数学人教B版 (2019)第九章 解三角形9.2 正弦定理与余弦定理的应用评课ppt课件

课后素养落实(三)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为(　　)

A．2 n mile   B．3 n mile

C．5 n mile   D．6 n mile

C　[在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°．

∵＝，

∴BC＝＝＝5(n mile)．]

2．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是(　　)

A．      B．2    C．2或      D．3

C　[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°．由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2．]

3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是(　　)

A．5海里/时   B．5海里/时

C．10海里/时   D．10海里/时

D　[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．]

4．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为(　　)

A．(30＋30)m   B．(30＋15)m

C．(15＋30)m   D．(15＋15)m

A　[∵∠BAP＋∠APB＝45°，∴∠APB＝45°－30°＝15°．

在△APB中，由正弦定理，得＝，即＝，

∴PB＝＝＝30(＋)(m)．

由题图可得h＝PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．故选A．]

5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　)

A．200 m      B．300 m    C．400 m      D．100 m

B　[如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200(m)．

在△BCD中，由余弦定理可得

cos 2θ＝＝，

∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°．

在Rt△ABC中，

AB＝BC·sin 4θ＝200×＝300(m)，故选B．]

二、填空题

6．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C．测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m．

50　[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝，

∴AB＝＝＝50(m)．]

7．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，某人在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登4千米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登8千米方到达C处，则索道AC的长为________千米．

4　[∵在△ABD中，BD＝4千米，∠ABD＝120°，

∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，

∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°，∴AB＝BD．

在△ABD中，AB＝BD＝4千米，由余弦定理得

AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝16＋16－2×4×4×＝48．故AD＝4千米．

在△ADC中，DC＝8千米，∠ADC＝150°，

∴AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(4)2＋82－2×4×8×cos 150°＝208，∴AC＝4千米．]

8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A处和最后一个座位B处测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10米，则AN＝________米；旗杆的高度为________米．

20　30　[依题意可知∠NBA＝45°，∠BAN＝180°－60°－15°＝105°，所以∠BNA＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理可知＝，所以AN＝·sin∠NBA＝20米．

所以在Rt△AMN中，MN＝ANsin∠NAM＝20×＝30米，所以旗杆的高度为30米．]

三、解答题

9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．

[解]　由题意可知CD＝，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°．

在△BDC中，由正弦定理可得，

BC＝＝＝．

在△ADC中，由正弦定理可得，

AC＝＝＝3．

在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋()2－2×3××cos 45°＝25，∴AB＝5．

故这两座建筑物之间的距离为5 km．

10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10  n mile/h的速度追截走私船．

此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？

[解]　设缉私船用t h在D处追上走私船，

则有CD＝10t，BD＝10t，

在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，

∴由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2cos 120°＝6，

∴BC＝，

且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝· ＝．

∴∠ABC＝45°．

∴BC与正北方向垂直．

∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°．

即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．

11．如图，为了测量山坡上灯塔CD的高度，某人从高为h＝40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β＝60°，α＝30°．若山坡的高为a＝35，则灯塔的高度是(　　)

A．15      B．25    C．40      D．60

B　[过点B作BE⊥DC于点E，过点A作AF⊥DC于点F，如图所示，

在△ABD中，由正弦定理得，＝，即＝，

∴AD＝．在Rt△ADF中，DF＝ADsin β＝，又山高为a，则灯塔的高度CD＝DF－CF＝－a＝－35＝60－35＝25．故选B．]

12．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)

A．8 km/h   B．6 km/h

C．2 km/h   D．10 km/h

B　[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6．]

13．如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东______度，航行路程为________海里．

65　20(＋)　[由题意，在△ABC中，

∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40．

根据余弦定理得

AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC

＝402＋(40)2－2×40×40×

＝3 200＋1 600，

∴AC＝20(＋)．

根据正弦定理得＝，

∴∠CAB＝45°，

∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(＋)海里．]

14．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s．

　[由题意知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝100 000，即BC＝100 m，∴这辆汽车的速度为＝＝(m/s)．]

15．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．

(1)求该军舰艇的速度；

(2)求sin α的值．

[解]　(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，

在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280．

所以该军舰艇的速度为＝70海里/时．

(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，

即sin α＝＝＝．