2022-2023学年河南省驻马店市泌阳县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市泌阳县九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 要使式子有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 一元二次方程的一个根是，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，若，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，若：：，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是(    )
    

A.  B.
C.  D.

8. 在中，、分别是、中点，平分，交于点，，则的长为．(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，放置边长分别为，，的三个正方形，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着送动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是(    )
     

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：______．
12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
13. 已知，，是的三个内角，若，且，均为锐角，则的度数为______．
14. 如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，点，，，处的读数分别为，，，，则直尺宽的长为______．
     
15. 如图，在中，，，，、分别为、上的点，沿直线将折叠，使点恰好落在上的处，当恰好为直角三角形时，的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
17. 本小题分
    根据要求解下列方程
    用配方法；
    用公式法
18. 本小题分
    请在如图所示的方格内每个小表格的边长均为画出，使它的顶点都在格点上，且，，，求：
    的面积；
    最长边上的高．

19. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
20. 本小题分
    如图，已知是斜边上的中线，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点．
    求证：；
    若，，求的周长．

21. 本小题分
    阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
    ，，
    一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：
    
    例如
    
    根据上述材料内容，解决下列问题：
    计算：______；
    在中，，，，请你求出和的长．

22. 本小题分
    皇帝柑广受各地消费者的青睐的优质新品种，某柑橘种植基地年种植皇帝柑亩，到年皇帝柑的种植面积达到亩．
    求该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率；
    市场调查发现，当皇帝柑的售价为元千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地皇帝柑的平均成本价为元千克，若使销售皇帝柑每天获利元，则售价应降低多少元？
23. 本小题分
    如图，在中，，，点从点出发，沿以的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
    当时，求的值．
    与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：依题意有：，
解得．
故选：．
二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点．
 

2.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项分别为、和．
所以一元二次方程的一次项系数、二次项系数、常数项的和是．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
 

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项判断．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：将代入原方程得，
即，
解得．
故选：．
将代入原方程可得，解之即可得出的值．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
所以，
故选：．
根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，：：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例可得，从而可得，再利用平行线分线段成比例得出，然后进行计算即可解答．
本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】 解：设剪去的正方形边长为，
依题意得，
故选：．
由于剪去的正方形边长为，那么长方体纸盒的底面的长为，宽为，然后根据底面积是即可列出方程．
此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
利用中位线定理，得到，根据平行线的性质，可得，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到，进而求出的长，易求的长度．
【解答】

解：在中，、分别是、的中点，，
，．
．
平分，
．
在中，，
，
．
．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，放置边长分别，，的三个正方形，
∽∽，
：：，
，，，
，，
：：，
，即，
不符合题意，舍去或．
故选：．
根据已知条件可以推出∽∽然后把它们的直角边用含的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出的值．
本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用的表达式表示出对应边．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察点的坐标变化可知：
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，

按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是，，，，个数一个循环，
因为，
所以经过第次运动后，
动点的坐标是．
故选：．
观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是，，，，个数一个循环，进而可得经过第次运动后，动点的坐标．
本题考查了规律型点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据二次根式的乘除法则进行计算便可．
本题考查了二次根式的乘除法，熟记法则是关键，易错点：违反只有乘除运算顺序从左至右依次计算，而先计算后面的乘法，再算前面的除法．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，，
，，
，，
，
故答案为：．
根据绝对值和偶次方的非负性，求出，，从而求出和的度数，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
在中，，
则，
，
∽，
，即，
解得：，
故答案为：．
根据正切的定义求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，
．
直线将折叠，使点恰好落在上的处，当恰好为直角三角形时，
根据折叠的性质：
设，则，
当时，则，

解得：
当时，
则∽

解得：
故所求的长度为：或．
故答案为：或．
先在中利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，直线将折叠，使点恰好落在上的处，恰好为直角三角形，有两种可能：，，设，运用三角形相似列比例式解方程即可得解．
本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键．
 

16.【答案】解：

；




． 

【解析】先算除法与乘法，再算减法即可；
代入特殊角的三角函数值，再进行相应的运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，解答的关键是熟记特殊角的三角函数值．
 

17.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
这里，，，
，
，
解得：，． 

【解析】方程利用配方法求出解即可；
方程整理后，利用公式法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图：

．
根据图形知：边上的高为，设边上的高为，
根据题意得：，
解得：． 

【解析】结合无理数尝试依次画出相应图形即可；
由图中可以看出边上的高，利用等积法求得最长边上的高即可．
此题考查了二次根式的应用，所求的线段为无理数，通常整理为边长为有理数的直角三角形的斜边长；三角形一边上的高为三角形的面积的倍除以这个边长．
 

19.【答案】证明：，，，
．
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；

解：，即，
，．
，且该方程的两个实数根的差为，
，
． 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论；
利用因式分解法求出，由题意得出的方程，解方程则可得出答案．
本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用因式分解法求出方程的解．
 

20.【答案】证明：，
，
是斜边上的中线，
，
，
， 
，
，
，
；
解：是斜边上的中线，
，
在中，，
，
，即，
，，
的周长． 

【解析】先根据平行线的性质得到，加上，则根据相似三角形的判定方法可判断；
先利用斜边上的中线性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据相似三角形的性质得到，然后求出、，从而得到的周长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
 

21.【答案】解：

，
故答案为：．
中，，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用特殊的三角函数值求线段的长度是解本题的关键．
根据公式可求．
根据锐角的三角函数的定义，求和的值．
 

22.【答案】解：设该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率为．
设售价应降低元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元． 

【解析】设该基地这两年皇帝柑种植面积的平均增长率为，利用年皇帝柑的种植面积年皇帝柑的种植面积平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设售价应降低元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，利用每天销售皇帝柑获得的利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合要尽量减少库存，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，：：，
，，
，
解得：；
即当，；
能，
当∽时，有，
即：，
解得：，
，
当∽时，有，
即：，
解得：或舍去，
，
综上所述，当或时，与相似． 

【解析】当时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于，，，的比例关系式，我们可根据，的速度，用时间表示出，，然后根据得出的关系式求出的值；
分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和对应成比例以及和对应成比例两种情况．
本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．