课后素养落实(十二)　独立性与条件概率的关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”

B．袋中有2白、2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”

D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”

A　[把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A．]

2．若0＜P(A)＜1，且P(B|A)＝P(B)．若P()＝0.6，P(B|)＝0.2，则P(AB)等于(　　)

A．0.12    B．0.8  C．0.32    D．0.08

D　[由P(B|A)＝P(B)可知事件A，B相互独立，

∴P(B|)＝P(B)＝0.2，

又P()＝0.6，∴P(A)＝0.4，

所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.2＝0.08．故选D．]

3．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则表示(　　)

A．2个球不都是红球的概率

B．2个球都是红球的概率

C．至少有1个红球的概率

D．2个球中恰有1个红球的概率

C　[分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝．根据互斥事件可知C正确．]

4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)

A．　　　    B．    C．　　　    D．

A　[问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝．故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝．]

5．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(　　)

A．    B．  C．    D．

C　[设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p＋2p＝3p＝1，解得p＝，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为××＝，②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为××＝，

则概率为＋＝＝，故选：C．]

二、填空题

6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．

　[“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B．“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)＝，P(C)＝．

∴P(B∩C)＝P(B)·P(C)＝·＝．]

7．甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为________．

　[由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为＝，从乙袋中取出红球的概率为，所以所求事件的概率为×＝．]

8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．

0.902　[设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，，，

则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，

P()＝0.3，P()＝0.1，

至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．

所以至少两颗预报准确的概率为

P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)

＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9

＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．]

三、解答题

9．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图所示的电路中，求电路不发生故障的概率．

[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．

不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，

∴不发生故障的概率为

P＝P[(A2∪A3)∩A1]

＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)

＝×＝．

10．在一个选拔节目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．

[解]　设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝．

(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，

则P(B)＝P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3)

＝××＝．

(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，

则P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)

＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)

＝1－＋×＋××＝．

1．(多选题)设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则下列说法正确的是(　　)

A．事件A与B发生的概率相同 

B．P(A)＝

C．P(B)＝ 

D．P(B)＝

ACD　[因为事件A，B相互独立，由P(B)＝P(A)可得[1－P(A)]P(B)＝P(A)[1－P(B)]，即P(A)＝P(B)．

又P()＝P()P()＝，

∴P()＝，即1－P(A)＝，∴P(A)＝．

∴P(B)＝P()P(B)＝×＝．

结合选项可知ACD正确，故选ACD．]

2．(多选题)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是(　　)

A．P(B)＝

B．P(B|A1)＝

C．事件B与事件A1相互独立

D．A1，A2，A3是两两互斥的事件

BD　[由题意知，A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故B，D正确．

而P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝≠P(B|A1)，所以事件B与事件A1不是相互独立的，故A，C不正确．]

3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(|)＝________，P(A)＝________．

　　[∵A，B是相互独立事件，∴与也是相互独立事件，

∴P(|)＝P()＝1－P(A)＝1－＝．

P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝×＝．]

4．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________．

　[由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为，，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝．

所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．]

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5．假设各盘比赛结果相互独立．求：

(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；

(2)求红队至少两名队员获胜的概率．

[解]　设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，

则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．

因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，

由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5．

(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ∩∩，∩E∩ ，∩∩F，以上3个事件彼此互斥且独立．

∴红队有且只有一名队员获胜的概率

P1＝P[(D ∩ ∩)∪(∩E ∩)∪(∩∩F)]＝P(D∩ ∩)＋P(∩E∩)＋P(∩∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35．

(2)法一：红队至少两名队员获胜的事件有：D∩E ∩，D∩∩F，∩E∩F，D∩E∩F．

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，

因此红队至少两名队员获胜的概率为

P2＝P(D∩E∩ )＋P(D∩ ∩F)＋P(∩E∩F)＋P(D∩E∩F)

＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55．

法二：“红队至少两名队员获胜”与“红队最多一名队员获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件∩∩，且P(∩∩)＝0.4×0.5×0.5＝0.1．

∴红队至少两名队员获胜的概率为

P2＝1－P1－P(∩ ∩)＝1－0.35－0.1＝0.55.