C．10 D．5

【答案】C

【详解】此题相当于在正五边形中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，

考虑放第一个位置，第二步只能或，依次ACEBD或ADBEC两种；

同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.

故选：C

2．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（    ）

A．21种 B．231种 C．238种 D．252种

【答案】B

【详解】10人中选5人有种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有种，

则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有种.

故选：B

3．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（    ）

A．216 B．480 C．504 D．624

【答案】C

【详解】当课程“御”排在第一周时,则共有种；

当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有种；

则,

故选：C

4．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有架“歼—”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】架“歼—”飞机着舰的方法共有种，乙机最先着舰共有种，

如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻）有：.

故选C.

5．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ）

A．48 B．54 C．60 D．72

【答案】C

【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，

共有 种方法；

由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，

所以由 种方法；

按照分步乘法原理，共有 种方法；

故选：C.

6．已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【详解】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，

共有种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，

综上，共有种方法.

故选：D

7．郴州市某校高一（10）班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一（10）班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线（    ）

A．24 B．18 C．16 D．10

【答案】D

【详解】解：规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学；

故分两种情况讨论：①最后去甲景馆研学，则种；②最后去丙景馆研学，则种；根据分类加法计数原理可得一共有种方案.

故选：

8．在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（    ）

A．100 B．120 C．300 D．600

【答案】A

【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，

如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.

故选：A.

9．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中系数为无理数的项数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】展开式中第项与第项的二项式系数相等，，解得：；

展开式的通项公式为：；

则当，，时，展开式中的系数为无理数，共项.

故选：B.

10．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则n为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】因为的展开式中第3项的二项式系数是15，

所以有或（舍去），

故选：B

11．在的展开式中，令的系数为800，则含项的系数为（    ）

A．30 B．960 C．300 D．360

【答案】B

【详解】展开式中的系数为，展开式中的系数为

所以的系数为

所以，即，

解得，

所以展开式中的系数为，展开式中的系数为，

所以含项的系数为，

故选：B.

12．已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】令，可得展开式的所有项的系数之和，得，

所以，

其通项，令，得，所以展开式中常数项为．

故选：A．

13．已知的展开式的所有项系数之和为81，则展开式中含的项的系数为（    ）

A．56 B．60 C．68 D．72

【答案】A

【详解】因为的展开式的所有项系数之和为81，故令，则，解得，

又对，其展开式中项是：

由中的常数项与的项相乘得到，

或由中的项与的项相乘得到，

故的展开式中含的系数为.

故选：A.

14．已知的展开式中，系数为56，则实数的值为

A．6或-1 B．-1或4 C．6或5 D．4或5

【答案】A

【详解】因为

所以的展开式中系数是

解得或

故选A．

二、多选题(共4题)

15．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）

A．所有可能的方法有种

B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种

D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

【答案】BCD

【详解】所有可能的方法有种，A错误.

对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.

对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.

对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.

故答案为：BCD

16．将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ）

A．共有18种安排方法

B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法

C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法

D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法

【答案】BD

【详解】对于：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：，错误；

对于：甲､乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余

两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：，正确；

对于：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，

再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为错误；

对于D：甲安排在社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，

所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行

全排列，安排方法有种；

第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有种；

所以一共有安排方法为正确.

故选：.

17．关于的展开式，下列结论正确的是（    ）

A．所有项的二项式系数和为32

B．所有项的系数和为0

C．常数项为

D．系数最大的项为第3项

【答案】BC

【详解】，可得二项式系数和为，故A错误；

令得所有项的系数和为0，故B正确；

常数项，故C正确；

，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.

故选：BC.

18．若 ，则下列判断正确的有（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【详解】由题意，当时，，故A正确；

当时，，①，

当时，，②，

①-②，得，故B错误；

，故C正确；

当时，，

因为，

所以，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题(共6题)

19．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）

【答案】336

【详解】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，

再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，

因此所求放法种数为

20．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为______.

【答案】48

【详解】解：不妨将问题转化为不同的5位同学坐从左到右的5个座位，乙同学不坐第1个座位，丙同学必须坐在甲同学的左边，则可先在2至5号座位上选1个座位给乙坐，然后在剩下的4个座位中选2个坐丙同学和甲同学，且丙坐在甲的左边，剩下的2个座位坐剩下的两位同学即可，即不同的坐法共有，

即不同的着舰方法种数为48，

故答案为：48.

21．当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，某校从含甲、乙、丙在内的名行政人员中选取人负责每周周一至周六的疫情防控工作（周日学校放假），每人各负责天，其中甲、乙、丙人必被选中．若甲与乙需安排在相邻的两天，乙与丙不安排在相邻的两天，且丙不排周一，则不同的安排方法有___种．

【答案】

【详解】以全集表示“甲与乙需安排在相邻的两天”，集合表示“乙与丙安排在相邻的两天”，

集合表示“丙安排在周一”，如下图所示：

要选人负责每周周一至周六的疫情防控工作，则只需从除甲、乙、丙以外的人中再抽取人，

全集表示的排法中，将甲、乙两人捆绑，则，

集合表示的排法中，将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，则，

集合表示的排法中，丙排在周一，将甲、乙两人捆绑，则，

集合表示的排法中，丙排在周一，且将甲、乙、丙三人捆绑，且乙在中间，

则，

因此，满足条件的排法种数为.

故答案为：.

22．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.

【答案】420

【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，

对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；

对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，

若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，

所以④⑤共有种情况，

则一共有种情况.

故答案为：420

23．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则在的展开式中系数为______．

【答案】

【详解】在的展开式中，各项系数和为，二项式系和为，

各项系数和与二项式系之比为32，即，，

在的展开式中，通项公式为．

令，求得，的系数为，

故答案为：90．

24．在二项式的展开式中，所有二项式系数和为，常数项为，则______，含项的系数为______．

【答案】         

【详解】由二项式系数和为知：，解得：；

二项式展开式通项为：，

令，解得：，，又，解得：；

令，解得：，的系数为.

故答案为：；.